1、 保密启用前2021年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学2021.3（1）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知A，B都是R的子集，且，则（ ）A A BB C DR2（ ）A B C D23小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻
2、炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有（ ）A261种 B360种 C369种 D372种4溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在之间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的pH值的范围是（ ）A B C D5已知两条不同的直线l，m和不重合的两个平面，且，有下面四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中真命题的序号是（ ）A B C D6某大学进行“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团选拔某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为a，b，已知三个社团中他恰好能进入两个的概
3、率为假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为（ ）A B C D7已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若，的平分线分别交x轴于点D，E，且，则椭圆C的离心率为（ ）A B C D8设是R上的奇函数，且在上是减函数，又，则不等式的解集是（ ）A B C D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9如果平面向量，那么下列结论中正确的是（ ）A BC与的夹角为 D在方向上的投影为10袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白
4、球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（ ）A BCX的期望 DX的方差11已知，且，则（ ）A B C D12已知函数，其导函数为，设，则（ ）A的图象关于原点对称 B在R上单调递增C是的一个周期 D在上的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若为抛物线上一点，抛物线C的焦点为F，则_14写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列_15已知函数图象的一条对称轴为，则_，函数在区间上的值域为_16早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等如图，
5、正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一如果把按计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知公比小于1的等比数列中，其前n项和为，（1）求；（2）求证：18（12分）在中，（1）求B；（2）若的面积为，求的周长19（12分）如图，四边形是正方形，平面，且（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值20（12分）某电器企业统计了近10年的年利润额y（千万元）与投入的年广告费用x（十万元）的相关数据，散点图如图，对
6、数据作出如下处理：令，得到相关数据如表所示：30.5151546.5（1）从；三个函数中选择一个作为年广告费用x和年利润额y的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；（2）根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程；（3）预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）参考数据：参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为21（12分）已知双曲线上一动点P，左，有焦点分别为，且，定直线，点M在直线l上，且满足（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线的斜率，且过双曲线右焦点与双曲线右支交于A，B两点，求的外接圆方程22（12分）已知函数（1）讨论函数在区
7、间上的最小值；（2）当时，求证：对任意，恒有成立2021年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学参考答案及评分标准2021.3（1）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1D 【解析】由Venn图，易知故选D2A 【解析】故选A3C 【解析】从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有（种）故选C4D 【解析】依题意，因此，正常人体血液的pH值的范围是故选D5A 【解析】对于，由，可得，故正确；对于，若，可得，故正确；对于，若，则有可能，故错误；对于，当时，则有可能，故错误综上，真命题的序号是故选
8、A6D 【解析】由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为，则，所以，所以，所以该同学一个社团都不进入的概率故选D7C 【解析】如下图所示：因为，所以由余弦定理得，又，所以因为分别为的平分线，所以，所以由题意可知，点，则由，可得，即，在等式的两边同时除以，可得，因为，解得故选C8B 【解析】因为是R上的奇函数，且在上是减函数，所以在上是减函数，又因为，所以，则函数的大致图象如下图所示：由，得，即，则或则或解得或故的解集是故选B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9AB 【解析】因为，所以在A中，
9、因为，所以，故A正确；在B中，因为，所以，故B正确；在C中，因为，所以与的夹角为，故C错误；在D中，在方向上的投影为，故D错误故选AB10ACD 【解析】由于每次取球互不影响，故所有结果有4类：4次全是白球，记其概率为；4次只有1次是黑球，记其概率为；4次只有2次是黑球，记其概率为；次只有3次是黑球，记其概率为；4次全是黑球，记其概率为故，故A正确，B错误；因为，所以X的期望，故C正确；因为，所以X的方差，故D正确故选ACD11ABC 【解析】对于A，因为，且，所以，所以，所以，故A正确；对于B，所以，当且仅当，即时取等号，故，故B正确；对于C，当且仅当，即时取等号，故，得，故C正确；对于D，
10、已知，且，所以，即，则，当且仅当，即时取等号，故D错误故选ABC12AC 【解析】的定义域是，其关于坐标原点对称，且，所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，故A项正确；由，得，则恒成立，所以在上单调递增，并不是在R上单调递增，故B项错误；由，得函数的定义域是，故C项正确；设，当时，此时，故D项错误，故选AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分135【解析】由为抛物线上一点，得，可得，则14（答案不唯一）【解析】要满足“前3项之和小于第3项”，则，则不妨设，则15 （第一空2分，第二空3分）【解析】因为函数的对称轴为，由辅助角公式可得，所以，即，即，两端平方，可得所以由，得，所以，所以
11、，故函数在区间上的值域为16【解析】由图，知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设其半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为l，则，得，所以正五棱锥的顶点到底面的距离是，所以，即，解得所以该正二十面体的外接球表面积为，而该正二十面体的表面积是，所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）（1）解：设等比数列的公比为q由得 2分解得或（舍去）， 4分所以 6分（2）证明：由（1）得，所以 8分因为在R上为减函数，且恒成立，所以当，即时， 9分所以 10分18（12分）解：（
12、1）由，得，即， 2分 3分由正弦定理，得， 4分因为，所以，所以 5分因为，所以 6分（2）因为的面积为，所以，解得， 8分所以 9分由余弦定理，可得，解得 11分所以的周长为 12分19（12分）（1）证明：因为四边形是正方形，所以 1分又平面平面，所以平面 2分因为， 3分同理，可证平面， 4分又，所以平面平面， 5分又因为平面，所以平面 6分（2）解：分别以为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系因为，所以，则， 7分则 8分设平面的法向量为，则由得令，得平面的一个法向量为 10分设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为 12分20（12分）解：（1）由散点图知，年广
13、告费用x和年利润额y的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，所以选择回归类型更好 3分（2）对两边取对数，得，即, 4分由表中数据得， 6分所以，所以， 7分所以年广告费用x和年利润额y的回归方程为 8分（3）由（2），知，令，得，得， 10分所以， 11分所以（十万元）（万元）故下一年应至少投入498万元广告费用 12分21（12分）解（1）由题意，可知，设点，则， 2分得，得，得， 4分即双曲线的标准方程为 5分（2）由题意，可知直线，设，则可得， 6分则中点为外接圆圆心在的垂直平分线上，设为，故方程为，又由焦点弦长公式，可知 8分设圆心满足故 10分所以半径，所以外接圆方程为 12分22
14、（12分）（1）解：函数的定义域是， 1分当时，则，则函数在上单调递减，即函数在区间上单调递减，故函数在区间上的最小值为 3分当时，令，得；令，得；故函数在上单调递减，在上单调递增（）当，即时，函数在区间上单调递增，故函数在区间上的最小值为； 4分（）当，即时，函数在区间上单调递减，故函数在区间上的最小值为； 5分（）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时函数在区间上的最小值为 6分综上，当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为 7分（2）证明：当时，要证，即证，因为，所以两边同时乘x，得，即证 8分当时，而，所以成立，即成立当时，令，则 9分设，则因为，所以，所以当时，单调递增， 10分所以，即，所以在上单调递增，所以，即成立 11分综上，对任意，恒有成立 12分