1、2充分条件与必要条件知识点一充分条件的定义 填一填“若p，则q”形式的命题为真命题是指：由条件p可以得到结论q，通常记作：pq，读作“p推出q”，此时我们称p是q的充分条件答一答1判定定理中的条件是结论的充分条件你是怎样理解的？提示：只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，也就是说，为了得到结论，具备条件p就足够了，可表示为pq.2p是q的充分条件和p的充分条件是q是一回事吗？提示：不是p是q的充分条件是指p是条件，q是结论即pq；p的充分条件是q是指q是条件，p是结论，即qp.知识点二必要条件的定义 填一填如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即pq，称p是q的充分条件，同时，我们
2、称q是p的必要条件答一答对p是q的充分条件和q是p的必要条件你是怎样理解的？提示：p是q的充分条件和q是p的必要条件都可得出“若p，则q”是真命题，即pq，对同一个真命题，条件是结论的充分条件，而结论是条件的必要条件知识点三 充要条件的定义 填一填(1)如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即pq，同时“若q，则p”也为真命题，即qp，由于pq，所以p是q的充分条件；由于qp，所以p是q的必要条件，在这种情况下，我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件(2)我们常用“当且仅当”来表达充要条件p是q的充要条件也可以说成：p成立当且仅当q成立如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们通常
3、称命题p和命题q是两个相互等价的命题答一答如果p是q的充要条件，则命题“若p，则q”和它的逆命题的真假性如何？提示：因p是q的充分条件，则命题“若p，则q”是真命题，p是q的必要条件，则“若q，则p”是真命题，即命题“若p，则q”的逆命题也是真命题1关于充分条件的几个注意点：(1)处理充分条件的问题时，首先要分清条件和结论，然后才能进行推理和判断(2)对于“若p，则q”形式的命题，若命题为真，则p是q的充分条件；若命题为假，则p不是q的充分条件2关于必要条件的几个注意点：(1)对于“若p，则q”形式的命题，若命题为真，则q是p的必要条件；若命题为假，则q不是p的必要条件即充分条件、必要条件主要
4、是与判断“若p，则q”形式的命题的真假相关的，在理解这些概念时要注意结合具体的实例，这样有利于培养理论联系实际、分析问题、解决问题的能力(2)在判断条件p和结论q之间的因果关系时：分清条件是什么，结论是什么尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件推理方法可以是直接证法、间接证法(即反证法)，也可以举反例说明其不成立指出条件是结论的什么条件3对于充要条件的几个注意点：(1)一般地，关于充要条件的判断主要有以下几种方法：定义法：直接利用充要条件的定义判断等价法：“pq”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明一个命题成立时，就可以去证明它的等价命题成立利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p
5、和结论q都是集合，那么，若pq，则p是q的充分条件；若qp，则p是q的必要条件；若pq，则p是q的充要条件(2)从集合的观点看，充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的区别是：首先建立与p，q相应的集合，即p：Ax|x满足条件p，q：Bx|x满足条件q.类型一充分条件、必要条件、充要条件的判定【例1】下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：a，b，c成等比数列，q：b；(2)p：yx4，q：x1，y3；(3)p：ab，q：2a2b；(4)p：ABC是直角三角形，q：ABC为等腰三角形【思路探究】可先看p成立时，q是否成立，再反过来若q成立时，p是否成立，从而判定p，q间
6、的关系【解】(1)若a，b，c成等比数列，则b2ac，b，则pq；若b，当a0，b0时，a，b，c不成等比数列，即qp，故p是q的既不充分也不必要条件(2)yx4不能得出x1，y3，即pq，而x1，y3可得xy4，即qp，故p是q的必要不充分条件(3)当ab时，有2a2b，即pq，当2a2b时，可得ab，即qp，故p是q的充要条件(4)解法1：若ABC是直角三角形不能得出ABC为等腰三角形，即pq；若ABC为等腰三角形也不能得出ABC为直角三角形，即qp，故p是q的既不充分也不必要条件解法2：如图所示：p，q对应集合间无包含关系，故p是q的既不充分也不必要条件(1)已知a，b，c是实数，则“a
7、，b，c成等比数列”是“b2ac”的(A)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)设p：x3，q：1x3，则p是q成立的(C)A充分必要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：(1)若a，b，c成等比数列，则b2ac成立；若abc0，满足b2ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2ac”的充分不必要条件(2)因为(1,3)(，3)，所以p是q成立的必要不充分条件类型二充要条件的证明【例2】证明：一次函数f(x)kxb(k0)是奇函数的充要条件是b0.【思路探究】在证明充要条件的问题时，我们一般都要从充分性
8、和必要性两个方面证明，证明充分性就是证明“pq”，证明必要性就是证明“qp”【证明】(1)充分性：如果b0，那么f(x)kx(k0)f(x)k(x)kx，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(2)必要性：f(x)kxb(k0)是奇函数，f(x)f(x)对任意x均成立，即k(x)b(kxb)，b0.综上可知，一次函数f(x)kxb(k0)是奇函数的充要条件是b0.规律方法 充要条件一定要从充分性和必要性两个方面加以证明，缺一不可即证明“条件”“结论”和“结论”“条件”证明过程中两个方面又是相互独立的求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.证明：先证必要性：方程ax2bxc
9、0有一个根为1，x1满足方程ax2bxc0.a12b1c0，即abc0.必要性成立再证充分性：abc0，cab.代入方程ax2bxc0中可得：ax2bxab0，即(x1)(axba)0.故方程ax2bxc0有一个根为1.故关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.类型三利用充分性、必要性确定参数的范围【例3】已知p：关于x的不等式x，q：x(x3)0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围【思路探究】求出q对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解【解】记Ax|x，Bx|x(x3)0x|0x3，若p是q的充分不必要条件，则AB.注意到Bx|0x3，分两种情况讨论：
10、(1)若A，即，解得m0，此时AB，符合题意；(2)若A，即0，要使AB，应有解得0m3.综上可得，实数m的取值范围是(，3)规律方法 将充分、必要条件转化为集合的包含关系，是解决该类问题的一种有效的方法，关键是准确把p、q用集合表示，借助数轴，利用数形结合的方法建立方程或不等式，求参数的范围是否存在实数p，使“4xp0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围解：存在解不等式x2x20，得x2或x1.由4xp0，得x.若当x2或x1成立，则有1，即p4.所以当p4时，1x0，所以当p4时，“4xp0”的充分条件数学思想等价转化思想的应用(1)等价转化思想：等价转化要求转化过程中的前因后果是充要
11、条件的关系，因此，等价转化保证了转化后的结果仍是原问题所需要的结果一般地，除了部分证明题以外，多数问题如解方程、解不等式、代数式的运算与变形等都是等价转化(2)化归与转化应遵循的基本原则：熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和表达形式来解决简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从反面去探求，使问题获解【例4】求ax22x10(a0)至少有一负根的充要条件【思路分析】至少有一
12、负根等价于方程有一正根和一负根和方程有两负根【解】若方程有一正根和一负根，等价于a0.若方程有两负根，等价于0a1.综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a0或0a1.由以上推理的可逆性知：当a0时方程有异号两根；当0a1时，方程有两负根故a0或0a1是方程ax22x10至少有一负根的充要条件所以ax22x10(a0)至少有一负根的充要条件是a0或0a1.已知(x1)(2x)0的解为条件p，关于x的不等式x2mx2m23m1)的解为条件q.若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围解：设条件p的解集为集合A，则Ax|1x2，设条件q的解集为集合B，则Bx|2m1x0，r：x23ax2a20)若命题r是命题p的必要不充分条件，且r是q的充分不必要条件，试求a的取值范围解析：命题p：6x10；命题q：x1；命题r：ax2a.若记以上3个命题中x的取值构成的集合分别为A，B，C，由于r是p的必要不充分条件，r是q的充分不必要条件，所以有ACB，结合数轴应有即a的取值范围是5a6.