1、5夹角的计算知识点一直线间的夹角 填一填(1)当两条直线l1和l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在0，内的角叫作两直线的夹角当直线异面时，我们在一条直线上取一点，作另一直线的平行线，与该直线所成的角叫作异面直线的夹角(2)已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.当0s1，s2时，直线l1与l2的夹角等于s1，s2；当s1，s2时，直线l1与l2的夹角等于s1，s2答一答为什么空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定？提示：空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定空间两直线的夹角与它们的方向向量的夹角有时是相等的，有时是互补的，空间两直线的夹角
2、是取0，内的角知识点二平面间的夹角 填一填(1)平面1与2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面1上作直线l1l，在平面2上作直线l2l，则l1l2R.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面1与2的夹角(2)已知平面1和2的法向量分别为n1和n2.当0n1，n2时，平面1与2的夹角等于n1，n2；当n1，n2时，平面1与2的夹角等于n1，n2答一答如上图，若在直线l上选取不同于R的点P，过点P在平面1上作直线al，在平面2上作直线bl，那么直线a和b的夹角与直线l1与l2的夹角是否相等？提示：相等al1，bl2，a与b所成的角和l1与l2所成的角相等知识点三直线与平面的夹角 填一填(
3、1)平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为0.如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是.答一答直线与平面的夹角和该直线的方向向量s与该平面的法向量n的夹角s，n是什么关系？提示：当s，n0时，；当0s，n时，s，n；当s，n时，0；当s，n时，s，n.1求异面直线所成的角主要有定义法(平移法)和向量法两种，定义法是先用平移法将两条异面直线平移到同一平面上，再求共面的两直线的夹角，向量法就是在两异面直线上取方向向量，将两异面直线所成的角与两方向向量的夹角联系在一起，但应注意两方向
4、向量夹角时，就是所求，若0，则C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，P(0,0,1)，F(a，)，(0，)，(2a,1，1)，(2a,0,0)，0，EFPB，则EF平面PAB.(2)由ABBC，得a，可得(，1,0)，(，1，1)，cos，(，)，0，PBAF，即PB平面AEF，则AC与平面AEF所成的角的余弦值为.【正解】以D为坐标原点，DA的长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系(1)证明：设E(a,0,0)，其中a0，则C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，P(0,0,1)，F(a，)(0，)，(2a,1，1)，(2a,0,0)0.EFPB.0
5、.EFAB.又PB平面PAB，AB平面PAB，PBABB，EF平面PAB.(2)由ABBC，得a.可得(，1,0)，(，1，1)cos，.异面直线AC、PB所成的角的余弦值为.(，)0.PBAF.又PBEF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线，PB平面AEF.AC与平面AEF所成的角的正弦值为.规律方法 在解题过程中，犯了两个错误：一个是没有弄清楚线面垂直的判定定理，错误地认为直线与平面内一条直线垂直就是线面垂直；一个是混淆了线面角的定义，错误地把直线与平面法向量的夹角当作线面角在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角ABD1C的大小解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的
6、棱长为1.D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)则(1,0,1)，(1,0,1)，(0,1,0)，由0，0，则是平面ABD1的一个法向量(0,1,1)，(1,0,0)，(1，1,1)，则0，0，是平面BCD1的一个法向量，cos，60.由图形知二面角ABD1C的大小为120.1直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成的角的余弦值为(C)A. B.C. D.解析：如图，分别以C1B1，C1A1，C1C为x，y，z轴
7、，建立空间直角坐标系令ACBCC1C2，则A(0,2,2)，B(2,0,2)，M(1,1,0)，N(0,1,0)(1,1，2)，(0，1，2)cos，.故选C.2若平面的法向量为m(1，1,3)，平面的法向量为n(0,3,1)，则平面与平面的夹角为(C)A30 B60C90 D120解析：平面的法向量为m(1，1,3)，平面的法向量为n(0,3,1)，又mn(1，1,3)(0,3,1)0，mn，.3在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为(B)A. B.C. D.解析：由于四面体ABCD为正四面体，所以A点在平面BCD的投影为BCD的中心，设为O.建立如图所示
8、的空间直角坐标系，设正四面体的棱长为a，则A(0,0，a)，C(a，0,0)，D(a，a,0)，E(a，a，a)(a，a，a)设平面BCD的法向量为n(x，y，z)，则n(0,0,1)cosn，.CE与平面BCD的夹角的正弦值为.4若平面的一个法向量为m(3,3,0)，直线l的一个方向向量为b(1,1,1)，则l与所成角的余弦值为.解析：平面的法向量为m(3,3,0)，直线l的一个方向向量为b(1,1,1)则cosm，b，sinm，b.l与所成角的余弦值为.5在一个二面角的两个面内分别有向量m(1,2,0)，n(3,0，2)，则m，n都与二面角的棱垂直，则该二面角的余弦值为.解析：由题意知，m，n所成的锐角即为二面角的平面角cosm，n.二面角的余弦值为.