1、第十章 排列、组合、二项式定理和概率第 讲 考点搜索排列数、组合数基本公式，阶乘的计算公式组合数的两个基本性质高考猜想以函数、方程、不等式及实际问题为背景，考查排列数、组合数公式的应用.1.n的阶乘n!=_.2.=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=_.3.=_.4.组合数的两个性质是:_;_.5.规定0!_；=_.6.n(n-1)!=_.n(n-1)(n-2)2111n!mnAmnCmnmmAA!(-)!nn m!(-)!nm n m-mn mnnCC-11mmmnnnCCC0mC1.若nN*，且n10，则(10-n)(11-n)(100-n)等于()解：积的个数为(100-n)-(10-
2、n)+1=91.故选C.C10-90100-100-9192100-100-A.B.C.D.nnnnnAAAA2.若，则S的个位数字是()A.8B.5C.3D.0解：=1，=2，=6，=24，而，的个位数字均为0，从而S的个位数字是3.C12341001234100SAAAAA11A22A33A44A55A66A100100A3.组合数(nr1，n、rZ)恒等于()解：由组合数的变形公式得.DrnC-1-1-1-1-1-1-1-11A.B.(1)(1)1C.D.rrnnrrnnrCnrCnnnrCCr-1-1rrnnn CCr1.计算下列各式的值：(1);(2).解：(1)原式=.(2)原式.
3、点评：排列数、组合数公式的化简与运算，就是公式的顺用、逆用和变用的结合.题型1 排列数、组合数的四则运算54886599-AAAA98971001003101CCA444488885554999845554-33 927AAAAAAAA233100100101331011011133!6CCCAC计算：.解：据题意，所以.又nN*，故n=6.所以原式33-13-217-1312112nnnnnnnnCCCC31317-2 nnnn171332n181716111918171211111918171219 18 1712124.CCCCCCCC2.解下列方程：(1)；(2).解：(1)方程可化为
4、，即，所以(x-3)(x-6)=40，即x2-9x-22=0，所以x=11或x=-2(舍去).经检验，x=11是原方程的解.题型2 解排列数、组合数方程-72-3-435xxxCA1-1-2311nnnnnnnnCCCC(-3)!(-4)!35(-7)!4!(-6)!xxxx 3(-3)54!-6xx(2)方程可化为，即，所以，即，所以n2-3n-4=0.所以n=4或n=-1(舍去).故n=4是原方程的解.点评：解排列数、组合数方程时，一般先把排列式、组合式化成全排式(阶乘式)，然后约去一些公共因式，得到基本方程，最后求得的解需符合排列式、组合式的意义.2221311(2)nnnnCCCCn2
5、122222nnnnCCCC122nnCC(-1)22n nn 某参观团共18人，从中选出2人担任联络工作，要求选出的2人中至少要有一个男人，而其中有2个老年男人不能入选，已知符合要求的选法共有92种，求该参观团男女成员各多少人？解：设参观团有女人n个，则男人有18-n个，且0n15，nN*.由已知，所以n(16-n)+(16-n)(15-n)=92，即n2-n-56=0，所以n=8或n=-7(舍去).故参观团有男人10人，女人8人.11216-16-92nnnC CC123.解下列不等式:(1);(2).解：(1)原不等式可化为，即，得-75x9.又1x-26，故3x8，xN*.所以原不等式
6、的解集是3，4，5，6，7，8.题型3 解排列数、组合数不等式-2966xxAA-4-2-1212121xxxCCC9!66(9-)!(8-)xx！9 8 769-x(2)原不等式可化为，即，即，21!21!21(25-)(-4)(23-)!(-2)!(22-)(-1)xxxxxx！11(25-)(24-)(-2)(-3)1123-1xxxxx x(25-)(24-)(-2)(-3)23-1422xxxxx xx由此解得，4x12(xN*).所以原不等式的解集是x|4x12，xN*.点评：解排列式、组合式型的不等式有两个关键之处：一是先转化为常规的不等式，二是符合公式意义的自然数解.设集合，求
7、集合M共有多少个子集？解：不等式可化为，即，345112|-,*nnnMnnNCCC624-(-1)(-2)(-1)(-2)(-3)240(5)(-1)(-2)(-3)(-4)n nnn nnnnn nnnn4401-3(-3)(-4)nnn化简得n2-11n-120，解得-1n12.因为n5，且nN*，所以M=5，6，7，8，9，10，11，从而其子集的个数为=27=128(个).017777CCC1.证明下列等式：(1)；(2)参 考 题参 考 题题型 证明排列数、组合数恒等式-11mmmnnnAmAA 1-11-1-mmnnmn mCCn mm-11!(-)!(-1)!(-1)!(-1)
8、!(-1)!(-1)(-1)!(1)(1)!(-1)!(1-)!mmnnmnnnAmAmn mn mn n mnmn mn mnn mmn mn nnn mnmA 证明：(1)证法1：证法2：从a1，a2，an+1这n+1个不同元素中任取m个元素作排列，共有个排列.其中含有元素a1的排列数为；不含有元素a1的排列数为.由分类计数原理，得.1mnA 1-1-1mmmnnAAmAmnA-11mmmnnnAmAA(2)因为，所以.111!-(1)!(-1)!(-)!mnmnmmnCn mn mmn mnCm n m-1-1-1!(-1)!(-1)!(-)!mnmnn mn mnCmmmn mnCm
9、n m1-11-1-mmnnmn mCCn mm2.化简下列各式：(1);(2).解：(1)因为，所以原式.题型 化简、求和问题 12+23!(1)!nn！!(1)!(2)!()!0!1!2!mmmmnn(1)-111-(1)!(1)!(1)!kkkkkk11111(1-)(-)-223!(1)!11-(1)!nnn！(2)原式0121121221111(1)!(2)!()!1!2!()!()!()!.nmmmm nmmnmmm nmmm nm nmnm nm nmmmnmmmm nm CCCCm CCCm CCm Cm C 3.规定，其中xR，m是正整数，且=1，这是组合数(n、m是正整数，
10、且mn)的一种推广.(1)求的值；(2)组合数的两个性质：；是否都能推广到(xR，m是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.(-1)(-1)!mxx xx mCmmnC0 xC38C-mn mnnCC-11mmmnnnCCC mxC解：(1).(2)性质 不能推广.例如取x=时，有定义，但无意义.性质能推广，其推广形式是(xR，m是正整数).3-8-8(-9)(-10)-1203!C212C2-12C-11mmmxxxCCC 证明：当m=1时，.当m2时，故能推广.10111xxxCCxC -11(-1)(-2)(-1)!(-1)(-2)(-2)(-1)!(
11、-1)(-2)(-2)(-11)(-1)!(1)(-1)(-2)!.mmxxmxx xxx mCCmx xxx mmx xxx mx mmmxx xx mmC 1.公式的应用体现为三种形式，即正向应用、逆向应用和变式应用，其中变式应用是较难掌握的，它要根据实际问题的需要进行变式，如利用组合数性质的变式：求和.2.对含排列数、组合数的代数式的计算，要注意利用阶乘的性质、组合数性质和提取公因式等手段简化运算过程.-11-mmmnnnCCC3.排列数、组合数公式都有两种形式，对含字母的排列数、组合数的运算，一般用阶乘的形式运算较方便.4.对解含排列数、组合数的方程和不等式，应先利用相关公式将方程和不等式化归为常规问题，但必须注意字母的取值范围，防止增根.