1、2016年河南省重点中学协作体高考数学二模试卷一、选择题在每小题所给的A、B、C及D四个选项中，只有一个选项最符合题意，每小题分值为5分，共60分1设复数z=（i为虚数单位），z的共轭复数为，则在复平面内i对应当点的坐标为（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）2设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列为假命题的是（）A若m，n，则mnB若，m，则mC若m，n，mn，则D若，则3函数y=（a0，a1）的定义域和值域都是0，1，则loga+loga=（）A1B2C3D44下列有关命题的说法错误的是（）A命题“若x21=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1则x210”B“x=
2、1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件C若pq为假命题，则p、q均为假命题D对于命题p：xR使得x2+x+10，则p：xR均有x2+x+105多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（单位：cm）（）A28+4B30+4C30+4D28+46若直线xy=2被圆（xa）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a的值为（）A1或B1或3C2或6D0或47数列an的前n项和Sn，若SnSn1=2n1（n2），且S2=3，则a1的值为（）A0B1C3D58假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为
3、（）ABCD9已知在ABC中，S为ABC的面积，若向量满足，则C=（）A30B45C60D12010函数f（x）=cos的在下列哪个区间上单调递增（）ABCD11已知ABC外接圆O的半径为1，且=C=，从圆O内随机取一个点M，若点M取自ABC内的概率恰为，则ABC的形状为的形状为（）A直角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰直角三角形12若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（）ABCD二填空题每小题5分，共25分13在ABC中，AB=3，AC=2，则=14双曲线C：x2y2=a2的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准
4、线交于A、B两点，则双曲线C的方程为15已知x，y（0，+），则的最小值为16如图，在RtABC中，A=90，D是AC上一点，E是BC上一点，若AB=BD，CE=EB，BDE=120，CD=3，则BC=17数列an的前n项和为Sn，2Snnan=n（nN*），若S20=360，则a2=三、解答题：解答时必须写出必要的过程和文字解释18已知函数（1）设，且，求的值；（2）在ABC中，AB=1，且ABC的面积为，求sinA+sinB的值19如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90（1）求证：PCBC；（2）求点A到平面PBC的距离20甲、
5、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595（）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX21已知椭圆：（ab0）过点A（0，2），离心率为，过点A的直线l与椭圆交于另一点M（I）求椭圆的方程；（II）是否存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆的右焦点F且与直线 x2y2=0相切？若存在，求出直线l的方程；
6、若不存在，请说明理由22已知函数f（x）=x3+ax（a0）（I）当a=1时，求过点P（1，0）且曲线y=f（x）相切的直线方程；（）当x0，1时，不等式恒成立，求a的取值集合选做题：从23题或24题任选一题，所做题目必须与所涂题目一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做，则每学科按所做的第一题给分23如图，圆O的直径为AB且BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD（）求证：DBE=DBC； （）若HE=4，求ED24设不等式|x2|a（aN*）的解集为A，且（）求a的值（）求函数f（x）=|x+a
7、|+|x2|的最小值2016年河南省重点中学协作体高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题在每小题所给的A、B、C及D四个选项中，只有一个选项最符合题意，每小题分值为5分，共60分1设复数z=（i为虚数单位），z的共轭复数为，则在复平面内i对应当点的坐标为（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】化简复数为a+bi的形式，即可得到复数i对应当点的坐标【解答】解：复数z=1+i，i=1i，在复平面内i对应当点的坐标为（1，1）故选：C2设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列为假命题的是（）A若m，n，则mnB若，m，则mC若m，n，
8、mn，则D若，则【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】利用空间中线线、线面、面面的位置关系求解【解答】解：若m，n，则由直线与平面垂直的性质得mn，故A正确；若，m，则平面与平面平行的判定定理和直线与平面垂直的判定定理得m，故B正确；若m，n，mn，则平面与平面平行的判定定理得，故C正确；若，则与平行或相交，故D错误故选：D3函数y=（a0，a1）的定义域和值域都是0，1，则loga+loga=（）A1B2C3D4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可【解答】解：当x=1时，y=0，则函数为减函数，故
9、a1，则当x=0时，y=1，即y=1，即a1=1，则a=2，则loga+loga=loga（）=log28=3，故选：C4下列有关命题的说法错误的是（）A命题“若x21=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1则x210”B“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件C若pq为假命题，则p、q均为假命题D对于命题p：xR使得x2+x+10，则p：xR均有x2+x+10【考点】命题的真假判断与应用【分析】直接写出命题的逆否命题判断A；求解一元二次方程判断B；由复合命题的真假判断方法判断C；写出特称命题的否定判断D【解答】解：命题“若x21=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1则x210”，A正确
10、；由x23x+2=0，解得：x=1或x=2，“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件，B正确；当p、q一真一假时，命题pq为假命题，C错误；对于命题p：xR使得x2+x+10，则p：xR均有x2+x+10，正确故选：C5多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（单位：cm）（）A28+4B30+4C30+4D28+4【考点】由三视图求面积、体积【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥PABC其中平面PAB平面ABC，PBAB，PB=AB=4，D为AB的中点，CDAB，CD=4即可得出【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥PABC其中平面PAB平面ABC，PBA
11、B，PB=AB=4，D为AB的中点，CDAB，CD=4该多面体的表面积S=+=28+4故选：A6若直线xy=2被圆（xa）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a的值为（）A1或B1或3C2或6D0或4【考点】直线与圆相交的性质【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，由求解【解答】解：圆（xa）2+y2=4圆心为：（a，0），半径为：2圆心到直线的距离为：解得a=4，或a=0故选D7数列an的前n项和Sn，若SnSn1=2n1（n2），且S2=3，则a1的值为（）A0B1C3D5【考点】数列递推式【分析】SnSn1=2n1（n2），可得S2S1=221=3，又S2=3，代入解出
12、即可得出【解答】解：SnSn1=2n1（n2），S2S1=221=3，又S2=3，S1=0，则a1=0故选：A8假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论【解答】解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y则所有事件集可表示为0x5，0y5由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|xy|2三个不等式联立，则该事件即为xy=2和yx=2在0x5，0y5的正方形中围起来的图形即图中阴影区域而所有事件的集合
13、即为正方型面积52=25，阴影部分的面积252（52）2=16，所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为故选：C9已知在ABC中，S为ABC的面积，若向量满足，则C=（）A30B45C60D120【考点】余弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用平面向量平行的条件列出关系式，再利用三角形每句话公式表示出S，代入整理后利用余弦定理求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数【解答】解： =（4，a2+b2c2），=（，S），且S=absinC，4S=2absinC=（a2+b2c2），cosC=，sinC=cosC，即tanC=，又C为三
14、角形的内角，C=60故选C10函数f（x）=cos的在下列哪个区间上单调递增（）ABCD【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（x+），由2kx+2k，kZ可解得函数f（x）在，区间上单调递增，结合选项即可得解【解答】解：f（x）=cos=sinx+=sin（x+），由2kx+2k，kZ可解得：2kx2k，kZ当k=0时有函数f（x）在，区间上单调递增，又，故选：D11已知ABC外接圆O的半径为1，且=C=，从圆O内随机取一个点M，若点M取自ABC内的概率恰为，则ABC的形状为的形状为（）A直角三角形B等边三角形C钝
15、角三角形D等腰直角三角形【考点】几何概型【分析】根据向量的数量积求得AOB=，进而求得AB的长度，利用几何概型的概率公式求出三角形ABC的面积，利用三角形的面积公式即可求出三角形各边的长度即可得到结论【解答】解： =，圆的半径为1，cosAOB=又0AOB，故AOB=，又AOB为等腰三角形，故AB=，从圆O内随机取一个点，取自ABC内的概率为，即=，S，设BC=a，AC=bC=，得ab=3，由AB2=a2+b22abcosC=3，得a2+b2ab=3，a2+b2=6联立解得a=b=ABC为等边三角形故选：B12若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，
16、则的最小正值是（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出的最小值【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移的单位，所得图象是函数y=sin（2x+2），图象关于y轴对称，可得2=k+，即=，当k=1时，的最小正值是故选：C二填空题每小题5分，共25分13在ABC中，AB=3，AC=2，则=【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用余弦定理计算cosA，再利用向量的数量积公式，即可求得结论【解答】解：ABC中，AB=3，AC=2，由余弦定理，可得=32=故答
17、案为：14双曲线C：x2y2=a2的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，则双曲线C的方程为【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【分析】根据双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4，即可求得结论【解答】解：抛物线y2=16x，2p=16，p=8， =4抛物线的准线方程为x=4设等轴双曲线与抛物线的准线x=4的两个交点A（4，y），B（4，y）（y0），则|AB|=|y（y）|=2y=4，y=2将x=4，y=2代入双曲线C：x2y2=a2，得（4）2（2）2=a2，a2=4等轴双曲线C的方程为x2y2=4，即故答案为：15已知x，y（0，+），则的
18、最小值为3【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】由可得x+y=3；化简=+=+，从而利用基本不等式求最值【解答】解：，x3=y；即x+y=3；故=+=+2=+=3；（当且仅当=，即x=1，y=2时，等号成立）故答案为：316如图，在RtABC中，A=90，D是AC上一点，E是BC上一点，若AB=BD，CE=EB，BDE=120，CD=3，则BC=【考点】余弦定理；正弦定理【分析】经E点作EFAC于F点，设AB=x，则由题意可求得BD，AD，AC，BC2，EF，ED，EDB中，由余弦定理知： x2+4x224x2（）=BC2=x2+（3+x）2，整理可得：3x22x3=9，可解得x，从而可
19、求BC【解答】解：如图，经E点作EFAC于F点，设AB=x，则由题意可得，BD=2x，AD=x，AC=3+x，BC2=x2+（3+x）2，CEFABC， =，即有EF=x，BDE=120，AB=BD，EDF=30，ED=2EF=x，EDB中，由余弦定理知：BE2=DE2+BD22EDBDcos120=x2+4x224x2（）=BC2= x2+（3+x）2，整理可得：3x22x3=9，可解得：x=或（舍去），BC2=x2+（3+x）2=39，可解得：BC=故答案为：17数列an的前n项和为Sn，2Snnan=n（nN*），若S20=360，则a2=1【考点】数列递推式；数列的求和【分析】由已知得
20、Sn=，从而，解得a1=1，进而，由此得到an是等差数列，从而由已知条件利用等差数列的性质能求出a2【解答】解：2Snnan=n（nN*），Sn=，解得a1=1，an是等差数列，S20=360，S20=360，解得a20+1=36，即a20=37，19d=a20a1=38，解得d=2，a2=a1+d=12=1故答案为：1三、解答题：解答时必须写出必要的过程和文字解释18已知函数（1）设，且，求的值；（2）在ABC中，AB=1，且ABC的面积为，求sinA+sinB的值【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；正弦定理【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可
21、得，f（x）=2cos（x+）+，由可得，cos（+）=，结合已知可求的值；（2）由（1）知由已知面积可得，从而有由余弦定理得可得a2+b2=再由正弦定理得可求【解答】解：（1）=由 得 于是（kZ） 因为 所以 （2）因为C（0，），由（1）知因为ABC的面积为，所以，于是在ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b由余弦定理得，所以a2+b2=7由可得或于是由正弦定理得，所以19如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90（1）求证：PCBC；（2）求点A到平面PBC的距离【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系【
22、分析】（1），要证明PCBC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90，容易证明BC平面PCD，从而得证；（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥PACB与三棱锥APBC体积相等，而三棱锥PACB体积易求，三棱锥
23、APBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求【解答】解：（1）证明：因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC由BCD=90，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD因为PC平面PCD，故PCBC（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F易知DF=，故点A
24、到平面PBC的距离等于（方法二）等体积法：连接AC设点A到平面PBC的距离为h因为ABDC，BCD=90，所以ABC=90从而AB=2，BC=1，得ABC的面积SABC=1由PD平面ABCD及PD=1，得三棱锥PABC的体积因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC又PD=DC=1，所以由PCBC，BC=1，得PBC的面积由VAPBC=VPABC，得，故点A到平面PBC的距离等于20甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595（）请画出甲、乙两人成绩的茎叶
25、图你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX【考点】离散型随机变量及其分布列；茎叶图；离散型随机变量的期望与方差【分析】（）根据表格，十位数作为茎，个位数作为叶，可得茎叶图，通过平均数和方差可得结论；（）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，然后根据变量对应的事件和等可能事件的概率，写出分布列，算出期望即可【解答】解：（）茎叶图如图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好 （）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，
26、随机变量X的分布列是：X012P21已知椭圆：（ab0）过点A（0，2），离心率为，过点A的直线l与椭圆交于另一点M（I）求椭圆的方程；（II）是否存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆的右焦点F且与直线 x2y2=0相切？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（）由点A（0，2）可得b值，由离心率为可得=，再由a2=b2+c2，联立方程组即可求得a，b值；（II）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x2y2=0相切，根据以AM为直径的圆C过点F可得AFM=90，求出直线MF方程，联立直线MF方程
27、与椭圆方程可得求得M坐标，利用直线与圆相切的条件d=r分情况验证圆与直线x2y2=0相切即可；【解答】解：（）依题意得，解得，所以所求的椭圆方程为；（）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x2y2=0相切，因为以AM为直径的圆C过点F，所以AFM=90，即AFAM，又=1，所以直线MF的方程为y=x2，由消去y，得3x28x=0，解得x=0或x=，所以M（0，2）或M（，），（1）当M为（0，2）时，以AM为直径的圆C为：x2+y2=4，则圆心C到直线x2y2=0的距离为d=，所以圆C与直线x2y2=0不相切；（2）当M为（，）时，以AM为直径的圆心C为（），半
28、径为r=，所以圆心C到直线x2y2=0的距离为d=r，所以圆心C与直线x2y2=0相切，此时kAF=，所以直线l的方程为y=+2，即x+2y4=0，综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为x+2y4=022已知函数f（x）=x3+ax（a0）（I）当a=1时，求过点P（1，0）且曲线y=f（x）相切的直线方程；（）当x0，1时，不等式恒成立，求a的取值集合【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（I）当a=1时，点P在曲线上，即为切点，切线斜率k=f（1），利用点斜式即可求得切线方程；（）不等式恒成立，等价于恒成立，且恒成立，分别分离出参数a后，转化为函数的
29、最值解决即可；【解答】解：（）当a=1时，f（x）=）=x3+x，f（1）=11=0，即点P在曲线y=f（x）上，f（x）=3x2+1，切线斜率k=f（1）=3+1=2，所以与曲线y=f（x）相切的直线方程为：y=2（x+1），即y=2x2；（），即，等价于恒成立，且恒成立，（1）当x=0时，即0，显然成立，aR；当0x1时，ax2+，而x2+在（0，1上递增，所以当x=1时，x2+取得最大值1，所以a1，故恒成立时，a1；（2）当x=0时，即0，显然成立，此时aR；当0x1时，ax2+，令h（x）=x2+，则h（x）=2x=，当0x时，h（x）0，h（x）递减，当x1时，h（x）0，h（x）
30、递增，所以h（x）在（0，1上的最小值为h（）=+=1，所以a1，故恒成立时，a1，综上所述，当x0，1时，不等式恒成立，a的取值集合1选做题：从23题或24题任选一题，所做题目必须与所涂题目一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做，则每学科按所做的第一题给分23如图，圆O的直径为AB且BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD（）求证：DBE=DBC； （）若HE=4，求ED【考点】弦切角；与圆有关的比例线段【分析】（）由BE为圆O的切线，BD为圆O的弦，根据弦切角定理得到一对角相等，再由AD为角平
31、分线得到一对角相等，等量代换及圆周角定理即可得证；（）由AB为圆O的直径，利用圆周角定理得到ADB=90，再由第一问的结论DBE=DBH，求出ED的长即可【解答】（）证明：BE为圆0的切线，BD为圆0的弦，根据弦切角定理知DBE=DAB，由AD为DAB=DAC的平分线知DAB=DAC，又DBC=DAC，DBC=DAB，DBE=DBC；（）解：O的直径AB，ADB=90，又由（1）得DBE=DBH，HE=4，ED=224设不等式|x2|a（aN*）的解集为A，且（）求a的值（）求函数f（x）=|x+a|+|x2|的最小值【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（）利用，推出关于a的绝对值不等式，结合a为整数直接求a的值（）利用a的值化简函数f（x），利用绝对值三角不等式求出|x+1|+|x2|的最小值【解答】解：（）因为，所以且，解得，因为aN*，所以a的值为1（）由（）可知函数f（x）=|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|=3，当且仅当（x+1）（x2）0，即x2或x1时取等号，所以函数f（x）的最小值为32016年6月20日