1、选修 4-5 不等式选讲 1.2021 晋南高中联考已知函数 f(x)=|x+3|-|x-1|.(1)在图 1 坐标系中画出函数 y=f(x)的图象,并写出 f(x)的值域;(2)若 f(x)|x+a|恒成立,求 a 的取值范围.图 1 2.2021 长春市高三质监已知 a0,b0,a+b=4.(1)求证:2 .(2)求证:+.3.2021 蓉城名校联考已知 mn0,函数 f(x)=|x+-)|.(1)若 m=3,n=1,求不等式 f(x)2 的解集;(2)求证:f(x)4-|x-m2|.4.2020 陕西省部分学校摸底检测已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当 a=-4 时,求
2、不等式 f(x)6 的解集;(2)若 f(x)|x-3|的解集包含0,1,求实数 a 的取值范围.5.2020 河南安阳高三第一次调研考试已知函数 f(x)=|x+1|+a|x+2|.(1)求 a=1 时,f(x)3 的解集;(2)若 f(x)有最小值,求 a 的取值范围,并写出相应的最小值.6.2019 四省八校联考已知 f(x)=|2x-1|-|x+2|,g(x)=|x-a|-|x+a+1|.(1)解不等式 f(x)4;(2)若x1R,x2R,使得 f(x2)=g(x1),求实数 a 的取值范围.7.2021 贵阳市四校第二次联考已知函数 f(x)=|2x+2|-5.(1)解不等式:f(x
3、)|x-1|.(2)当 m-1 时,函数 g(x)=f(x)+|x-m|的图象与 x 轴围成一个三角形,求实数 m 的取值范围.8.2021 安徽省示范高中联考已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+3|.(1)求不等式|2x-1|+|2x+3|9 的解集;(2)若关于 x 的方程 f(x)-k2+3k=0 有实数解,求实数 k 的取值范围.9.2021 陕西百校联考已知函数 f(x)=|x-1|-|3-2x|.(1)求不等式 f(x)(x-1)的解集;(2)若函数 f(x)的最大值为 n,且 2a+b=n(a0,b0),求 +的最小值.10.2020 惠州市一调已知 f(x)=|x+1|+
4、|ax-a+1|.(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)3 的解集;(2)若 x1 时,不等式 f(x)x+2 恒成立,求 a 的取值范围.11.2020 四川五校联考已知函数 f(x)=|x-1|.(1)求不等式 f(2x)-f(x+1)2 的解集;(2)若 a0,b0 且 a+b=f(3),求证:+2.12.2020 安徽安庆二模已知 a0,b0,且 a2+b2=1.(1)若对任意的正数 a,b,不等式|2x-1|+恒成立,求实数 x 的取值范围;(2)证明:(+)(a5+b5)1.答 案 1.(1)由题设知,f(x)=-,-,-,其图象如图 D 4 所示,图 D 4 由图可得 f(x)
5、的值域为-4,4.(2)在同一坐标系中画出 y=|x+a|的大致图象,当 y=|x+a|的图象过点(1,4)时,a=3 或-5,由图 D 5 知,若 f(x)|x+a|恒成立,则 a3.图 D 5 2.(1)因为a0,b0,所以a2+b22ab,所以 a2+b2 ,所以 (a+b)=2,当且仅当 a=b=2 时取等号.(2)因为 a+b=4,所以 a+2+b=6,所以 =()1+2+)(3+2)=,当且仅当 ),即 -时取等号.3.(1)依题意,得 f(x)=|x+|,则 f(x)2|x+|2x+2 或 x+或 x2 的解集为x|x 或 x-.(2)依题意,f(x)4-|x-m2|x+-)|+
6、|x-m2|4,因为|x+-)|+|x-m2|x+-)-(x-m2)|=m2+-),m=n+(m-n)2 -),故 -),故 m2+-)m2+4,当且仅当 m=,n=时,等号成立.4.(1)当 a=-4 时,f(x)6 即|x-4|+|x-2|6,即 ,-或 ,-或 ,-,解得 x0 或 x或 x6,所以原不等式的解集为(-,06,+).(2)f(x)|x-3|的解集包含0,1等价于 f(x)|x-3|在0,1上恒成立,即|x+a|+2-x3-x 在0,1上恒成立,即-1-xa1-x 在0,1上恒成立,所以-1a0,即实数 a 的取值范围为-1,0.5.(1)当 a=1 时,f(x)=|x+1
7、|+|x+2|=-,-,-,-当 x-2 时,f(x)3 即-2x-33,解得-3x-2;当-2x0,即 a-1 时,f(x)无最小值;当-(a+1)=0,即 a=-1 时,f(x)有最小值-1;当-(a+1)0 且 a-10,即-1a1 时,f(x)min=f(-1)=a;当-(a+1)0,即 a1 时,f(x)min=f(-2)=1.综上,若 f(x)有最小值,则 a 的取值范围为-1,+),且当-1a1 时,f(x)min=f(-1)=a,当 a1 时,f(x)min=f(-2)=1.6.(1)f(x)4,即|2x-1|-|x+2|4.当 x4,解得 x4,解得-2x 时,2x-1-(x
8、+2)4,解得 x7.综上,不等式 f(x)4 的解集为x|x7.(2)因为x1R,x2R,使得 f(x2)=g(x1),所以 g(x)的值域是 f(x)值域的子集.因为 f(x)=|2x-1|-|x+2|=-,-,-,-,-,所以可得 f(x)的值域为-,+).易知 g(x)=|x-a|-|x+a+1|的值域为-|2a+1|,|2a+1|,所以-|2a+1|-,即|2a+1|,则-2a+1 ,-a ,即实数 a 的取值范围为-,.7.(1)由题意知,原不等式等价于 -,-或-,-或 ,-,解得 x-8 或或 x2,综上,不等式 f(x)|x-1|的解集为(-,-82,+).(2)当 m=-1
9、 时,g(x)=|2x+2|-5+|x+1|=3|x+1|-5,此时 g(x)的图象与 x 轴围成一个三角形,满足题意;当 m-1 时,g(x)=|2x+2|-5+|x-m|=-,-,-,-,-,则函数 g(x)在(-,-1上单调递减,在(-1,+)上单调递增,要使函数 g(x)的图象与 x 轴围成一个三角形,则 -)-,)-,解得 m4.综上所述,实数 m 的取值范围为 ,4)-1.8.(1)原不等式等价于 ,-)或-,-)或 -,-)-),解得 x 或-x 或-x-,所以不等式的解集为x|-x .(2)|2x-1|+|2x+3|2x-1-2x-3|=4,方程 f(x)-k2+3k=0 有实
10、数解,即函数 y=f(x)与 y=k2-3k 的图象有交点,只需 k2-3k4,解得 k-1 或 k4.所以实数 k 的取值范围为k|k-1 或 k4.9.(1)由已知得 f(x)=-,-,-,当 x 时,-x+2 (x-1)0,b0),=2()(2a+b)=2(4+1+)=10+4()10+42 =18,当且仅当 ,即 a=b=时,“=”成立.故 的最小值为 18.10.(1)解法一 当 a=1 时,不等式 f(x)3 即|x+1|+|x|3.当 x-1 时,-x-1-x3,解得 x-2,所以 x-2;当-1x0 时,x+1-x3,无解;当 x0 时,x+1+x3,解得 x1,所以 x1.综
11、上,不等式 f(x)3 的解集为(-,-21,+).解法二 当 a=1 时,f(x)=|x+1|+|x|=-,-,-,当 x-1 时,-2x-13,解得 x-2,所以 x-2;当-1x0,b0,所以根据基本不等式得 )=2 成立(当且仅当 a=b=1 时取等号),故命题得证.解法二(1)因为 f(x)=|x-1|,所以 f(2x)-f(x+1)=|2x-1|-|x|=-,-,-,作出函数 g(x)=f(2x)-f(x+1)的图象与直线 y=2(如图 D 6),图 D 6 因为直线 y=2 和函数 g(x)图象的交点为 A(-1,2),B(3,2),所以不等式 g(x)2 的解集为(-,-13,
12、+).(2)a+b=f(3)=2,又 a0,b0,所以 ,故 =4,所以 2 成立(当且仅当 a=b=1 时取等号).故命题得证.12.(1)因为 a2+b2=1,所以 =()(a2+b2)=2+2+2 =4,即 4,当且仅当 a=b=时取等号,因此 的最小值是 4.又对任意的正数 a,b,不等式|2x-1|恒成立,所以|2x-1|4,即-42x-14,解得-x .故实数 x 的取值范围是-,.(2)解法一(基本不等式)因为 a0,b0,且 a2+b2=1,所以()(a5+b5)=a4+b4+=)-2a2b2 )+2 -2a2b2=)+2a2b2-2a2b2=)=1.解法二(柯西不等式)因为 a0,b0,且 a2+b2=1,所以()(a5+b5)2=)=1,当且仅当 a=b=时取等号,故()(a5+b5)1.