1、1.1.3导数的几何意义Q我国著名数学家华罗庚教授对数与形做过这样的描述：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休我们已经知道导数的物理意义为某一时刻的瞬时速度，那么函数图象在某点附近的变化情况又如何呢？它具有怎样的几何意义？X1曲线的切线：过曲线yf(x)上一点P作曲线的割线PQ，当Q点沿着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定的直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线yf(x)在点P的切线.2导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数，就是曲线yf(x)在xx0处的切线的斜率，即kf(x0) .3导数的物理意义：物体的运动方程ss(t)在点t0处的导数s(t0)
2、，就是物体在t0时刻的瞬时速度.4函数的导数对于函数yf(x)，当xx0时，f(x0)是一个确定的数当x变化时，f(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数yf(x)的导函数(简称为导数)，即f(x)y .Y1曲线yx2在点P(1,1)处的切线方程为(B)Ay2xBy2x1Cy2x1 Dy2x解析2xx， 2x，y|x12，切线方程为y12(x1)，即y2x1.2yax21的图象与直线yx相切，则a(B)ABCD1解析a(x)2ax， 2ax，即y2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax01，x0.切点在直线yx上，y0 .代入yax21得1，a，故选B3若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)
3、处的切线方程为3xy10，则(B)Af(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在解析由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x0)处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f(x0)3.故选B4已知曲线yx23上一点P(1，)，则过点P的切线的斜率为(B)A B1 C1 D解析yx23，y (xx)x.y|x11，在点P(1，)的切线的斜率为1.H命题方向1求切线方程典例1已知曲线C：yx3.(1)求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？思路分析求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在xx0处的导数表
4、达式，再把x的值代入求导数值解析(1)将x2代入曲线C的方程得y4，切点P(2,4)y|x2 42x(x)24.ky|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)由可得(x2)2(x4)0，解得x12，x24.从而求得公共点为P(2,4)或M(4，20)即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共点规律总结1.求曲线在点P(x0，y0)处切线方程的步骤：(1)求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为yy0f(x0)(xx0)；2过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤：(1)设切点为Q(x0，y0)；
5、(2)求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)；(3)利用点Q在曲线上和f(x0)kPQ，解出x0，y0及f(x0)(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为yy0f(x0)(xx0)3要正确区分曲线yf(x)在点P处的切线，与过点P的曲线yf(x)的切线求曲线过点P的切线方程时，先验证点P是否在曲线上，再分别按上述1、2求解4f(x0)0时，切线的倾斜角为锐角；f(x0)0时，切线的倾斜角为钝角；f(x0)0时，切线与x轴平行f(x)在x0处的导数不存在，则切线垂直于x轴或不存在跟踪练习1设函数f(x)存在导函数，且满足 1，则曲线yf(x)上点(1，f(1)处的切线斜率为(B)A2B1C
6、1 D2解析 f (1)1.命题方向2求切点的坐标典例2(1)曲线f(x)在点P处的切线方程为2xy30，则点P的坐标为(1，1).(2)曲线f(x)2x2x在点P处的切线与直线xy10垂直，则点P的坐标为(，0).思路分析解此类题的步骤为：设切点坐标(x0，y0)；求导函数f(x)；求切线的斜率f(x0)；由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；由于点(x0，y0)在曲线yf(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标解析(1)设切点P为(x0，y0)，则kf (x0) .切线方程为2xy30，切线斜率为2.2.x01.f(x0)f(1)1.切点P为(1，1)(2)设切点P为(x0，y0)
7、，则kf (x0) (4x02x1)4x01.在P处的切线与xy10垂直，4x011.x0.f(x0)f()2()20.切点P为(，0)规律总结切点问题的处理方法(1)由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标(2)解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，直线平行或垂直与斜率的关系等跟踪练习2已知抛物线f(x)2x21在某点处的切线的倾斜角为45，求该切点的坐标解析设切点坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0x2(x)2，所以4x02x，f (x0)4x0.因为抛物线的切线的倾斜角为45，所以斜率为tan45
8、1.即f (x0)4x01，得x0，所以切点的坐标为(，)命题方向3最值问题典例3若抛物线y4x2上的点P到直线y4x5的距离最短，求点P的坐标思路分析抛物线上到直线y4x5的距离最短的点，是平移该直线与抛物线相切时的切点解答本题可先求导函数，再求P点的坐标解析由点P到直线y4x5的距离最短知，过点P的切线方程与直线y4x5平行设P(x0，y0)，则y (8x4x)8x，由得故所求的点为P.规律总结求最值问题的基本思路：(1)目标函数法：通过设变量构造目标函数，利用函数求最值(2)数形结合法：根据问题的几何意义，利用图形的特殊位置求最值.跟踪练习3曲线yx2上的点到直线xy30的距离的最小值为
9、.解析解法一：设曲线yx2上任一点P(x0，y0)，则y0x，P到直线xy30的距离d(x0)2，当x0时，dmin.解法二：设与xy30平行的直线方程为xym0，由消去y得：x2xm0，14m0，m，所求最小距离d.解法三：设与直线xy30平行的直线与曲线yx2切于点P(x0，y0)，则由y (2x0x)2x0，由得，P(，)，点P到直线xy30的距离d.X导数几何意义的综合应用导数的几何意义的综合运用，主要是依据函数yf(x)在xx0处的导数，即曲线f(x)在点x0处的切线的斜率去求切点坐标及切线方程，再利用题中所提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围以及直线间的位置关系等求解相
10、关问题典例4已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l1，l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积解析(1) f (1) (x3)3，所以直线l1的方程为y3x3.设直线l2与曲线yx2x2相切于点B(b，b2b2)，则可求得切线l2的斜率为2b1.因为l1l2，则有2b1，b.所以直线l2的方程为yx.(2)解方程组得所以直线l1和l2的交点坐标为(，)l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，(，0)所以所求三角形的面积S|.规律总结1.导数的几何意义是指：曲线yf(x)在点(x0，y0)处的切线的斜率就
11、是函数yf(x)在xx0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值2运用导数几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率3若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解跟踪练习4(1)已知曲线yx22上一点P(1，)，则过点P的切线的倾斜角为(B)A30B45C135 D165(2)已知直线xy10与抛物线yax2相切，则a的值为.解析(1)yx22，y (xx)x.y|x11.过点P(1，)的切线的斜率为1，则切线的斜率角为4
12、5.(2)设切点为P(x0，y0)，则f (x0) (2ax0ax)2ax0，即2ax01.又y0ax，x0y010，联立以上三式，得解得a.Y求切线方程时忽视点是否在曲线上致误典例5求经过点(2,0)，且与曲线y相切的直线方程错因分析将(2,0)误认为是切点，直接由导数的几何意义得切线斜率f (2) ，从而得切线方程为y0(x2)正解经验证点(2,0)不在曲线y的图象上，则设切点为P(x0，y0)由y|xx0 ，得所求直线方程为yy0(xx0)因为点(2,0)在切线上，所以xy02x0.又点P(x0，y0)在曲线y上，所以x0y01，联立可解得x01，y01，故所求直线方程为xy20.点评错
13、解中没有注意到点(2,0)根本不在曲线y上，直接求出函数在x2处的导数作为曲线切线的斜率，而导致错误避免这种错误的方法是先判断点是否在曲线上，如果点在曲线上，那么曲线在该点处的切线的斜率才等于函数在该点处的导数值，否则，如果点不在曲线上，应先另设切点，再利用导数的几何意义求解K1(2019深圳高二检测)曲线yf(x)在点(2，2)处的切线的斜率k为(C)ABC1D解析k 1.2(2019阜阳高二检测)函数yf(x)的图象在点P(5，f(5)处的切线方程是yx8，则f(5)f (5)(C)A B1 C2 D0解析yf(x)的图象在点P(5，f(5)处的切线方程为yx8，可得yf(x)在点P(5，
14、f(5)处的切点纵坐标和切线斜率分别为f(5)583，f (5)1，则f(5)f (5)2.3(2019临沂高二检测)曲线yx33x21在点P处的切线平行于直线y9x1，则此切线的方程为(D)Ay9x By9x26Cy9x26 Dy9x6或y9x26解析(x)23x0x3x3x6x0f (x0)3x6x03x6x09.解x03或x01，点P(3,1)或(1，3)切线斜率为9.y9x26或y9x6.选D4(2019威海高二检测)已知曲线f(x)x21与g(x)x31在xx0处的切线互相垂直，求x0的值解析因为f (x) (2xx)2x，g(x) (x)23xx3x23x2，所以k12x0，k23x，由k1k21，即6x1，解得x0.