1、第7节函数yAsin(x)的图象及应用考试要求1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知 识 梳 理1.“五点法”作函数yAsin(x)(A0，0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示.xx02yAsin(x)0A0A0(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到yAsin(x)在一个周期内的图象.(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得yA
2、sin(x)在R上的图象.2.函数yAsin(x)中各量的物理意义当函数yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：简谐振动振幅周期频率相位初相yAsin(x)(A0，0)，x0，)ATfx3.函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)的图象的两种途径常用结论与易错提醒1.由函数ysin x的图象经过变换得到yAsin(x)的图象，如先伸缩再平移时，要把x前面的系数提取出来.2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间的确定，基本思想是把x看作一个整体.若0，0，00，0，0)的部分图象如图所示，则_，为了得到g(x)
3、Acos x的图象，需将函数yf(x)的图象最少向左平移_个单位长度.解析(1)由函数的图象可得A2，T44，解得.又图象经过，02sin，0，故f(x)的解析式为f(x)2sin，所以f(2 016)2sin.故选A.(2)由题图知A2，T2，所以2，所以f(x)2sin(2x)，把点代入，得sin1，所以2k(kZ)，即2k(kZ)，又0)上是减函数.(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；(2)(一题多解)求实数a的取值范围.解(1)f(x)2cos x(1cos 2x)sin 2xsin.所以f(x)的最小正周期为T.令2xk，kZ，解得x，kZ，所以f(x)的对称轴方程为x，kZ.
4、(2)法一由(1)可知f(x)在上是减函数.因为，所以要使得f(x)在上是减函数，只需满足解得a.又a0，所以实数a的取值范围.法二因为f(x)在上是减函数，所以，即0a.由(1)可知f(x)在(kZ)上是减函数，所以ak，且ak，即ak，且ak，kZ.结合0a，解得k0，所以00，|)在区间上的图象如图所示，则，的值分别是()A.2， B.2，C.， D.，解析由题图可知T2，所以2，又sin0，所以2k(kZ)，即2k(kZ)，而|0)个单位后的图象关于y轴对称，则a的最小值是()A. B. C. D.解析依题意得f(x)2sin，因为函数f(xa)2sin的图象关于y轴对称，所以sin1
5、，ak，kZ，即ak，kZ，因此正数a的最小值是，选B.答案B3.函数f(x)3sinxlogx的零点的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5解析函数y3sinx的周期T4，由logx3，可得x.由logx3，可得x8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y3sinx和ylogx的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f(x)有5个零点.答案D4.(2020绍兴一中适考)将函数f(x)2sin1的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是()A.函数g(x)的图象关于点对称B.函数g(x)的周期是C.函数g(x)在上单调递增D.函数g(x)在上最大值是
6、1解析将函数f(x)2sin1的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，则得g(x)2sin1，故g(x)的最小正周期T；又g2sin11，即g(x)的图象关于点对称；当x时，t2x且单调递增，则y2sin t1在上单调递增，且2sin t12sin 11，故选C.答案C5.(2019天津卷)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)是奇函数，将yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2，且g，则f()A.2 B. C. D.2解析因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)Asin 0，所以sin
7、0.又|0)，yf(x)的图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于，则f(x)的单调递增区间是()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ解析f(x)sin xcos x2sin.因为函数f(x)的图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于，则函数f(x)的最小正周期为，解得2，则f(x)2sin，令2k2x2k，kZ得kxk，kZ，所以函数f(x)的单调递增区间为，kZ，故选B.答案B二、填空题7.(2016浙江卷)已知2cos2xsin 2xAsin(x)b(A0)，则A_，b_.解析2cos2xsin 2xcos 2x1sin 2x1sin1Asin(x)b(A0)，A，b1.答案18.(20
8、18全国卷)函数f(x)cos在0，的零点个数为_.解析由题意知cos0，所以3xk，kZ，所以x，kZ，当k0时，x；当k1时，x；当k2时，x，均满足题意，所以函数f(x)在0，上的零点个数为3.答案39.已知f(x)sin (0)，ff，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则_.解析依题意，x时，y有最小值，sin1，2k (kZ).8k (kZ)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以，即12，令k0，得.答案10.已知函数f(x)asin 2x(a1)cos 2x，aR，则函数f(x)的最小正周期为_；振幅的最小值为_.解析由题意得f(x)asin 2x(a1)cos 2xs
9、in(2x)，其中tan ，所以函数f(x)的最小正周期为，0)，已知f(x)在0，2有且仅有5个零点，下述四个结论：f(x)在(0，2)有且仅有3个极大值点；f(x)在(0，2)有且仅有2个极小值点；f(x)在单调递增；的取值范围是.其中所有正确结论的编号是()A. B. C. D.解析已知f(x)sin (0)在0，2有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在a，b)上，此时f(x)在(0，2)有且仅有3个极大值点，但f(x)在(0，2)可能有2或3个极小值点，所以正确，不正确；当x0，2时，x，由f(x)在0，2有且仅有5个零点可得526，得的取值范围是，所以正确；由知，当x时，x
10、，所以f(x)在上单调递增，所以正确.故选D.答案D15.(一题多解)(2018全国卷)若f(x)cos xsin x在a，a是减函数，则a的最大值是()A. B. C. D.解析法一f(x)cos xsin xcos，且函数ycos x在区间0，上单调递减，则由0x，得x.因为f(x)在a，a上是减函数，所以解得a，所以0a，所以a的最大值是，故选A.法二因为f(x)cos xsin x，所以f(x)sin xcos x，则由题意知f(x)sin xcos x0在a，a上恒成立，即sin xcos x0，即sin0在a，a上恒成立，结合函数ysin的图象可知有解得a，所以00，在函数y2si
11、n x与y2cos x 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则_.解析由得sin xcos x，tan x1，xk (kZ).0，x (kZ).设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1，x2，则|x2x1|.又结合图形知|y2y1|2，且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为2，(x2x1)2(y2y1)2(2)2，(2)212，.答案17.(2020浙江新高考仿真卷五)已知函数f(x)sin xcos xcos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期，并写出f(x)图象的对称轴方程；(2)若将函数yf(x)的图象向右平行移动个单位长度，得到函数yg(x)
12、的图象，求满足g(x0)1的实数x0的集合.解(1)f(x)sin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)(sin 2xcos 2x)sin，f(x)的最小正周期T，令2xk，kZ，得x，kZ，f(x)图象的对称轴方程为x，kZ.(2)由题意得g(x)sinsin 2x，g(x0)1，即sin 2x01，sin 2x0，2k2x02k，kZ，kx0k，kZ，即所求x0的集合为.18.(2020浙江新高考仿真卷四)已知函数f(x)2cos x(a2sin xbcos x)(xR)的值域为1，3.(1)若函数yf(x)的图象关于直线x对称，求|的最小值；(2)当x0，时，方程|f(x)|c有四个实数根，求c的取值范围.解(1)f(x)a2sin 2xbcos 2xbsin(2x)b，其中tan ，cos 0，由题意得b1，b3，解得a2，b1，tan ，2k，kZ，从而f(x)2sin1，f(x)2sin1，由yf(x)的图象关于直线x对称得22k(kZ)，(kZ).|min.(2)如图，y|f(x)|.在，上单调递增，在，上单调递减，结合f(0)f()2，f1，ff0可知c(0，1).