1、第二章能力检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)1抛物线y28x的准线方程是()Ax2Bx2Cy2Dy2【答案】B【解析】抛物线y28x的准线方程是x2.故选B2(2018年新课标)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()AyxByxCyxDyx【答案】A【解析】e，3，即2.渐近线方程为yx.3若抛物线y22px的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p的值为()A2B2C4D4【答案】D【解析】双曲线1的右焦点为(2,0)，即抛物线y22px的焦点为(2,0)，2，p4.故选D 4(2019年山东济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆
2、心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使点M与点F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D抛物线【答案】B【解析】由条件知|PM|PF|，|PO|PF|PO|PM|OM|OF|.点P的轨迹是以点O，F为焦点的椭圆5(2019年江西赣州期末)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的点M的坐标为()A(0,0)BC(1，)D(2,2)【答案】D【解析】过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|MA|MN|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|MA|取得最小值，此时M(2,
3、2)6椭圆b2x2a2y2a2b2(ab0)和圆x2y22有四个交点其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率范围是()AeB0eCeDe【答案】A【解析】借助数形结合可知圆与椭圆有四个交点，满足bca，结合b可求得离心率的范围是e0，b0)的离心率e，2，令双曲线两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角为，则此角的取值范围是()ABCD【答案】C【解析】，.8双曲线1与椭圆1(a0，mb0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形一定是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形【答案】C【解析】设双曲线的离心率为e1，椭圆的离心率为e2，则e，e，由已知得ee1，即1，化简，得
4、a2b2m2.9(2019年云南昆明模拟)已知F1，F2是双曲线M：1的焦点，yx是双曲线M的一条渐近线，离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，则|PF1|PF2|等于()A10B12C14D16【答案】B【解析】由题意易得双曲线的方程为1，椭圆的方程为1，不妨设|PF1|PF2|，可得|PF1|PF2|12.10(2019年江西南昌模拟)已知抛物线C：y24x，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则MFN的面积等于()ABCD【答案】C【解析】设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则SMFNp|y1y2|
5、2|y1y2|y1y2|.直线方程是y(x1)，与抛物线方程联立，化简得y24y40，y1y2，y1y24，所以|y1y2|.故选C11如图，已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2y2b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为()ABCD【答案】D【解析】如图，连接OQ，PF1.点Q为线段PF2的中点，OQPF1，|OQ|PF1|，|PF1|2|OQ|2b.由椭圆定义得|PF1|PF2|2a，则|PF2|2a2b.线段PF2与圆x2y2b2相切于点Q，OQPF2，PF1PF2.又|F1F2|2c，(2b)2(2a2b)2(2c)2
6、.化简，得3b2a.5a29c2，则e.故选D12(2019年河北武邑中学月考)如图，已知椭圆C1：y21，曲线C2：yx21与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，则的值是()A正数B0C负数D都有可能【答案】B【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，1)，(x1，y11)，(x2，y21)设直线l的方程为ykx，联立整理为x2kx10，x1x2k，x1x21，x1x2(y11)(y21)x1x2y1y2(y1y2)1x1x2k2x1x2k(x1x2)11k2k210.故选B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，
7、满分20分)13(2019年广西贵港期末)若以F1(，0)，F2(，0)为焦点的双曲线过点(2,1)，则该双曲线的标准方程为_【答案】y21【解析】设双曲线方程是1(a0，b0)，则有解得a22，b21.该双曲线的标准方程是y21.14动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则点P的轨迹方程为_【答案】y28x【解析】由抛物线定义知点P的轨迹是以点F(2,0)为焦点的抛物线，p4，其方程为y28x.15(2019年浙江杭州模拟)我们把由半椭圆1(x0)与半椭圆1(xbc0)如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点若F0F1F2是边长为1的等边三角形，则ab的值为_【答案
8、】1【解析】|OF2|，|OF0|c|OF2|，b1.a2b2c21，得a.ab1.16设F为抛物线C：y23x的焦点，过点F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_【答案】【解析】易知抛物线中p，焦点F.又直线AB的斜率k，故直线AB的方程为y.代入抛物线方程y23x，整理得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2.由抛物线的定义可得弦长|AB|x1x2p12，结合图象可得点O到直线AB的距离dsin 30，故OAB的面积S|AB|d.三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17(10分)已知点A(1,0)，B(2,4)，ABC的面积为10，求
9、动点C的轨迹方程解：AB5，AB边上高h4.故点C的轨迹是与直线AB之间距离等于4的两条平行线kAB，AB的方程为4x3y40.可设轨迹方程为4x3yc0.由4得c24或c16.故动点C的轨迹方程为4x3y160或4x3y240.18(12分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y2x1截得的弦长为，求抛物线方程解：设直线与抛物线的两交点为A(x1，y1)，B(x2y2)联立方程，得消去y，得4x2(4a)x10.x1x2，x1x2.则|AB|x1x2|.解得a12或a4.抛物线方程为y212x或y24x.19(12分)双曲线C过点(2，)且与双曲线y21有相同的渐近线(1)求双曲线C的
10、标准方程；(2)求直线yx1被双曲线C截得的弦长解：(1)由公共渐近线可设C的方程为y2(0)双曲线C过点(2，)，()24.双曲线C的方程为y24，即1.(2)由消去y，可得3x28x120.则0.设直线与双曲线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x24.所求弦长为.20(12分)若抛物线yx22xm和直线y2x相交于不同的两点A，B(1)求实数m的取值范围；(2)求|AB|；(3)求线段AB的中点坐标解：联立方程，得消去y得x24xm0.(1)直线与抛物线有两个相异交点，0，即424(m)0.m4.(2)当m4时，方程x24xm0有两个相异实根，设为x1，x2，由根
11、与系数的关系，得x1x24，x1x2m.|AB|x1x2|2.(3)设线段AB的中点坐标为(x，y)，则x2，y4.线段AB的中点坐标为(2，4)21(12分)(2019年山东烟台模拟)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若2，求直线l的方程解：(1)设椭圆方程为1(ab0)c1，a2，b.椭圆C的方程为1.(2)由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1.联立化简，得(34k2)x28kx80，且0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得x12x2.又消去x2，得2.解得k
12、.直线l的方程为yx1.22(12分)(2018年云南十一校调研)已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在椭圆E上，且ABC面积的最大值为2.(1)求椭圆E的方程；(2)设点F为椭圆E的左焦点，点D在直线x4上，过点F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点求证：直线OD平分线段MN.(1)解：由题意得解得故椭圆E的方程为1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(4，n)线段MN的中点P(x0，y0)，则2x0x1x2,2y0y1y2.由(1)可得点F(1,0)，则直线DF的斜率为kDF.当n0时，直线MN的斜率不存在，由椭圆的对称性可知OD平分线段MN.当n0时，直线MN的斜率kMN.点M，N在椭圆E上，整理，得0.又2x0x1x2,2y0y1y2，即直线OP的斜率为kOP.直线OD的斜率为kOD，直线OD平分线段MN.