1、1.1.2导数的概念Q中国高速铁路，常被简称为“中国高铁”中国是世界上高速铁路发展最快、系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运营速度最快、在建规模最大的国家同学们，高速列车，风驰电掣，呼啸而过，怎样确定它的瞬时速度？怎样研究它的速度与路程的关系呢？X1瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度若物体运动的路程与时间的关系式是sf(t)，当t趋近于0时，函数f(t)在t0到t0t之间的平均变化率趋近于常数，我们就把这个常数叫做t0时刻的瞬时速度即v .故瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率2导数：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 .我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(
2、x0)或y|xx0，即f(x0) .Y1已知物体的运动方程是S4t216t(S的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t2s时的瞬时速度为(D)A3m/sB2m/sC1m/s D0m/s解析S4(2t)216(2t)4221624(t)2，4t，v (4t)0.物体在t2s时的瞬时速度为0m/s.2设f(x)2ax4，若f(1)2，则a等于(C)A2B2 C1D1解析f(1) 2a2a2.a1.3设函数f(x)可导，则等于(C)Af(1) B3f(1)Cf(1) Df(3)解析原式 f(1)4由导数的定义可求得，函数f(x)x22x在x1处的导数 f(1)0.解析f(1) x0.H命题方向1瞬时
3、速度典例1已知质点M按规律s2t23做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)(1)当t2，t0.01时，求；(2)当t2，t0.001时，求；(3)求质点M在t2时的瞬时速度思路分析先求s，ss(tt)s(t)2(tt)23(2t23)4tt2(t)2，再求，最后代值，t越接近于0，就越接近某时刻的瞬时速度解析4t2t.(1)当t2，t0.01时，4220.018.02(cm/s)(2)当t2，t0.001时，4220.0018.002(cm/s)(3)v (4t2t)4t428(cm/s)规律总结求物体在时刻t0的瞬时速度的一般步骤是：首先要求出平均速度，然后求解当时间增量t趋近于零时平均
4、速度所趋向的那个定值，这个定值即为物体在t0时刻的瞬时速度跟踪练习1某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t32表示，则此物体在t1s时的瞬时速度(单位：m/s)为(B)A1B3C1 D0解析由s(t)t32，得s(t) 3t23ttt23t2，所以s(1)3.则物体在t1s时的瞬时速度为3m/s.故选B命题方向2利用定义求函数在某点处的导数典例2根据导数定义求函数yx25在x2处的导数思路分析根据导数的定义求导数是求函数导数的基本方法解析当x2时，y(2x)254x(x)2，所以4x，所以y|x2 40.规律总结用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤：(1)
5、求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)求极限 .跟踪练习2求函数yx在x1处的导数解析因为y(1x)(11)x1，所以1，所以 (1)0.X导数的应用求物体的初速度，即求物体在t0时刻的速度，很容易误认为v00，有些函数表达式刻画的直线运动并不一定是由静止开始的直线运动典例3子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速运动sat2，如果它的加速度是a5105m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t1.6103s，求子弹射出枪口时的瞬时速度解析运动方程为sat2.因为sa(tt)2at2atta(t)2，所以atat.所以 at.由题意知，a5105m/s2，t1.6103s，所以
6、at8102800(m/s)，即子弹射出枪口的瞬时速度为800m/s.规律总结利用导数解决问题的关键是建立数学模型，特别是对有关物理问题一定要将其物理意义与导数联系起来由导数的定义知，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，它在现实生活中的作用是比较广泛的跟踪练习3若一物体运动方程如下：(位移s：m，时间t：s)sf(t)求：(1)物体在t3,5内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t1时的瞬时速度思路分析解答本题可先根据要求的问题选好使用的函数解析式，再根据求平均变化率和瞬时变化率的方法求解平均速度和瞬时速度解析(1)物体在t3,5内的时间变化量为t532，位移变化量为s3522(33
7、22)3(5232)48，物体在t3,5内的平均速度为24(m/s)(2)求物体的初速度v0，即求物体在t0时的瞬时速度物体在t0附近位移的平均变化率为3t18，物体在t0处位移的瞬时变化率为 (3t18)18，即物体的初速度v018m/s.(3)物体在t1时的瞬时速度即为物体在t1处位移的瞬时变化率物体在t1附近位移的平均变化率为3t12，物体在t1处位移的瞬时变化率为 (3t12)12，即物体在t1时的瞬时速度为12m/s.Y不能准确理解导数的概念致误典例4若f(x0)2，则 等于()A1 B2 C1D错解选Cf(x0)2， 2， 21.辨析错解没有弄明白自变量的增量与函数的增量的含义及对
8、应关系当函数增量yf(x0)f(x0k)时，自变量的增量xx0(x0k)k，而不是k.正解A f(x0)21，故应选A点评依据导数的定义 f(x0) ，x应为自变量的增量因此从x0到x0k的增量应为k，从x0到x03x的增量应为3x.K1(2019杭州高二检测)设函数yf(x)x21，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为(A)A2.1B1.1C2D0解析函数f(x)x21的自变量x由1变成1.1，所以x1.110.1，y(1.121)(121)0.21，2.1.故选A2(2019洛阳高二检测)一质点运动的方程为s53t2，若该质点在时间段1,1t内相应的平均速度为3t6，则该质点在t1时的瞬时速度是(D)A3 B3 C6 D6解析该质点在t1时的瞬时速度为6，故选D3(2019儋州校级期末)设函数yf(x)在xx0处可导，且 1，则f (x0)等于(A)A B C1 D1解析 () ()f (x0)1，f (x0)，故选A4(2019石家庄高二检测)一辆汽车按规律s3t21做直线运动(时间单位：s，位移单位：m)，求这辆汽车在t3s时的瞬时速度解析设这辆汽车在3s到(3t)s这段时间内的位移的增量为s，则s3(3t)21283(t)218t，所以3t18，所以 (3t18)18.故这辆汽车在t3s时的瞬时速度为18m/s.