1、第 讲 5充分条件与必要条件第一章 集合与简易逻辑 考点搜索充分条件与必要条件利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系善于构造原命题的逆否命题来判断命题的充要关系充要条件的证明与探索高考高考猜想在高考中，“充分必要条件”通常以选择题形式出现.一、四个基本概念1.若，则称p是q的充分条件.2.若，则称p是q的必要条件.3.若，则称p是q的充要条件.4.若，则称p是q的既非充分也非必要条件.pqqppqqp且pqqp且二、从集合的观点看充分条件、必要条件、充要条件记p：A，q：B.1.若满足，则p是q的充分条件.2.若满足，则p是q的必要条件.3.若满足，则p是q的充要条件.4.若满足，则p是q
2、的既非充分也非必要条件.ABABABBA且ABBA且三、充分条件与必要条件的关系若p是q的充分条件，则q是p的条件；若p是q的必要条件，则q是p的条件.必要充分1.请从“充要条件”“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“既不充分又不必要条件”中选一个填空：(1)“x=y”的是“lgx=lgy”；充分而不必要条件(2)“x2=9”是“x=-3”的；(3)“ab0”的必要而不充分条件是“a0”.(1)“x=y”的充分而不必要条件是“lgx=lgy”；(2)“x2=9”是“x=-3”的必要而不充分条件；(3)因为“a=0”是“ab=0”的充分而不必要条件，所以“ab0”的必要而不充分条件是“a0”
3、.必要而不充分条件2.对任意实数a、b、c,给出下列命题:“a=b”是“ac=bc”的充要条件;“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;“ab”是“a2b2”的充分条件;“a5”是“ab2|a|b|(a-b)(a+b)0，所以“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件，错；因为a3a5，所以“a5”是“a0与a2x2+b2x+c20解集相同；(3)p:x2-2x-30;q:x3;(4)p:函数f(x)=x|x+a|+b为奇函数;q:a2+b2=0.;abcq abc111222：(1)因为(1，3)(-，3，所以qp，且pq，所以p是q的必要非充分条件.(2)不等式x2+x+10与x2
4、-x+20解集相同，但是所以pq；不等式x2-3x+20与-x2+3x-20中的系数满足：但是两个不等式的解集不同，所以qp.故p是q的既不充分又不必要条件.111112，132132，(3)因为x=3，则x2-2x-3=0，反之不然，所以即所以p是q的充分非必要条件.pqpq ，,pqqp，且(4)若a2+b2=0，则a=b=0，此时f(x)=x|x|，从而f(-x)=-x|x|=-f(x)，所以f(x)为奇函数，所以qp.若f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)对一切xR恒成立，所以x|x+a|+b=x|x-a|-b恒成立，所以a=-a，b=-b，即a=0，b=0a2+b2=0，所以p
5、q，所以p是q的充要条件.题型二：充分条件、必要条件、充要条件的应用2.设m0，且为常数，已知条件p:|x-2|m；条件q:|x2-4|1，若p是q的必要非充分条件，求m的取值范围.设集合A=x|x-2|m=x|2-mx2+m，B=x|x2-4|1=x|3x25|.xxx3553 或 由题设即pq且q p，所以AB.因为m0，所以所以解得故实数m的取值范围是qppq ，()()mm2235，mmm25230，m 052，(.052，点评：记条件p和q结论对应的集合分别为A和B，从集合的观点判断若A B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件.设命题p:|
6、4x-3|1；命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0.若 p是 q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围.由|4x-3|1得-14x-31，故由x2-(2a+1)x+a(a+1)0，得(x-a)(x-a-1)0，故axa+1.因为p是q的必要而不充分条件，所以p是q的充分而不必要条件，1.2x 1即所以解得故所求的实数a的取值范围是12aa 11，12aa 11，1.2a01.20，题型充要条件的证明设x，yR，求证：|x+y|=|x|+|y|的充要条件是xy0.证明：充分性即证：xy0|x+y|=|x|+|y|，必要性即证：|x+y|=|x|+|y|xy0.参考题(1)充分性：若xy=
7、0，则有x=0或y=0，或x=0且y=0.此时显然|x+y|=|x|+|y|.若xy0，则x，y同号，当x0且y0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|;当x0且y0时，|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|.综上所述，xy0可知|x+y|=|x|+|y|.(2)必要性：因为|x+y|=|x|+|y|，且x，yR，所以(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x2+2xy+y2=x2+2|x|y|+y2，可得xy=|xy|，可得xy0.故|x+y|=|x|+|y|xy0.综合(1)(2)知命题成立.1.判断p是q的什么条件时，必须正逆互推，注意特例，确保判断的准确性.如果条件p或q较为复杂，应先将条件进行等价转换，再作判断.2.充要条件的转化要依据定义进行，有时可利用集合的包含关系或数形结合帮助处理.3.探求充要条件可以先求充分条件，再验证必要性；或者先求必要条件，再验证充分性；或者等价转换条件.4.确定条件为不充分或不必要条件时，常用构造反例的方法来说明.5.若判断或证明命题“pq”较为困难，可转化为研究其逆否命题往往能使问题得以简化.“”qp ，
