1、河北省张家口市宣化第一中学2021届高三数学上学期阶段测试试题（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 已知命题p：，命题q：若，则，下列命题为真命题的是A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于A. B. C. D. 4. 函数在单调递增，求a的取值范围A. B. C. D. 5. 设，则A. B. C. D. 6. 已知函数满足，且的导数，则不等式的解集为A. B. C. D. 7. 函数的大致图象为A. B. C. D. 8. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布
2、数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数当时，标志着已初步遏制疫情，则约为A. 60B. 63C. 66D. 699. 对任意实数a，b定义运算“：，设，若函数的图象与x轴恰有三个交点，则k的取值范围是A. B. C. D. 10. 设函数，若是的极大值点，则a的取值范围为 A. B. C. D. 11. 已知定义域为R的函数，若关于x的方程有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解，则A. B. C. 3D. 212. 已知函数，函数与的图象关于点对称，若，则的最小值为A. 2B. C. ln2D. 二、填空题（本大题共5小题，共30
3、.0分）13. 已知函数的图象在点处的切线斜率为a，则_14. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则_15. 已知函数，正实数m，n满足，且，若在区间上的最大值为2，则_16. 已知是奇函数，当时，当时，的最小值为1，则a的值等于_17. 直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度已知直线l的参数方程为为参数，曲线C的极坐标方程为求曲线C的直角坐标方程；设直线l与曲线C相交于A、B两点，当变化时，求的最小值三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）18. 已知数列的前n项和，其中证明是等比数列，并求其通项公式；若，求19. 已知内角A、B、C的对边分别为a、b
4、、c，证明：；求的最小值20. 如图，四棱锥中，是正三角形，四边形ABCD是菱形，点E是BS的中点求证：平面ACE；若平面平面ABCD，求三棱锥的体积21. 设函数求的单调区间；求函数在区间上的最小值22. 函数为自然对数的底数，a为常数，曲线在处的切线方程为求实数a的值；证明：的最小值大于23. 已知函数，M为不等式的解集求集合M；若a，求证：答案1.【答案】A【解析】解：集合，故选：A求出集合M，N，由此能求出本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，属于
5、容易题先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案【解答】解：命题p：，使成立故命题p为真命题；当，时，成立，但不成立，故命题q为假命题，故命题，均为假命题；命题为真命题，故选B3.【答案】D【解析】【分析】根据导数公式先求出，然后令即可得到的值本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握导数的公式以及导数的运算法则，比较基础【解答】解：，令，则，即，故选：D4.【答案】C【解析】解：令，由复合函数的单调性可知，解可得，故选：C结合复合函数的单调性及对数函数的性质即可求解本题考查复合函数单调性的应用，不要漏掉对定义域的考虑5.【答案】A【解析】【分析】本题考查三个数的大小的判断，考查
6、指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解：，故选：A6.【答案】D【解析】解：根据题意，设，其导数，则函数在R上为增函数，又由，则，不等式，又由在R上为增函数，则，解可得：，即不等式的解集为；故选：D根据题意，设，对其求导分析可得函数在R上为增函数，由的值计算可得的值，将不等式变形分析可以转化为，由函数的单调性可得，解可得x的取值范围，即可得答案本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系，关键是构造函数，并分析函数的单调性7.【答案】B【解析】解：要使函数有意义，则，得，是偶函数，则关于y轴对称，则关于对称，排除A，D，当
7、，排除C，故选：B判断函数的对称性，利用当，进行判断排除即可本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数对称性，函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键难度不大8.【答案】C【分析】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题根据所给材料的公式列出方程，解出t即可【解答】解：由已知可得，解得，两边取对数有，解得，故选：C9.【答案】A【分析】本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，根据定义求出的表达式是解决本题的关键，属于较难题由，得，根据定义化简函数的解析式，作出函数的图象，利用函数与的图象有3个交点，利用数形结合即可得到结论【解答】解：
8、当时，解得，当时，解得或，或，函数的图象如图所示：由图象得：，函数与的图象有3个交点，即函数的图象与x轴恰有三个公共点；故答案选：A10.【答案】B【解析】解：的定义域为，由，得所以若，由，得当时，此时单调递增；当时，此时单调递减所以是的极大值点若，由，得，或因为是的极大值点，所以，解得综合：a的取值范围是故选：B求出函数的的定义域，由，得，通过讨论a的范围，去掉函数的单调区间，结合已知条件求出a的取值范围即可本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化11.【答案】A【解析】解：当时，函数单调递增，则关于x的方程在内至多只有两个解，所以必为其中
9、一解，即，故当时，此时由函数得，若关于x的方程有无数个不同的实数解，则当时，也一定满足方程，此时有，由可得，当时，由即，得，解得或，解得，或，故选：A由题意，必为其中一解，且当时，也一定满足方程，进而求得，当时，可解得，或，进而得解本题考查分段函数，考查分类讨论思想及运算求解能力，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题12.【答案】D【解析】解：设函数上任意一点，点关于对称的点为，则，即，依题意，则，设，则，易知函数在单调递减，在单调递增，即的最小值为故选：D根据对称关系可求得，再根据，可得到，进而表示出，构造函数利用导数研究其最小值即可本题考查函数的对称性及利用导数研究函数的最值，考查转化思
10、想及构造函数思想，属于中档题13.【答案】【解析】解：函数的导数为，可得图象在点处的切线斜率为，可得，解得故答案为：求出函数的导数，令，求得切线的斜率，解方程可得a本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题14.【答案】0【解析】解：根据题意，是定义域为的奇函数，则，且；又由即有，则，进而得到，为周期为4的函数，若，可得，则，则；故答案为：0根据题意，由函数的对称性分析可得为周期为4的函数，分析可得的值，结合函数的周期性分析可得答案本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意分析函数的周期性，属于基础题15.【答案
11、】【解析】解：，且，若在区间上的最大值为2，故答案为：先结合函数的图象和性质，再由，得到m，n的倒数关系，再由“若在区间上的最大值为2”，求得的值得到结果本题主要考查对数函数的图象和性质，特别是取绝对值后考查的特别多，解决的方法多数用数形结合法16.【答案】1【解析】解：是奇函数，时，的最小值为1，在上的最大值为，当时，令得，又，令，则，在上递增；令，则，在上递减，得故答案为：1根据函数的奇偶性，确定在上的最大值为，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得a的值本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题17.【答案】解：由，得，所以曲线C的直角坐
12、标方程为将直线l的参数方程代入，得设A、B两点对应的参数分别为、，则，当时，取最小值2【解析】利用，即可化为直角坐标方程；将直线l的参数方程代入，利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即可得出本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义等基础知识与基本技能方法，属于基础题18.【答案】解：，当时，两式相减，得，即，即，即，是等比数列，公比，当时，即，；若，则，即，则，得【解析】本题主要考查数列递推关系的应用，根据时，的关系进行递推是解决本题的关键考查学生的运算和推理能力，属于中档题根据数列通项公式与前n项和公式之间的关
13、系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可根据条件建立方程关系进行求解就可19.【答案】解：证明：由得：；两边同乘以cosAcosB得，；即；根据正弦定理，；，代入得：；，且，当且仅当时取等号；又a，；由余弦定理，；的最小值为【解析】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式的应用，不等式的性质由切化弦公式，带入并整理可得，这样根据两角和的正弦公式即可得到，从而根据正弦定理便可得出；根据，两边平方便可得出，从而得出，并由不等式得出，也就得到了，这样由余弦定理便可得出，从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值20.【答案】解：证
14、明：连接BD，设，连接OE，则点O是BD的中点又因为E是BS的中点，所以，又因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE因为四边形ABCD是菱形，且，所以又因为，所以三角形ABD是正三角形取AB的中点F，连接SF，则，且又平面平面ABCD，平面ABCD，平面平面，所以平面即DF是四棱锥的一条高而综上，三棱锥的体积为4【解析】连接BD，设，连接OE，则点O是BD的中点推导出，由此能证明平面ACE推导出三角形ABD是正三角形平面即DF是四棱锥的一条高，由，能求出三棱锥的体积本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21
15、.【答案】解：，当x在时，函数递增，当x在时，函数递减，故函数的增区间为，减区间为；，在区间上大于零，函数的最小值为【解析】求出导函数，得出函数的单调区间；求导函数，判断函数在区间上的单调性即可本题考查了导函数的应用，利用导函数判断函数的单调性，求出函数的最值22.【答案】解：对求导可得，所以由曲线在处的切线方程为可知，故证明：由知，得，又再次求导易知，所以在上单调递增注意到，所以由零点存在性定理可知存在，使得，即，即当时，单调递减；当时，单调递增于是，易知在上单调递减，所以【解析】求出导函数，利用切线的向量以及切线方程，列出方程，即可求实数a的值；通过两次求导，利用导函数的符号，判断函数的单调性，转化求解函数的最小值即可证明的最小值大于本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，二次导函数的应用，考查计算能力23.【答案】解：当时，由解得，；当时，恒成立，；当时，由解得，综上，的解集；证明：由a，得，【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式等基础知识，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；由，即可证得要求证得式子