1、2020-2021学年河北省保定市定州中学高三（上）期中考试数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）是z的共辄复数，若，（i为虚数单位），则（ ）ABCD2（5分）已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）AB2CD33（5分）在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢问：几日相逢？（ ）A9日B8日C16日D12日4（5分）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（
2、 ）A4B16C9D35（5分）动点满足，点Q为，O为原点，则的最大值是（ ）AB1C2D6（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）ABCD7（5分）已知函数是奇函数，其中，则函数的图象（ ）A关于点对称B可由函数的图象向右平移个单位得到C可由函数的图象向左平移个单位得到D可由函数的图象向左平移个单位得到8（5分）中，若，则（ ）ABC是直角三角形D或9（5分）已知数列满足，若，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）ABCD10（5分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（ ）ABCD211（5分）已知函数在处取得极大值，记程序框图如图所示，若输出的结果，则
3、判断框中可以填入的关于n的判断条件是（ ）ABCD12（5分）已知满足，则（ ）ABnC2nD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）数列满足：，且对任意的都有：，则_14（5分）已知在中，则的值为_15（5分）在内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则的面积的最大值为_16（5分）已知方程有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是_三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（1）求角A的大小；（2）求的取值范围18（12分）设数列的前n和为，（1）求证：数列为等差数列，并分
4、别写出和关于n的表达式；（2）是否存在自然数n，使得？若存在，求出n的值：若不存在，请说明理由；（3）设，若不等式，对恒成立，求m的最大值19（12分）如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且，（1）求的值；（2）若四边形OAQP是平行四边形，（i）当P在单位圆上运动时，求点O的轨迹方程；（ii）设，点，且求关于的函数的解析式，并求其单调增区间20（12分）已知函数（1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；（2）已知，当时，的两个极值点，且，求的最小值21（12分）在单调递增数列中，且，成等差数列，成等比数列，（1）（i）求证：数列为等差数列；（ii）
5、求数列的通项公式（2）设数列的前n项和为，证明：，四、解答题（共1小题，满分10分）22（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线上的点对应的参数，与曲线交于点（1）求曲线，的直角坐标方程；（2），是曲线上的两点，求的值【选修4-5：不等式选讲】23已知（1）求证：；（2）若对任意实数x，都成立，求实数a的取值范围2020-2021学年河北省保定市定州中学高三（上）期中考试数学试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1
6、【分析】由题，先求出，再与联立即可解出z得出正确选项【解答】解：由于，可得又由解得故选D【点评】本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题2【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可【解答】解：向量与的夹角为，且，向量在方向上的投影为故选：A【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目3【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为，其中，；驽马每日行的距离成等差数列，记为，其中，求和即可得到答案【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为，其中，；驽马每日行的距离成等差数列，记为，其中，；设第m天相逢，则，解得：故选：A【点评】本题考查了等差数列在实际问
7、题中的应用，属于基础题4【分析】不等式恒成立的最小值，利用不等式的基本性质求出即可【解答】解：不等式恒成立的最小值，当且仅当，即时取等号，即m的最大值为16故选B【点评】熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键5【分析】根据向量的数量积公式将条件进行化简，利用数形结合即可得到结论【解答】解：，作出不等式组对应的平面区域如图，则OQ，OA的夹角最小，由，解得，即，则，又，则，的最大值是故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合向量数量积的应用，利用数形结合是解决本题的关键是中档题6【分析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，底面PAD，底面PAD，即可得出【解答】解：由三视图可知：该
8、几何体为一个四棱锥，如图所示，底面PAD，底面PAD，该几何体的表面积故选：C【点评】本题考查了四棱锥的三视图及其表面积的计算公式、勾股定理，考查了计算能力，属于基础题7【分析】由条件利用诱导公式，函数的图象变换规律，得出结论【解答】解：函数是奇函数，其中，则函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到的，故选：C【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题8【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式化简已知的方程，由内角的范围和特殊角的余弦值分类两种情况讨论，分别化简后可得答案【解答】解：中，代入得，化简可得，两种情况讨论，（1）当时，
9、化为，则，则；（2）当时，则，综上可得，或故选：D【点评】本题考查正弦定理，诱导公式和两角和的正弦公式，及分类讨论思想，考查化简、变形能力，属于中档题9【分析】由数列递推式得到是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入，由求得实数的取值范围，验证满足为增函数得答案【解答】解：由得，则，由，得，数列是首项为2，公比为2的等比数列，由，由，得，得，此时为增函数，满足题意实数的取值范围是故选：C【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，带入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这
10、样根据平面向量基本定理即可得出关于，的方程组，解出，便可得出的值【解答】解：，；由平面向量基本定理得：；解得，；故选B【点评】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理11【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：函数，在处取得极大值，即的零点为，即，解得：，故，故，则若输出的结果，则故进行循环的条件应为故选：B【点评】本题以程序框图为载体，考查了函数在某点取得极值的条件，数列求和，难度中档12【分析】，变形为：，利用等比数列通项公式即可得出【解答】解：，数列是等比数列，首项为，
11、公比为故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）135050【分析】令，再利用累加法求得【解答】解：令，再利用累加法求得：故答案：5050【点评】本题考查了赋值法及利用数列递推式求数列通项的基本方法，属于中档题14【分析】首先建立平面直角坐标系，根据向量间的关系式，求出向量的坐标，最后求出向量的数量积【解答】解：在中，建立直角坐标系，根据题意得到：则：，所以：，所以：故答案为：【点评】本题考查的知识要点：直角坐标系中向量的坐标运算，向量的数量及运算，属于基础题型15【分析】所求的式子利
12、用二倍角的余弦函数公式化简后，将已知的的值代入即可求出值，利用余弦定理分别表示出和，代入到已知的等式中，化简后即可求出c的值，然后利用余弦定理表示出，把c及的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由的值，及C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及的值代入即可求出面积的最大值【解答】（本题满分为14分）解：，；，（当且仅当时等号成立）由，得，故的面积最大值为【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，基本不等式，余弦定理及三角形的面积公式熟练掌握公式及定理是解本题的关键16【分析】根据函数与方程的关系，利用参数分离式进
13、行转化，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由，得，方程等价为，设，则函数是偶函数，当时，则，由得，得，即，得，此时函数单调递增，由得，得，即，得，此时函数单调递减，即当时，时，函数取得极大值，作出函数的图象如图：要使，有4个不同的交点，则满足故答案为：【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，构造函数，研究函数的单调性和极值，借助数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17【分析】（1）由正弦定理化简等式整理可得，又，可求，结合A为内角即可求得A的
14、值（2）由三角函数恒等变换化简已知可得，由可求的范围，从而可求，即可得解【解答】解：（1）由正弦定理可得，从而可得，即，又B为三角形的内角，所以，于是，又A亦为三角形内角，因此，（2），由可知，所以，从而，因此，故的取值范围为【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题18【分析】（1）由，利用递推关系，可得利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出：，（2）由（1）可得：利用等差数列的求和公式即可得出（3）利用“裂项求和方法”、数列的单调性即可得出【解答】（1）证明：由，得，相减得故数列是首项为1，公差为4的等差数列，（2）解：由（1）可得：，
15、由，得，即存在满足条件的自然数（3）解：，即单调递减，故要使恒成立，只需成立，即故符合条件m的最大值为7【点评】本题考查了数列的递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和方法”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19【分析】（1）由三角函数定义得，再弦化切代入计算，即可求的值；（2）（i）设PA中点为H，则，由此可求点O的轨迹方程；（ii）确定，即可求其单调增区间【解答】解：（1）由三角函数定义得，所以原式（2）四边形OAQP是平行四边形，PA与OQ互相平分，（i）设PA中点为H，则，又，所以，代入上式得点Q的轨迹方程为（ii）依题意得，又由（i）知，或，的增区间为和【
16、点评】本题考查同角三角函数关系的应用，考查轨迹方程，考查三角函数知识，属于中档题20【分析】（1）利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可（2）求出函数的表达式，求出函数的导数，利用函数极值，最值和导数之间的关系进行求解【解答】解：（1），在上单调递增，在上恒成立，在上恒成立，在上单调递减，（2），其定义域为，求导得，若两根分别为，则有，从而有，则，令，则，当时，在上单调递减，的最小值为0【点评】本题主要考查函数单调性，极值，最值和导数的关系，求函数的导数，利用构造法是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度21【分析】（1）（i）通过题意可知、，化简即得结论；（ii）通过计算可知数列的首项及
17、公差，进而可得结论；（2）通过（ii）、放缩、裂项可知，进而并项相加即得结论【解答】（1）（i）证明：因为数列为单调递增数列，所以由题意得、，于是，化简得，所以数列为等差数列（ii）解：因为，所以数列的首项为，公差为，所以，从而结合，可得因此，当n为偶数时，当n为奇数时（2）证明：通过（ii）可知因为，所以，所以【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题四、解答题（共1小题，满分10分）22【分析】（1）将曲线上的点对应的参数代入曲线的参数方程为（，为参数），即可解得：a，b即可得出普通方程设圆的半径R，则圆的方程为：，将点解得R可得圆的方程为：，即
18、可化为直角坐标方程（2）将，代入得，代入即可得出【解答】解：（1）将曲线上的点对应的参数代入曲线的参数方程为（，为参数），得：，解得：，曲线的方程为：（为参数），即：设圆的半径R，则圆的方程为：，将点代入得：，圆的方程为即：（2）将，代入得，【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、参数方程化为普通方程、圆的标准方程、椭圆的方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题【选修4-5：不等式选讲】23【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于的分段函数，从而求出的最小值即可；（2）根据基本不等式的性质求出a的范围即可【解答】（1）证明：，的最小值为5，（2）解：由（1）知：的最大值等于5，“=”成立，即，当时，取得最小值5当时，又对任意实数x，都成立，a的取值范围为【点评】本题考查了绝对值不等式的问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题