1、2016-2017学年山东省菏泽市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合A=x|3xx20，集合B=x|x1，则A（UB）等于（）A（3，1B（，1C1，3）D（3，+）2若z=1i，则复数z+在复平面上对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知，则sincos等于（）ABCD4的值为（）ABCD15已知，是两个不同平面，直线l，则“”是“l”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6设m，n，t都是正数，则三个数（）A都大于4B都小于4C至
2、少有一个大于4D至少有一个不小于47已知圆C方程x2+y22x4y+a=0，圆C与直线x+2y4=0相交于A，B两点，且OAOB（O为坐标原点），则实数a的值为（）ABCD8某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积之比为（）ABCD9设实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）ABC0D110若函数y=f（x）的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则称点对A，B为y=f（x）的“友情点对”，点对A，B与B，A可看作同一个“友情点对”，若函数恰好由两个“友情点对”，则实数a的值为（）A2B2C1D0二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11已知向量，
3、若，则实数x=12等差数列an的前n项和为Sn，且S3=6，a3=4，则公差d=13执行如图的程序框图，则输出的i=14若函数y=sinx能够在某个长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，且在区间上为增函数，则正整数的值为15已知O为原点，双曲线上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16已知定义在R上的偶函数f（x），当x0时，f（x）=2x+3（1）求f（x）的解析式；（2）若f（a）=7，求实数a的值17在锐角ABC中，a，b，c是
4、角A，B，C的对边sinCcosB=cos（AC）（1）求角A的度数；（2）若a=2，且ABC的面积是3，求b+c18如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，AC=BC=2，AB=2，CC1=4，M是棱CC1上一点（）求证：BCAM；（）若CM=，求二面角AMB1C的大小19对于数列an、bn，Sn为数列an的前n项和，且Sn+1（n+1）=Sn+an+n，a1=b1=1，bn+1=3bn+2，nN*（1）求数列an、bn的通项公式；（2）令cn=，求数列cn的前n项和Tn20已知椭圆C1：的离心率为，且与y轴的正半轴的交点为，抛物线C2的顶点在原点且焦点为椭圆C1的左焦点（1）
5、求椭圆C1与抛物线C2的标准方程；（2）过（1，0）的两条相互垂直直线与抛物线C2有四个交点，求这四个点围成四边形的面积的最小值21已知函数g（x）=x2+ln（x+a），其中a为常数（1）讨论函数g（x）的单调性；（2）若g（x）存在两个极值点x1，x2，求证：无论实数a取什么值都有2016-2017学年山东省菏泽市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合A=x|3xx20，集合B=x|x1，则A（UB）等于（）A（3，1B（，1C1，3）D（3，+）【考点】交、并、补集
6、的混合运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：x（x3）0，解得：0x3，即A=（0，3），B=（，1），UB=1，+），则A（UB）=1，3），故选：C2若z=1i，则复数z+在复平面上对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】化简复数求出对应点的坐标，即可得到结果【解答】解：z=1i，则复数z+=1+=1+=1+=对应点（，）在第四象限故选：D3已知，则sincos等于（）ABCD【考点】三角函数的化简求值；任意角的概念【分析
7、】由，两边平方化简即可得出【解答】解：由，两边平方可得：12sincos=，解得sincos=故选：A4的值为（）ABCD1【考点】定积分【分析】根据定积分的定义计算即可【解答】解： =cosx=cos+cos=1故选：D5已知，是两个不同平面，直线l，则“”是“l”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】，是两个不同平面，直线l，则“”“l”，反之不成立即可得出结论【解答】解：，是两个不同平面，直线l，则“”“l”，反之不成立，是两个不同平面，直线l，则“”是“l”的充分不必要条件故选：A6设m，n，t都是正数，
8、则三个数（）A都大于4B都小于4C至少有一个大于4D至少有一个不小于4【考点】基本不等式【分析】假设三个数都小于4，m，n，t都是正数，可得4m+4，4n+4，4t+4，11，推出矛盾即可得出结论【解答】解：假设三个数都小于4，m，n，t都是正数，则4m+4，4n+4，4t+4，11，推出矛盾因此假设不成立，三个数中至少有一个不小于4故选：D7已知圆C方程x2+y22x4y+a=0，圆C与直线x+2y4=0相交于A，B两点，且OAOB（O为坐标原点），则实数a的值为（）ABCD【考点】直线与圆相交的性质【分析】将直线方程代入圆的方程，利用韦达定理，及以AB为直径的圆过原点，可得关于a的方程，即
9、可求解【解答】解：由直线x+2y4=0与圆x2+y22x4y+a=0，消去y，得5x28x16+4a=0设直线l和圆C的交点为A （x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是的两个根x1x2=，x1+x2= 由题意有：OAOB，即x1x2+y1y2=0，x1x2+（4x1）（4x2）=0，即x1x2（x1+x2）+4=0将代入得：a=故选C8某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积之比为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知，该几何体是高为4的四棱锥，计算出最小面的面积与最大面是底面的面积，求出比值即可【解答】解：由三视图可知，该几何体是
10、高为4的四棱锥，计算可得最小面的面积为14=2，最大的是底面面积为（2+4）221=5，所以它们的比是故选：C9设实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）ABC0D1【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域， =2，最利用k=的几何意义，结合直线斜率公式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，k=的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象可知，OA的斜率最大，由得A（2，2），0k1，=2=2k2k=2（k）2，故选：A10若函数y=f（x）的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则称点对A，B为y=f（x）的“友情点对”，点对A，B与B，A可看作同一个“友情点对”，若
11、函数恰好由两个“友情点对”，则实数a的值为（）A2B2C1D0【考点】奇偶函数图象的对称性【分析】求出函数关于原点对称的函数，函数恰好由两个“友情点对”，转化为x0时，函数的极大值为2，即可得出结论【解答】解：由题意，x0，f（x）=x3+6x29x+a，关于原点对称的函数为f（x）=x36x29xa（x0），函数恰好由两个“友情点对”，x0时，函数的极大值为2，f（x）=3（x+3）（x+1），函数在（，3），（1，0）单调递减，（3，1）单调递增，x=1时取得极大值，即16+9a=2，a=2，故选B二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11已知向量，若，则实数x=2【考点】
12、平面向量数量积的运算【分析】根据条件即可求出及的值，从而根据即可求出x的值【解答】解：，；又；x=2故答案为：212等差数列an的前n项和为Sn，且S3=6，a3=4，则公差d=2【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式【分析】由S3=6，求得 a1+a3=4，而a3=4，可得 a1=0，再由d= 求出结果【解答】解：S3=6，a1+a3=4，而a3=4，a1=0，d=2故答案为 213执行如图的程序框图，则输出的i=4【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=时，满足条件S1，退出循环，输出i的值为4【解答】解：模拟执行程序，可得S=100，i=1第
13、一次执行循环体后，S=20，i=2不满足条件S1，再次执行循环体后，S=4，i=3不满足条件S1，再次执行循环体后，S=，i=4满足条件S1，退出循环，输出i的值为4故答案为：414若函数y=sinx能够在某个长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，且在区间上为增函数，则正整数的值为8【考点】三角函数的最值【分析】根据正弦函数y=sinx可知图象过（0，0），求出周期T，根据长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，建立关系，在结合在区间上为增函数，可得正整数的值【解答】解：由题意函数y=sinx图象过（0，0），其周期T=，要使长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，则有T，即，解得：，在区间
14、上为增函数，且，kZ，解得：832k且30k+7.5，当k=0时，可同时满足，此时正整数值为8故答案为815已知O为原点，双曲线上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】求出|OA|，P点到OA的距离，利用平行四边形OBPA的面积为1，求出a，可得c，即可求出双曲线的离心率【解答】解：渐近线方程是：xay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，过P平行于OB：x+ay=0的方程是：x+ayman=0与OA方程：xay=0交点是A（，），|OA|=|，P点到OA的距离是：d=|OA|d=1，
15、|=1，n2=1，a=2，双曲线的离心率为故答案为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16已知定义在R上的偶函数f（x），当x0时，f（x）=2x+3（1）求f（x）的解析式；（2）若f（a）=7，求实数a的值【考点】函数奇偶性的性质；函数的定义域及其求法【分析】（1）根据题意，设x0，则x0，结合函数在x0时的解析式，可得x0的解析式，综合可得答案；（2）由函数的解析式，分2种情况进行计算，分别求出a的值，综合可得答案【解答】解：（1）设x0，则x0，f（x）=2x+3，又f（x）为偶函数，f（x）=f（x），f（x）=2x+3（x0），故（2）当
16、a0时，f（a）=2a+3=7a=2；当a0时，f（a）=2a+3=7a=2故a=217在锐角ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边sinCcosB=cos（AC）（1）求角A的度数；（2）若a=2，且ABC的面积是3，求b+c【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由cos B+cos （AC）=sin C，利用两角和与差的三角函数展开可求sin A，进而可求A（2）由三角形的面积公式可求bc的值，进而利用余弦定理，平方和公式即可解得b+c的值【解答】解：（1）因为由已知可得：cos B+cos （AC）=sin C，所以：cos （A+C）+cos （AC）=sin C，可得：2sin
17、A sin C=sinC，故可得：sin A=因为ABC为锐角三角形，所以A=60（2）A=60，ABC的面积是3=bcsinA=bc，bc=12，a=2，由余弦定理a2=b2+c22bccosA，可得：12=b2+c2bc=（b+c）23bc=（b+c）236，解得：b+c=418如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，AC=BC=2，AB=2，CC1=4，M是棱CC1上一点（）求证：BCAM；（）若CM=，求二面角AMB1C的大小【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（）推导出CC1BC，BCAC，从而BC平面ACC1A1，由此能证明BCAM（）
18、以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角AMB1C的大小【解答】证明：（）三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，BC平面ABC，CC1BC，AB2=AC2+BC2，BCAC，ACCC1=C，BC平面ACC1A1，AM平面ACC1A1，BCAM解：（）以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，CM=，C（0，0，0），A（2，0，0），B1（0，2，4），M（0，0，），=（2，0，），=（0，2，），设平面AMB1的一个法向量=（x，y，z），则=0， =0，取x=5，得=（5，3，4），又平面MB
19、1C 的一个法向量=（2，0，0），cos=，由图知二面角AMB1C为锐角，二面角AMB1C的大小为19对于数列an、bn，Sn为数列an的前n项和，且Sn+1（n+1）=Sn+an+n，a1=b1=1，bn+1=3bn+2，nN*（1）求数列an、bn的通项公式；（2）令cn=，求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由Sn+1Sn=an+2n+1，则an+1an=2n+1，利用“累加法”即可求得an=n2，由bn+1+1=3（bn+1），可知数列bn+1是以2为首项，以3为公比的等比数列，即可求得bn的通项公式；（2）由（1）可知：cn=，利用“错位相减法”即可
20、求得数列cn的前n项和Tn【解答】解：（1）由Sn+1（n+1）=Sn+an+n，Sn+1Sn=an+2n+1，an+1an=2n+1，a2a1=21+1，a3a2=22+1，a4a3=23+1，anan1=2（n1）+1，以上各式相加可得：ana1=2（1+2+3+n1）+（n1），an=2+（n1）+1=n2，an=n2，bn+1=3bn+2，即bn+1+1=3（bn+1），b1+1=2，数列bn+1是以2为首项，以3为公比的等比数列，bn+1=23n1，bn=23n11；（2）由（1）可知：cn=，Tn=c1+c2+cn=+，Tn=+，Tn=2+，=2+，=，Tn=，数列cn的前n项和T
21、n，Tn=20已知椭圆C1：的离心率为，且与y轴的正半轴的交点为，抛物线C2的顶点在原点且焦点为椭圆C1的左焦点（1）求椭圆C1与抛物线C2的标准方程；（2）过（1，0）的两条相互垂直直线与抛物线C2有四个交点，求这四个点围成四边形的面积的最小值【考点】圆锥曲线的综合【分析】（1）设半焦距为c（c0），利用离心率，短半轴，求出a，b，顶点椭圆C1的标准方程，设抛物线C2的标准方程为y2=2px（p0），求出p，顶点抛物线C2的标准方程（2）由题意易得两条直线的斜率存在且不为0，设其中一条直线l1的斜率为k，直线l1方程为y=k（x1），则另一条直线l2的方程为，联立得k2x2（2k2+8）x+
22、k2=0，=32k2+640，设直线l1与抛物线C2的交点为A，B，则，同理求出|CD|=4求出四边形的面积利用基本不等式求解最值【解答】解：（1）设半焦距为c（c0），由题意得，椭圆C1的标准方程为设抛物线C2的标准方程为y2=2px（p0），则，p=4，抛物线C2的标准方程为y2=8x（2）由题意易得两条直线的斜率存在且不为0，设其中一条直线l1的斜率为k，直线l1方程为y=k（x1），则另一条直线l2的方程为，联立得k2x2（2k2+8）x+k2=0，=32k2+640，设直线l1与抛物线C2的交点为A，B，则，同理设直线l2与抛物线C2的交点为C，D，则，|CD|=4四边形的面积=，令
23、，则t4（当且仅当k=1时等号成立），当两直线的斜率分别为1和1时，四边形的面积最小，最小值为9621已知函数g（x）=x2+ln（x+a），其中a为常数（1）讨论函数g（x）的单调性；（2）若g（x）存在两个极值点x1，x2，求证：无论实数a取什么值都有【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）利用求导法则求出函数g（x）的导函数，把导函数解析式通分化简，分4a280，或4a280两种情况讨论函数的单调性；（2）当a时，函数g（x）在（，+）或（a，）上单调递增，在（，）上单调递减； =a2ln2，g（）=g（）=+ln；令f（a）=lna+ln2，从而得证【解答
24、】解：（1）g（x）=x2+ln（x+a），函数的定义域为（a，+）g（x）=2x+，令2x+0，2x2+2ax+10，当4a280时，即a时，g（x）0，即函数g（x）在（a，+）单调递增，当4a280时，即a，或a时，令g（x）=0，解得x=，或x=，若a，当g（x）0时，即x，或ax，函数g（x）单调递增，当g（x）0时，即x，函数g（x）单调递减，若a，g（x）0，即函数g（x）在（a，+）单调递增，综上所述：当a时，即函数g（x）在（a，+）单调递增，当a时，函数g（x）在（，+）或（a，）上单调递增，在（，）上单调递减，（2）由（1）可知，当a时，函数g（x）在（，+）或（a，）上单调递增，在（，）上单调递减，x1+x2=a；x1x2=，=a2ln2，g（）=g（）=+ln；故g（）=（a2ln2）（+ln）=lna+ln2；令f（a）=lna+ln2，则f（a）=a=，a，0；f（a）=lna+ln2在（，+）上增函数，且f（）=0，故lna+ln20，故无论实数a取什么值都有2017年2月28日
