1、20172018学年度第一学期期中考试高一数学试题（A)第卷（选择题）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得。选A。2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A. 和 B. 和C. 和 D. 和【答案】B【解析】选项A中的两函数解析式不同，不合题意。选项C中的两函数的定义域不同，不是同一函数。选项D中的两函数的解析式不同，不是同一函数。综上选B。3. 已知函数,则 ( )A. B. 10 C. D. 【答案】A【解析】由题意得。选A。4. 函数的
2、零点所在的大致区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：，由零点存在性定理得选B考点：零点存在性定理5. 函数的大致图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数，故选A考点：幂函数的性质【方法点晴】本题主要考查了函数的定义域的求解和幂函数的图象与性质，着重考查了由函数的解析式到图象的判定，体现了数形结合法思想的应用同时牢记函数的定义域的求法和幂函数的图象与性质是解答的关键，本题的解答中，把函数化为，可得函数的定义域为，在根据幂函数的性质，判定函数单调递减，即可得到答案
3、6. 设,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由幂函数的性质得，又，所以，即。选B。7. 函数在单调递增，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数为开口向上的抛物线，且对称轴为。函数在单调递增，解得。实数的取值范围是。选B。8. 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由解得定义域为考点：求定义域9. 若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：关于的方程有四个不同的实数解，令，分别画出函数和的图象，要使的图象与的图象有两个交点，如上图直线应该在直线l和直线n
4、之间，故选C考点：函数的零点10. 函数的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得，所以。故函数的值域为。选C。11. 设函数是上点调递减函数，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数是上点调递减函数，解得。 实数的取值范围为。选B。 12. 已知定义在上的函数在上是减函数，若是奇函数，且,则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】是奇函数，函数图象的对称中心为（0,0），函数图象的对称中心为.又函数在上是减函数，函数在上为减函数，且.，。画出函数图象的草图（如图）。结合图象可得的解集是。选C。点睛：本题考查抽象函数的性
5、质及利用数形结合求不等式的解集。解题时要从函数的性质入手，同时也要把函数的性质转化为函数的性质，进一步得到函数的单调性和对称性，进而画出其图象的草图，根据图象写出不等式的解集。其中在解题中不要忘了是定义在R上的函数，故应该有这一结论，即函数的图象中要有这一个点。第卷（非选择题）二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应的位置上.13. 已知集合,则实数的值为_.【答案】或【解析】由题意得，故得，即，解得或.当时，符合题意。当时，符合题意。所以或。答案：或14. 函数的单调递减区间是_.【答案】【解析】由，解得或。当时，函数单调递增，故函数单调递减。所以函数的单调递
6、减区间为。答案：点睛：（1）求函数的单调区间时，不要忘了定义域的限制，即单调区间是定义域的子集。（2）函数的单调性由函数的单调性和函数的单调性的限制，满足“同增异减”的原则。15. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】函数的定义域为，在上恒成立。当时，恒成立，满足条件。当时，若函数的定义域为，则，解得。综上可得实数的取值范围是。答案：16. 已知实数，函数,若,则实数的值为_.【答案】或【解析】当时，则，由，得，即。解得。当时，则，由，得，即。解得。综上实数m的值为5或10。答案：5或10.点睛：本题考查分段函数的应用，解题时要根据分段函数的表达式，由于，故分别讨论当m0和
7、m0时，和的取值范围，然后根据表达式建立方程进行求解即可。解题时要注意的取值范围在解题中的限制。三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 设关于的函数的定义域为集合，函数的值域为集合.（1）求集合； （2）若集合满足，求实数的取值范围【答案】（1）或，；（2）或.【解析】试题分析：本题考查函数定义域的求法和集合的运算。（1）根据条件求得函数的定义域和函数的值域，即可得到集合；（2）由得，转化为不等式求解的范围。试题解析：(1)由题意得A=, 单调递增，,B. (2),. 或, 解得 或，实数a的取值范围是a|或.18. 计算：（1）.（2）.【答案】
8、（1）；（2）.【解析】试题分析：本题考查指数和对数的运算。（1）根据指数幂的运算法则求解即可。（2）根据对数运算的性质求解即可。试题解析：（1）原式 。（2）原式 。19. 已知二次函数满足条件和.（1）求；（2）求在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：本题考查用待定系数法求二次函数的解析式和求二次函数在闭区间上的最值。（1）设，根据条件求出参数即可。（2）根据二次函数图象开口方向及对称轴与区间的关系，结合单调性求出最值。试题解析：（1）设，由f(0)=1可知c=1. ，又，解得。 故 . （2）由（1）得， ， 当时，单调递减；当时，单调递增。又,.点睛：（1
9、）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解20. 已知函数对任意的实数都有,且当时， .（1）求证：函数在上是增函数；（2）若关于的不等式的解集为,求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：本题考查抽象函数单调性的证明以及用单调性解不等式的问题。（1）根据取值、作差、变形、定符号、下结论的步骤证明即可。（2）根据单调性将函数不等式转化为二次不等式，根据“三个二次”间的关
10、系求解。试题解析：(1)证明:设R，且,则,从而,，。故在上是增函数。(2)由（1）知 在上是增函数， , 即 , 由题意得不等式的解集为, 方程的两根为, 解得。点睛：（1）二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式。（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法 21. 提高过江大桥的车辆通行的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千
11、米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，就会造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数（1）当时，求函数的表达式；（2）如果车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数）(单位：辆/小时）那么当车流密度为多大时，车流量可以达到最大，并求出最大值（精确到辆/小时）.【答案】（1）；（2） .【解析】试题分析：本题考查函数模型在实际中的应用以及分段函数最值的求法。（1）根据题意用分段函数并结合待定系数法求出函数的关系式。（2）首先由题意得到的解析式，再根据分段函数最值的求得
12、求得最值即可。试题解析：(1)由题意:当时,; 当时,设 由已知得 解得 。综上可得 (2)依题意并由（1）可得 当时，为增函数，当时，取得最大值，且最大值为1200 。当时，当时，取得最大值，且最大值为。 所以的最大值为。故当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，且最大值为3333辆/小时.22. 已知函数.（1）判断函数的奇偶性；（2）判断并证明)在）上的单调性；（3）若对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）为奇函数；（2）证明见解析；（3）.【解析】试题分析：本题考查函数奇偶性的判断和单调性的证明，以及根据恒成立问题求参数取值范围。（1）根据奇偶性的判断方法证明。（2）根据
13、单调性的判断方法证明。（3）根据函数的单调性将函数不等式转化为一般不等式，通过分离参数的方法转化为求具体函数的最值问题处理。试题解析：（1）定义域R关于原点对称， , 为奇函数. （2）证明：设R，且，函数 在 上为增函数，,故，.函数在上是增函数 . （3），又为奇函数， ， 在上是增函数，对任意恒成立，对任意恒成立，设，则， 在上为增函数，当时，函数取得最小值，且。 。故实数的取值范围为。点睛：（1）用函数的方法研究恒成立问题是高考常考的知识点。（2）解决恒成立问题时，分离参数是常用的方法。通过分离参数，使得不等式的一边只含有参数，而另一边为具体的函数，通过求具体函数的最值可求得参数的取值范围，在确定参数的范围时要根据求出的函数的最值（或值域）确定等号是否取得。