1、第4节二倍角公式考试要求掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.知 识 梳 理二倍角公式sin 22sin_cos_，cos 2cos2sin22cos2112sin2，tan 2.常用结论与易错提醒二倍角公式变形(1)升降幂公式：cos2；sin2；sin cos sin 2.(2)配方变形公式：1cos 22cos2；1cos 22sin2；12sin cos (sin cos )2.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)二倍角的正弦、余弦公式对任意角都成立.()(2)二倍角正切公式左右两端有意义的范围不完全相同.()(3)在使左右两端都有意义的条件下，二倍角正切公式才成立.()(4)不存
2、在，使tan 22tan .()解析当0时，tan 22tan ，(4)不正确，如0.答案(1)(2)(3)(4)2.(2020金华十校期末调研)已知x，sin x，则tan 2x()A. B. C. D.解析因为x，sin x，所以cos x，tan x，则tan 2x，故选D.答案D3.若，则的值为()A.2cos B.2cos C.2sin D.2sin 解析，2sin.答案D4.已知函数f(x)cos2cos2，则f的值为()A. B. C. D.解析，cossin，f(x)cos2cos2cos2sin2cossin 2x，故fsin.答案B5.已知tan2，则cos 2的值是_.解
3、析因为tan2，所以cos 2sin.答案6.若sin ，tan 0，则cos _，tan 2_.解析由题意知，因为sin 0，tan 0，所以cos 0，又sin2cos21，故cos ，又由tan ，tan 2，可知tan 2.答案考点一二倍角公式的正用【例1】 (1)(2019全国卷)已知，2sin 2cos 21，则sin ()A. B. C. D.(2)已知sin cos ，则sin 2()A. B. C. D.解析(1)由2sin 2cos 21，得4sin cos 2cos2.又，所以2sin cos ，又sin2cos21，所以sin2，所以sin .(2)sin 22sin
4、cos .答案(1)B(2)A规律方法二倍角公式与其他公式应用时注意：“化异为同”，即“化异次为同次，化异角为同角”.【训练1】 (1)(一题多解)已知为锐角，且tan ，则sin 2()A. B. C. D.(2)若cos 22cos，(0，)，则sin 2_，tan _.解析(1)法一sin 2，故选D.法二由为锐角，且tan ，得sin ，cos ，所以sin 22sin cos 2，故选D.(2)cos 22cos，(0，)，得cos2sin2cos sin ，(0，)，即(cos sin )(cos sin )(cos sin )，(0，)，当cos sin 0时，；当cos sin
5、 0时，式化简为cos sin ，(0，)，即sin1，(0，)，即，综上所述，则sin 2sin1，tan tan1.答案(1)D(2)11考点二二倍角公式的逆用【例2】 (1)4cos 50tan 40()A. B.C. D.21(2)cos 20cos 40cos 60cos 80_.解析(1)原式4sin 40，故选C.(2)原式cos 20cos 40cos 80.答案(1)C(2)规律方法利用二倍角公式可对形如cos cos 2cos 4cos 2n的式子进行化简和计算.【训练2】 (1)化简：_.(2)计算：_.解析(1)原式cos 2.(2)原式4.答案(1)cos 2(2)4
6、考点三二倍角公式的变形应用【例3】 化简下列各式(1)2的化简结果是_.(2)(0)_.解析(1)原式22|cos 4|2|sin 4cos 4|，因为4，所以cos 40，且sin 4cos 4，所以原式2cos 42(sin 4cos 4)2sin 4.(2)原式.因为0，所以00，所以原式cos .答案(1)2sin 4(2)cos 规律方法二倍角公式的常见变形有1cos 22sin2，1cos 22cos2，12sin cos (sin cos )2，及cos2，sin2，sin cos sin 2等.【训练3】 求值：sin 10.解原式sin 10sin 10sin 102cos
7、10.基础巩固题组一、选择题1.化简的结果为()A.tan B.tan 2 C.1 D.解析原式tan 2.答案B2.若tan ，则cos 2()A. B. C. D.解析tan ，则cos 2cos2sin2.答案D3.coscoscos()A. B. C. D.解析coscoscoscos 20cos 40cos 100cos 20cos 40cos 80.答案A4.化简sin2sin2sin2的结果是()A. B. C. D.解析原式sin21sin212cos 2cos .答案C5.设acos 2sin 2，b，c，则有()A.acb B.abc C.bca D.cab解析由题意可知，
8、asin 28，btan 28，csin 25，cab.答案D6.(2019全国卷)函数f(x)2sin xsin 2x在0，2的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.5解析令f(x)0，得2sin xsin 2x0，即2sin x2sin xcos x0，2sin x(1cos x)0，sin x0或cos x1.又x0，2，由sin x0得x0，或2，由cos x1得x0或2.故函数f(x)的零点为0，2，共3个.故选B.答案B二、填空题7.若cos，则sin的值是_.解析sinsincos 22cos2121.答案8.已知，且sin，则tan 2_.解析sin，得sin cos ，平
9、方得2sin cos ，可求得sin cos ，sin ，cos ，tan ，tan 2.答案9.已知cos4sin4，且，则cos_.解析cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos 2，又，2(0，)，sin 2，coscos 2sin 2.答案10.已知，且sin cos ，则_.解析sin cos ，即cos sin ，cos，即cos.，所以ff.(2)因为f(x)2sin x(12sin2x)2sin2x2sin x12，令tsin x，t1，1，所以y2，因为对称轴t，根据二次函数性质知，当t1时，函数取得最大值3.12.(2019七彩阳光联盟三联)已知角的顶点
10、与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y2x上.(1)求cos 2的值；(2)若角满足tan(2)1，求tan 的值.解(1)由已知得tan 2，所以cos 2cos2sin2.(2)由(1)知tan 2，而tan tan2(2)7.能力提升题组13.(2018全国卷)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2，则|ab|()A. B. C. D.1解析由题意知cos 0.因为cos 22cos21，所以cos ，sin ，得|tan |.由题意知|tan |，所以|ab|.故选B.答案B14.已知不等式f(x)3sin c
11、os cos2m0对于任意的x恒成立，则实数m的取值范围是()A.，) B.(，)C.(， D.，解析f(x)sin mm0，msin ，x，令g(x)sin，x，g(x)min，m(，.答案C15.(一题多解)(2019江苏卷)已知，则sin的值是_.解析法一由，解得 tan 2或.sin(2sin cos 2cos21)(sin cos cos2)，将tan 2和分别代入得sin.法二，sin coscos sin.又sin sinsincos cossin ，由解得sin cos，cos sin.sinsinsin coscos sin.答案16.若，sin 2，则sin _；cos_.
12、解析因为sin 2，所以sin 0，cos 0，且sin cos ，所以(sin cos )21sin 2，所以sin cos ，同理可得sin cos ，所以sin .因为，sin 2，所以cos 2，所以coscos 2sin 2.答案17.已知函数f(x)2cos x(sin xcos x)1.(1)求f的值；(2)若f(x0)，x0，求sin 2x0的值.解(1)因为f(x)sin 2xcos 2x2sin，所以f2sin2sin 2.(2)由上可知f(x0)2sin，所以sin.由x0，得2x0.由0sin，知2x0，从而有cos，所以sin 2x0sin.18.已知f(x)sin x2sincos.(1)若f()，求的值；(2)若sin ，x0，求f(x0)的值.解(1)由条件可得f(x)sin xcos xsin.因为f()，所以sin，sin，因为，则，解得.(2)因为sin ，x0，得sin x0，cos x0，所以f(x0).