1、2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程Q你可曾留意枝头上的鸟儿展翅高飞的那一瞬间在天空留下的魅力弧线？你可曾看到流星划过天际残留的星痕？你可曾欣赏运动员跳高时纵身一跃所形成的完美曲线？你可曾游览被誉为“西湖十景”之一的“断桥残雪”？那些就是一条条优美的抛物线X1抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离_相等_的点的轨迹(2)焦点：_定点F_叫做抛物线的焦点(3)准线：_定直线l_叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程_y22px(p0)_(，0)x_y22px(p0)_(，0)x_x22py(p0)_(0，)y_x22py(p0)_
2、(0，)yY1抛物线y24x的焦点坐标是(D)A(0,2) B(0,1) C(2,0) D(1,0)解析由题意得2p4，p2，抛物线的焦点坐标为(1,0)2抛物线yx2的准线方程为(C)AxBxCy1Dy2解析抛物线yx2化为标准方程为x24y，故准线方程为y1.3(2019福州市八县(市)协作校期末)y2x2的焦点坐标是(D)A(1,0)B(，0)C(0，)D(0，)解析由题意知，p，焦点坐标是(0，)故选D.4(2019浙江宁波高二检测)抛物线x22py(p0)的焦点是双曲线1的一个焦点，则该抛物线的方程是_x212y_.解析双曲线的焦点坐标是(0，3)，根据题意，知抛物线的焦点坐标只能是
3、(0，3)，即3，p6，故抛物线的方程是x212y.5求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)准线方程为2y40；(2)过点(3，4)；(3)焦点在直线x3y150上解析(1)准线方程为2y40，即y2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x22py(p0)又2，所以2p8，故抛物线的标准方程为x28y.(2)点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22p1y(p10)把点(3，4)的坐标分别代入y22px和x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，即2p，2p1.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(3)令x0得y5；令y0得x15.抛物线的焦点为(0，
4、5)或(15,0)所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.H命题方向1求抛物线的焦点及准线典例1设抛物线的方程为yax2(a0)，求抛物线的焦点坐标与准线方程解析抛物线方程yax2(a0)化为标准形式：x2y，当a0时，则2p，解得p，焦点坐标是(0，)，准线方程是y.当a0)，则A(2，2)，将其坐标代入x22py得p1.x22y.当水面下降1 m，得D(x0，3)(x00)，将其坐标代入x22y得x6，x0，水面宽|CD|2 m.规律方法抛物线的实际应用问题，关键是建立坐标系，将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标，从而求得抛物线方程，再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论跟踪练习4
5、如图(1)所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OP1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1 m)图(1)解析如图(2)所示，建立平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)图(2)依题意有P(1，1)在此抛物线上，代入得p.故得抛物线方程为x2y.又B在抛物线上，将B(x，2)代入抛物线方程得x，即|AB|，则|OB|OA|AB|1，因此所求水池的直径为2(1) m，约为5 m，即水池的直径至少应设计为5 m.Y考虑问题要全面典例5设抛物线y2mx的准线与直线x1的距离为3，求抛物线的方程错
6、解准线方程为x，因为准线与直线x1的距离为3，所以准线方程为x2，所以2，所以m8，故抛物线方程为y28x.错解分析题目条件中未给出m的符号，当m0或m0时，准线方程为x，由条件知1()3，所以m8.此时抛物线方程为y28x；当m0)上一点M到焦点的距离是a(a)，则点M的横坐标是(B)AaBaCapDap3若椭圆1(p0)的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p为_.4若抛物线y22px(p0)的焦点与双曲线1的右焦点重合，则实数p_4_.5抛物线y22px(p0)上有一点M的横坐标为9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标解析设焦点为F(，0)，M点到准线的距离为d，则d|MF|10，即910，所以p2，所以抛物线方程为y24x.将M(9，y)代入抛物线的方程，得y6，所以M点坐标为(9,6)或(9，6)