1、1.7定积分的简单应用Q大家都可以想象到天女散花的情景左手提着一篮娇艳美丽的鲜花，右手把一朵鲜花散落，一片片花瓣飘荡在空中，随后落在人间，让人产生无尽的遐想一片花瓣的图形可以看成两条美丽的曲线相交而成由前面学习的定积分的知识，我们可以计算出该图形的面积，即一片花瓣平铺的面积X1求平面图形的面积(1)求由一条曲线yf(x)和直线xa、xb(a0，f(x)dx0，因此面积Sf(x)dx；图中，f(x)0，f(x)dx0，因此面积S|f(x)dx|f(x)dx；图中，当axc时，f(x)0，当c0，因此面积S|f(x)|dxf(x)dxf(x)dx.(2)求由两条曲线f(x)和g(x)，直线xa、x
2、b(ag(x)0，面积Sf(x)g(x)dx；图中，f(x)0，g(x)0)在曲线yx2上，若阴影部分面积与OAP面积相等，则x0.(2)(2019安阳高二检测)如图是函数ycos(2x)在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是(B)ABCD解析(1)S阴x2dxx03x，SOAPx0x0，由题意知xx0，因为x00，所以x0.(2)由已知函数ycos(2x)的周期为T，知图中阴影的最右的端点坐标为(，0)，故阴影部分的面积Scos(2x)dxcos(2x)dxsin(2x)sin(2x)sin()sin()sinsin()1.命题方向2分割型平面图形面积的求解典例2求由曲线y、y2x、yx所围
3、成图形的面积思路分析画出三条曲(直)线，求出交点坐标，将平面图形按交点分割成可求积分的几部分再求解解析解法1：画出草图，如图所示解方程组、及得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)所以S(x)dx(2x)(x)dx(x)dx(2x)dx(xx2)|(2xx2)|(2332)(2).解法2：若选积分变量为y，则三个函数分别为xy2，x2y，x3y.因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)所以S1(2y)(3y)dy(2y)y2dy1(22y)dy(2yy2)dy(2yy2)|(2yy2y3)|(21)2.规律总结由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上
4、方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的各交点坐标，可以将积分区间细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限为y的对应值被积函数也相应的改变.跟踪练习2求由抛物线y2，y2x1所围成图形的面积解析在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形，如图所示方法一：以x为积分变量由得两个抛物线的两个交点坐标分别为A(，)，B(，)设点P(1,0)，则所求面积S2(dxdx)2x(x1) .方法二：以y为积分变量由得两个抛物线的两个交点坐标分别为A(，)，B(，)设点P(1,0)，
5、则所求面积S2 (y215y2)dy2(yy3) .命题方向3变速直线运动的路程、位移问题典例3有一动点P从原点出发沿x轴运动，在时刻为t时的速度为v(t)8t2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)求：(1)t6时，点P离开原点后运动的路程和点P的位移；(2)经过时间t后又返回原点时的t值思路分析(1)(2)解析(1)由v(t)8t2t20得0t4，即当0t4时，P点沿x轴正方向运动，当t4时，P点向x轴负方向运动故t6时，点P离开原点后运动的路程s1(8t2t2)dt(8t2t2)dt(4t2t3)|(4t2t3)|.当t6时，点P的位移为(8t2t2)dt(4t2t3)|0.(2)依题意(
6、8t2t2)dt0，即4t2t30，解得t0或t6，t0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t6是所求的值规律总结1.沿直线运动时，路程是位移的绝对值之和，从时刻ta到时刻tb所经过的路程s和位移s情况如下：(1)若v(t)0，则sv(t)dt；sv(t)dt.(2)若v(t)0，则sv(t)dt；sv(t)dt.(3)若在区间a，c上v(t)0，在区间c，b上v(t)0)与直线xy60及y0所围成图形的面积为()A16B16C D错解选D由y28x(y0)得y，,由xy60得y6x，,由得或(舍去)所求面积S(6x)dx6xx2(8x) |，故选D辨析错解没有画图分析曲线之间的位置关系，没有弄
7、清平面图形的形状，以致弄错被积函数和积分区间致误正解C由题意，所围成平面图形如图所示，由得所以抛物线y28x(y0)与直线xy60的交点坐标为(2,4)，方法一：(选y为积分变量)S(6yy2)dy(6yy2y3)|24864.方法二：(选x为积分变量)S()dx(6x)dxx|(6xx2)|(6662)(6222).点评用定积分求较复杂的平面图形的面积时，一要根据图形确定x还是y作为积分变量，同时，由曲线交点确定好积分上、下限；二要依据积分变量确定好被积函数，积分变量为x时，围成平面图形的上方曲线减去下方曲线为被积函数，积分变量为y时，围成平面图形的右方曲线减去左方曲线为被积函数；三要找准原
8、函数K1由直线x，x2，曲线y及x轴所围图形的面积为(D)ABCln2 D2ln2解析结合图形，易知x2，x分别为定积分的上、下限，则图形的面积S2ln2.故选D2由曲线yx21，直线x0，x2和x轴围成的封闭图形(如图所示)的面积可表示为(B)A(x21)dxB|x21|dxC(x21)dxD(x21)dx(x21)dx解析曲线yx21，直线x0，x2和x轴围成的封闭图形的面积，应该根据图形的对称性表示为|x21|dx.故选B3做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)1ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x10处运动到点x21处，力F(x)所做的功是(B)A1e BeC1e De1解析WF(x)dx(1ex)dx(xex)|(1e)1e.4一物体在变力F(x)(N)的作用下沿坐标平面内x轴的正方向由x8m处运动到x18m处，求力F(x)在这一过程中所做的功解析由题知F(x)在这过程中所做的功为F(x)在8,18上的定积分从而WF(x)dx36x1,(36181)(3681),2()J.即F(x)在这过程中所做的功为J.