1、高中同步测控优化训练(十)第七章 直线和圆的方程(二)(B卷)说明:本试卷分为第、卷两部分，请将第卷选择题的答案填入题后括号内，第卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.若直线xy=2被圆(xa)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为A.1或B.1或3C.2或6D.0或4分析:本题考查直线被圆截得弦长问题.解:直线被圆截得弦长为2,r=2,圆心(a,0)到直线xy=2的距离为=,得a=0或4.答案:D2.已知直线l:axy+b=0，圆M:x2+y22ax+2by=0，则l与M在同一坐标系中的图形只
2、可能是解析:圆M一定过原点，故排除A、C，再根据a、b的几何意义只可能是B.答案:B3.一个动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点(3，0)连线中点的轨迹方程是A.(x+3)2+y2=4B.(x3)2+y2=1C.(2x3)2+4y2=1D.(x+)2+y2=解析:令圆上动点为(x0,y0)，它与定点(3，0)连线的中点为(x,y)，则有(2x3)2+(2y)2=1(2x3)2+4y2=1.答案:C4.若直线x+y=m与圆(为参数,m0)相切，则m为A.B.2C.D.分析:本题考查圆的参数方程、直线与圆的位置关系.解:对圆消参得x2+y2=m.直线与圆相切，则=,m=2.答案:B5.如果实数
3、x、y满足(x2)2+y2=3,那么的最大值是A.B.C.D.解析:设=k,问题转化为直线y=kx与圆(x2)2+y2=3有公共点时,求k的最大值.数形结合,借助图形观察,可以判断k的最大值是,最小值是.答案:D6.如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my4=0交于M、N两点,且M、N关于直线x+y=0对称,则不等式组表示的平面区域的面积是A.B.C.1D.2分析:本题综合考查直线、圆以及简单线性规划的知识.解:因M、N关于直线x+y=0对称,所以k=1.所以圆的方程为x2+y2+x+my4=0,圆心为(,).依题意得直线x+y=0经过圆心,则=0,得m=1.所以不等式组为作出其可行域如
4、上图.面积为=.答案:A7.已知两点A(2，0)、B(0，2)，点C是圆x2+y22x=0上的任意一点，则ABC面积的最小值是A.3B.3+C.D.分析:本题考查几何法求最值.解:|AB|=2为定值，要使ABC面积最小，只需过圆心(1，0)作直线AB的垂线，与圆的交点即为点C.又直线AB:xy+2=0，圆心(1，0)到直线的距离为d=,(SABC)min=|AB|(dr)=2(1)=3.答案:A8.若直线l将圆x2+y22x4y=0平分，且不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是A.0，2B.0，1C.0，D.0，)分析:应用圆的性质，数形结合解决.解:若l平分圆，则l必通过圆心.由图形可
5、知，当直线通过原点时,斜率最大；当直线平行于x轴时，斜率最小.斜率的取值范围为0，2.答案:A9.和y轴相切，且和半圆x2+y2=4(0x2)相内切的动圆圆心P的轨迹方程是A.y2=4(x1)(0x1)B.y2=4(x1)(0x1)C.y2=4(x+1)(0x1)D.y2=2(x1)(0x1)解析:设动圆圆心为P(x,y)，由动圆切于y轴，故r=|x|.又由动圆与已知圆内切可知=2|x|,整理得y2=4|x|+4.由于半圆需满足0x2的条件，y2=4(x1)(0x1).答案:B10.已知点M(a,b)(ab0)是圆C:x2+y2=r2内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程是ax
6、+by=r2，那么A.lm且m与圆C相切B.lm且m与圆C相切C.lm且m与圆C相离D.lm且m与圆C相离解析:kOM=,kl=.l的方程为ax+bya2b2=0.又m的方程为ax+by=r2,且a2+b2r2,lm.又圆心(0，0)到m的距离d=r,故m与圆C相离.答案:C第卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.若圆(x3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x3y2=0的距离为1，则半径r的取值范围是_.分析:本题考查数形结合，直线与圆的位置关系.解:要满足条件，需圆心(3，5)到直线的距离r1dr+1,又d=5,4r6.答案:(4,6)
7、12.若过点(1，2)总可作两条直线和圆x2+y2+kx+2y+k215=0相切，则实数k的取值范围是_.分析:利用数形结合,点在圆外就可作两条切线.解:利用点与圆的位置关系可知点在圆内不能作圆的切线，点在圆上能作圆的一条切线，点在圆外能作两条切线.故圆(x+)2+(y+1)2=k2+16.2k或k3.答案:2k或k313.若圆x2+y2+mx=0与直线y=1相切,且其圆心在y轴的左侧,则m的值为_.分析:本题考查直线与圆的位置关系和圆的一般方程的应用.解:由已知有(x+)2+y2=,则有0.又圆与y=1相切,则半径r=1,所以=1m=.又m0,则m=.答案:14.一光线从点A(3，2)射到x
8、轴上，再反射到半圆x2+y2=2(y0)上的B点，则光线从点A到点B所经过路程的最大值为_.解析:点A(3，2)关于x轴的对称点A(3,2)，由圆的性质可知，连结AO延长交半圆于点C，则AC=AO+OC为所求路程的最大值.AC=AO+OC=+=+.答案: +三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)若x、y满足(x1)2+(y+2)2=4,求S=2x+y的最大值和最小值.解:由(x1)2+(y+2)2=22可知，它表示以(1，2)为圆心，半径等于2的圆.令x=1+2cos,y=2+2sin,则S=2x+y=2+4cos2+2sin=4
9、cos+2sin.|S|=2，即2S2.S的最大值是2，最小值为2.16.(本小题满分10分)已知圆C:(x1)2+(y2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (mR).(1)证明不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.(1)证明:若按常规思路只需圆心O(1，2)到直线l的距离恒小于半径即可，但注意到直线l的方程写成x+y4+m(2x+y7)=0后，发现直线l过直线x+y4=0与直线2x+y7=0的交点(3，1).若该定点在圆内部，则问题(1)得证.(31)2+(12)2=525，点(3，1)在圆内部.不论m为何实数
10、，直线l与圆恒相交.(2)解:从(1)的结论知直线l过定点M(3，1)且与过此点的圆O的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理知|AB|=2=2=4.此时kl=，即=2，解得m=，代入，得直线l方程为2xy5=0.17.(本小题满分12分)某一种大型商品在A、B两地出售，且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是:按单位距离计算，A地的运费是B地运费的3倍，已知A、B两地距离10 km.顾客选择A或B地购买这件商品的标准是:包括运费的总费用较低.求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.解:以A、B所确定的直线为x轴
11、，A、B中点O为原点，建立坐标系.AB=10，A(5，0)、B(5，0).设某地P的坐标为(x,y)，且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/千米，则B地运费为a元/千米.P地居民的购货总费用满足条件:价格+A地运费价格+B地运费，即3aa,两边平方整理得(x+)2+y2()2.以点C(,0)为圆心，为半径的圆是两地购货区域的分界线，圆C内的居民从A地购货便宜；圆C外的居民从B地购货便宜；圆C上的居民从A、B两地购货的总费用相等，因此可以随意从A地、B地之一购货.18.(本小题满分12分)已知点P(2,3)和以Q为圆心的圆(x4)2+(y2)2=9.(1)画出以PQ为直径,Q为
12、圆心的圆,再求出它的方程.(2)作出以Q为圆心的圆和以Q为圆心的圆的两个交点A、B.直线PA、PB是以Q为圆心的圆的切线吗?为什么?(3)求直线AB的方程.解:(1)因为P(2,3),Q(4,2)是以Q为圆心的圆的直径的两个端点,所以以Q为圆心的圆的方程是(x+2)(x4)+(y+3)(y2)=0,即x2+y22x+y14=0.(2)PA、PB是圆(x4)2+(y2)2=9的切线.因为点A、B在圆x2+y22x+y14=0上,且PQ是直径.所以PAAQ,PBBQ.所以PA、PB是圆(x4)2+(y2)2=9的切线.(3)两方程(x4)2+(y2)2=9、x2+y22x+y14=0相减,得6x+
13、5y25=0.这就是直线AB的方程.19.(本小题满分12分)设有半径3 km的圆形村落,A、B两人同时从村落中心出发,A向东,而B向北直进,A出村后不久,改变前进方向,斜着沿切于村落周界的方向前进,后来恰好与B相遇,设A、B两人的速度都一定,其比为31,问A、B两人在何时相遇.分析:注意到村落为圆形,且A、B两人同时从村落中心出发分别沿东、北方向运动,于是可设想以村落的中心为原点,以开始时A、B的前进方向为x轴、y轴,建立直角坐标系,从而为建立解析几何模型创造了条件.解:由题意可设A、B两人的速度分别为3v km/h、v km/h,再设A出发后x0 h,在点P处改变方向,又经y0 h,在点Q处与B相遇,则P、Q两点的坐标分别为(3vx0,0)、(0,vx0+vy0),如上图所示.由于A从P到Q行走的时间为y0 h,于是由勾股定理有|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,即(3vx0)2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2,化简得(x0+y0)(5x04y0)=0.又x0+y00,5x0=4y0.于是kPQ=.将代入,得kPQ=.由于切线PQ与y轴的交点Q对应的纵坐标vx0+vy0的值就是问题的答案.于是转化为:当直线y=x+b与圆x2+y2=9相切时,求纵截距b的值.利用圆心到切线的距离等于半径,得=3,解得b=.因此,A和B相遇的地点是在离村落中心正北 3 km处.
