1、宁夏固原市第一中学2021届高三数学下学期第一次模拟考试试题 理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合,则( )A.B.C.D.2.已知复数,则等于（ ）A.1 B. C.2 D.3.已知命题；命题q：若，则，下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.4.已知，则( )A B C D5.已知是非零向量且满足，则与的夹角是( )A.B.C.D.6.已知直线经过拋物线的焦点，则（ ）A.B.C.D.7.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“困盖”的术：“置
2、如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为( )A. B. C. D. 8.已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）A B C D9.正方体的棱长为1,点是棱的中点,点都在球的球面上,则球的表面积为( )A.B.C.D.10.已知等差数列的公差不为0，中的部分项成等比数列.若，则（ ）A. B. C. D. 11.已知是双曲线的左、右焦点，过点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于两点.若为等边三角形，则双曲线C的离心率为( )A.B.C.
3、2D.312.已知定义在上的函数满足,且当时,，若方程有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若满足约束条件则的最大值为 .14.曲线在点处的切线方程为_.15.已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为 .16.设为平面, 为直线,则对于下列条件:;.其中为的充分条件的是_(将你认为正确的所有序号都填上).三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.（本题满分12分）已知各项均为正数的等比
4、数列前项和为，且7，.（1）求数列的通项公式；（2）若18.（本题满分12分）已知分别是的三个内角所对的边.（1）若面积，求的值（2）若，且，试判断的形状 19 （本题满分12分）已知四棱锥4的正方形，为正三角形，是的中点，过的平面平行于平面，且平面与平面的交线为，与平面的交线为.（1） 在图中作出四边形（不必说出作法和理由）（2） 若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20（本题满分12分）在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）上任意一点，过点21（本题满分12分）已知函数.（1）若，求的最小值；（2）函数在
5、处有极大值，求a的取值范围. 选考题：（本题满分10分）请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题记分。22.在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.设点的极坐标为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.23.已知函数.（1）在平面直角坐标系中作出函数的图象；（2）若当时，不等式恒成立，求的最大值.固原一中2021届高三年级第一次模拟考试理 科 数 学（参考答案）1-6ABCBBD 7-12CDCABD11.答案：B解析：如图所示，设，由于为等边三角形
6、，所以，所以，即.又，所以.在中，根据余弦定理得，整理得，即，所以离心率.故选B.13.2 14. 15. 16.17.（略）18.答案：（1），得，由余弦定理得: ，所以.（2）由余弦定理得: ，所以;在中， ，所以，所以是等腰直角三角形.19题：20.（1）由题意，设，因为圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，可得，化简得.21.（）0；（）.【详解】解：（），当时，；当时，；在上递减，在上递增.的极小值也是最小值为（）.设，则.当时，在上单调递增，时，；时，在上递减，在上递增，是的极小值点，与题意矛盾当时，在上是增函数，且当时、时，.从而在上是增数，故有.所以在上是增函数，与题意矛盾当时
7、，若，则，从而在上是减函数，故有，所以在上是增函数，若，由（1）知，则又，所以，存在使得.从而当时所以，在上是减函数，从而，在上减函数，故是的极大值点，符合题意.综上所述，实数a的取值范围为.22.答案：（1）曲线的普通方程为：， 将曲线上的点按坐标变换得到，代入得， 即的方程为：. 化为极坐标方程为： . （2）点在直角坐标为，因为直线过且倾斜角为， 设直线的参数方程为为参数），代入得：.设两点对应的参数分别为，则.所以23.答案：（1），其图象如下图：（2）若，由1知函数的图象与y轴的交点的纵坐标为3，各部分所在直线的斜率的最小值为，故当且仅当且时时，不等式恒成立，所以，所以，故的最大值为.
