1、2020-2021学年广东省揭阳市揭西县高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知集合A，Bx|2x3，xZ，则AB中元素的个数为（）A2B3C4D52在ABC中，sinAsinB是AB的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为（）A6.25%B7.5%C10.25%D31.25%4已知f（x）2x2+bx+c，不等式f（x）0的解集为（1，3）若对任意的x1，0，f（x）+m4恒成立，则m的取值范围是
2、（）A（，2B4，+）C2，+）D（，45若圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为60，则体积为（）ABCD6函数在区间4，4附近的图象大致形状是（）ABCD7九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A8B12C20D248已知向量与的夹角为120，且|2，|3，若+，且，则实数的值为（）AB13C6D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，
3、部分选对的得2分，有选错的得0分9设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则以下结论正确的是（）A若，m，则mB若m，n，m，n，则C若m，m，n，则mnD若m，m，则10已知复数z，则下列结论正确的有（）Az在复平面对应的点位于第二象限Bz的虚部是iC|z|D1+i11如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，则（）A直线AD1与BD的夹角为60B二面角EADB的正切值是C经过三点A，E，F截正方体的截面是等腰梯形D点C1到平面AB1D1的距离为12已知集合M（x，y）|yf（x），若对于（x1，y1）M，（x2，y2）M，使得x1x2+y1y
4、20成立，则称集合M是“互垂点集”给出下列四个集合：M1（x，y）|yx2+1；M2；M3（x，y）|yex；M4（x，y）|ysinx+1其中是“互垂点集”集合的为（）AM1BM2CM3DM4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知cos（）2cos（+），则tan的值为 14一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西60，距塔20海里的M处，上午11时到达这座灯塔的东偏南30方向的N处，则该船航行的速度为 海里/小时15城区某道路上甲、乙、丙三处设有信号灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为 16已知函数f（x），则不等
5、式f（|x1|）+f（x2）0的解集为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知向量，是同一平面内的三个向量，其中（1，1）（1）若|3，且，求向量的坐标；（2）若是单位向量，且（2），求与的夹角18已知函数f（x）sin2x+sinxcosx（）求f（x）的最小正周期；（）若f（x）在区间，m上的最大值为，求m的最小值19在条件：c7，cosA；条件：cosA，cosB这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a+b11，若_（1）a的值；（2）sinC和ABC的面积20某种植园在芒果临近
6、成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量（单位：g）分别在100，150），150，200），200，250），250，300），300，350），350，400中，经统计得频率分布直方图如图所示（1）求该组数据的众数、中位数，并估计这组数据的平均数（精确到整数位）；（2）现按分层随机抽样从质量在200，250），250，300）中的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率21如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点求证：（1）EF平面PCD；（2）平面PAB平面PCD2
7、2已知函数f（x）ln（b）（其中a，bR且a0）的图象关于原点对称（1）求a，b的值；（2）当a0时，关于x的方程f（ex）x+lnk0在区间（0，ln4上有两个不同的解，求实数k的取值范围参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知集合A，Bx|2x3，xZ，则AB中元素的个数为（）A2B3C4D5【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可求出AB，从而可得出AB中元素的个数解：Ax|x2，B2，1，0，1，2，AB1，0，1，AB中元素的个数为3故选：B2在ABC中，sinAsinB是AB的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【
8、分析】由正弦定理知 ，由sinAsinB，知ab，所以AB，反之亦然，故可得结论解：若sinAsinB成立，由正弦定理 2R，所以ab，所以AB反之，若AB成立，所以ab，因为a2RsinA，b2RsinB，所以sinAsinB，所以sinAsinB是AB的充要条件故选：C3某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为（）A6.25%B7.5%C10.25%D31.25%【分析】由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为250+450+100800（万元），共中
9、水费支出250（万元），由此能求出去年的水费开支占总开支的百分比解：由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为：250+450+100800（万元），共中水费支出250（万元），去年的水费开支占总开支的百分比为：6.25%故选：A4已知f（x）2x2+bx+c，不等式f（x）0的解集为（1，3）若对任意的x1，0，f（x）+m4恒成立，则m的取值范围是（）A（，2B4，+）C2，+）D（，4【分析】由不等式f（x）0的解集求出f（x）的解析式，把不等式f（x）+m4化为m2x24x2，求出g（x）2x24x2在1，0内的最大值，即可得出m的取值
10、范围解：由f（x）2x2+bx+c，不等式f（x）0的解集为（1，3），则1和3是方程2x2bxc0的实数根，b4，c6；f（x）2x2+4x+6，f（x）+m4，化为m2x24x2对任意的x1，0恒成立，设g（x）2x24x2，其中x1，0，g（x）在1，0内单调递减，且g（x）的最大值为g（x）maxg（1）4，m的取值范围是4，+）故选：B5若圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为60，则体积为（）ABCD【分析】利用已知条件求出圆锥的底面半径，与高，然后求解体积即可解：圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为60，则圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为r，可得，解得r，圆锥的高为：，所以圆锥
11、的体积为：故选：D6函数在区间4，4附近的图象大致形状是（）ABCD【分析】由特殊值采用排除法求解即可解：过点（1，0），可排除选项A，D；又f（2）0，排除C；故选：B7九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A8B12C20D24【分析】由题意，PC为球O的直径，求出PC，可得球O的半径，即可求出球O的表面积解：由题意，PC为球O的直径，PC2，球O的半径为，球O的表面积为4520，故选：C8已知向量与
12、的夹角为120，且|2，|3，若+，且，则实数的值为（）AB13C6D【分析】由，得0，用向量表示后展开，结合已知条件可求得实数的值解：+，且，（+）（）0向量与的夹角为120，且|2，|3，23（1）cos1204+90解得：故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则以下结论正确的是（）A若，m，则mB若m，n，m，n，则C若m，m，n，则mnD若m，m，则【分析】对于A，由面面平行的性质得m；对于B，与相交或平行；对于C，由线面平行的性
13、质得mn；对于D，由面面垂直的判定定理得解：m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，对于A，若，m，则由面面平行的性质得m，故A正确；对于B，若m，n，m，n，则与相交或平行，故B错误；对于C，若m，m，n，则由线面平行的性质得mn，故C正确；对于D，若m，m，则由面面垂直的判定定理得，故D正确故选：ACD10已知复数z，则下列结论正确的有（）Az在复平面对应的点位于第二象限Bz的虚部是iC|z|D1+i【分析】先利用复数的除法运算求出z，然后由复数的几何意义判断选项A，由虚部的定义判断选项B，由模的定义判断选项C，由共轭复数的定义判断选项D解：z，则z在复平面对应的点（1，1）位于第二象
14、限，故选项A正确；z的虚部是1，故选项B错误；，故选项C正确；，故选项D错误故选：AC11如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，则（）A直线AD1与BD的夹角为60B二面角EADB的正切值是C经过三点A，E，F截正方体的截面是等腰梯形D点C1到平面AB1D1的距离为【分析】A，利用直线AD1与BD的夹角就是直线AD1与B1D1的夹角判定；B，易得EAB就是二面角EADB的平面角，解三角形ABE即可；C，如图3，在CC1上取CH，连接FH，易得四边形AFHE就是经过三点A，E，F截正方体的截面；D、利用等体积法求解解：对于A，如图1，直线AD1与BD
15、的夹角就是直线AD1与B1D1的夹角，AD1B1是等边三角形，所以直线AD1与BD的夹角为600，故A正确；对于B，如图2，ADAE，ADAB，EAB就是二面角EADB的平面角，其正切值是故B正确对于C，如图3，在CC1上取CH，连接FH，由题意AEFH，四边形AFHE就是经过三点A，E，F截正方体的截面，不是等腰梯形，故C错；对于D，如图4，点C1到平面AB1D1的距离等于点A1到平面AB1D1的距离，由VV可得，解得d，故D错故选：AB12已知集合M（x，y）|yf（x），若对于（x1，y1）M，（x2，y2）M，使得x1x2+y1y20成立，则称集合M是“互垂点集”给出下列四个集合：M1
16、（x，y）|yx2+1；M2；M3（x，y）|yex；M4（x，y）|ysinx+1其中是“互垂点集”集合的为（）AM1BM2CM3DM4【分析】根据题意即对于任意点P（x1，y1），在M中存在另一个点P，使得，结合函数图象进行判断解：由题意，对于（x1，y1）M，（x2，y2）M，使得x1x2+y1y20成立即对于任意点P（x1，y1），在M中存在另一个点P，使得yx2+1中，当P点坐标为（0，1）时，不存在对应的点P所以所以M1不是“互垂点集”集合，的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以在M2中的任意点P（x1，y1），在M2中存在另一个点P，使得所以M2是“互垂点集”
17、集合，yex中，当P点坐标为（0，1）时，不存在对应的点P所以M3不是“互垂点集”集合，ysinx+1的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以M4是“互垂点集”集合，故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知cos（）2cos（+），则tan的值为 2【分析】根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解解：cos（）sin，2cos（+）2cos，又cos（）2cos（+），sin2cos，故答案为：214一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西60，距塔20海里的M处，上午11时到达这座灯塔的东偏南30方向的N处，则该船航行的速度为 20海
18、里/小时【分析】由题意如图所示，在三角形中由正弦定理可得|MN|的值，进而求出速度【解答】解由题意如图所示：且|PM|20，APQ60，NPQ60，所以可得MPN120，M30，由正弦定理可得即，所以|MN|20，所以速度v20，故答案为：2015城区某道路上甲、乙、丙三处设有信号灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为 【分析】汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的情况是汽车在甲、乙、丙三处有两处遇到绿灯，一次遇到红灯或黄灯，由此能求出结果解：城区某道路上甲、乙、丙三处设有信号灯，汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的情况是：汽车在甲、乙、丙
19、三处有两处遇到绿灯，一次遇到红灯或黄灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为：P+（1）故答案为：16已知函数f（x），则不等式f（|x1|）+f（x2）0的解集为 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的性质求出不等式的解集即可解：易知函数定义域为R上的奇函数，且当x0时，f（x）1为递增函数，所以函数在R上递增，f（|x1|）+f（x2）0，即f（|x1|）f（x2）f（2x），由|x1|2x，解得x，故不等式的解集为x|x故答案为：x|x四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知向量，是同一平面
20、内的三个向量，其中（1，1）（1）若|3，且，求向量的坐标；（2）若是单位向量，且（2），求与的夹角【分析】（1）由题意利用两个向量共线的性质、两个向量的数量积公式，计算求得结果（2）由题意利用两个向量垂直的性质求得 的值，再利用两个向量的夹角公式求得cos，可得的值解：（1）|3，且，（1，1），设cx（x，x），x2+（x）218， 求得x3，故（3，3）或 （3，3）（2）因为|，且（2），所以，（2），即220，所以1，故cos ，0，18已知函数f（x）sin2x+sinxcosx（）求f（x）的最小正周期；（）若f（x）在区间，m上的最大值为，求m的最小值【分析】（I）运用二倍角公
21、式的降幂公式和两角差的正弦公式和周期公式，即可得到所求值；（）求得2x的范围，结合正弦函数的图象可得2m，即可得到所求最小值解：（I）函数f（x）sin2x+sinxcosx+sin2xsin（2x）+，f（x）的最小正周期为T；（）若f（x）在区间，m上的最大值为，可得2x，2m，即有2m，解得m，则m的最小值为19在条件：c7，cosA；条件：cosA，cosB这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a+b11，若_（1）a的值；（2）sinC和ABC的面积【分析】选择条件：（1）由余弦定理即可得a的值；（2）先得sinA的
22、值，再由正弦定理求出sinC的值，然后由SabsinC，得解选择条件：（1）先得sinA和sinB的值，再由正弦定理，得解；（2）结合三角形的内角和定理与两角和的正弦公式，可得sinC的值，再由SabsinC，得解解：选择条件：（1）c7，cosA，a+b11，由余弦定理知，a2b2+c22bccosA（11a）2+492（11a）7（），化简得，24a192，a8（2）cosA，A（0，），sinA，由正弦定理得，即，sinC，ABC的面积SabsinC8（118）6选择条件：（1），由正弦定理得，即，解得a6（2）A+B+C，20某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果
23、，其质量（单位：g）分别在100，150），150，200），200，250），250，300），300，350），350，400中，经统计得频率分布直方图如图所示（1）求该组数据的众数、中位数，并估计这组数据的平均数（精确到整数位）；（2）现按分层随机抽样从质量在200，250），250，300）中的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率【分析】（1）由频率分布直方图的性质即可求出相应答案；（2）抽取的5个芒果中，质量在200，250）和250，300）内的分别有2个和3个，利用列举法即可求出这2个芒果都来自同一个质量区间的概率【解答】解（1）由
24、频率分布直方图知，这组数据的众数为275；其中位数是；这组数据的平均数0.07125+0.15175+0.20225+0.30275+0.25325+0.03375255（2）利用分层随机抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在200，250）内的芒果有2个，记为a1，a2，质量在250，300）内的芒果有3个，记为b1，b2，b3从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）记事件A为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则A有4个样本点
25、：（a1，a2），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），从而P（A），故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为21如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点求证：（1）EF平面PCD；（2）平面PAB平面PCD【分析】（1）取PC中点G，连接DG、FG由三角形中位线定理可得GFBC，GFBC再由已知得到DEBC，DEBC，可得GFDE，GFDE，则四边形DEFG为平行四边形，得到EFDG由直线与平面平行的判定可得EF平面PCD；（2）由底面ABCD为矩形，得CDAD再由已知结合平面与平面垂直的性质可得CD平面PAD得
26、到CDPA进一步得到PA平面PCD从而可得平面PAB平面PCD【解答】证明：（1）取PC中点G，连接DG、FG在PBC中，F，G分别为PB，PC的中点，GFBC，GFBC底面ABCD为矩形，且E为AD的中点，DEBC，DEBC，GFDE，GFDE，则四边形DEFG为平行四边形，EFDG又EF平面PCD，DG平面PCD，EF平面PCD；（2）底面ABCD为矩形，CDAD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CD平面ABCD，CD平面PADPA平面PAD，CDPA又PAPD，PD平面PCD，CD平面PCD，PDCDD，PA平面PCDPA平面PAB，平面PAB平面PCD22已知函数f
27、（x）ln（b）（其中a，bR且a0）的图象关于原点对称（1）求a，b的值；（2）当a0时，关于x的方程f（ex）x+lnk0在区间（0，ln4上有两个不同的解，求实数k的取值范围【分析】（1）由题意知：f（x）+f（x）0，化简整理，解得a，b，即可得出答案（2）由a0知：，故，问题转化为在区间（0，ln4上有两个不同的解，即可得出答案解：（1）由题意知：f（x）+f（x）0，整理得，即（ab）2x2b2x21，对于定义域内任意x都成立，解得或（2）由a0知：，故，由已知有 ，可得，即在区间（0，ln4上有两个不同的解，令uex1，u（0，3当且仅当时等号成立，而在上递减，在上递增，且u3时又该方程有两个不同的解，所以故K的取值范围是