1、第7节函数的图象与变换考试要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题.知 识 梳 理1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；
2、yax(a0，且a1)的图象ylogax(a0，且a1)的图象.(3)伸缩变换yf(x)yf(ax).yf(x)yAf(x).(4)翻转变换yf(x)的图象y|f(x)|的图象；yf(x)的图象yf(|x|)的图象.常用结论与易错提醒1.图象左右平移变换是针对自变量x而言的，如从f(2x)的图象到f(2x1)的图象是向右平移个单位，先作如下变形f(2x1)f，可避免出错.2.明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.诊 断 自 测1.判断
3、下列说法的正误.(1)函数yf(1x)的图象，可由yf(x)的图象向左平移1个单位得到.()(2)函数yf(x)的图象关于y轴对称即函数yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称.()(3)当x(0，)时，函数yf(|x|)的图象与y|f(x)|的图象相同.()(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称.()解析(1)yf(x)的图象向左平移1个单位得到yf(1x)的图象，故(1)错.(2)两种说法有本质不同，前者为函数的图象自身关于y轴对称，后者是两个函数的图象关于y轴对称，故(2)错.(3)令f(x)x，当x(0，)时，y|f(x)|x，yf(|x|
4、)x，两函数图象不同，故(3)错.答案(1)(2)(3)(4)2.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)的解析式为()A.f(x)ex1 B.f(x)ex1C.f(x)ex1 D.f(x)ex1解析依题意，与曲线yex关于y轴对称的曲线是yex，于是f(x)相当于yex向左平移1个单位的结果，f(x)e(x1)ex1.答案D3.(2019浙江名师预测卷)函数y(exex)sin|2x|的图象可能是()解析由题可知函数f(x)(exex)sin|2x|是奇函数，故排除B，C；当x时，f(x)0，故排除D，故选A.答案A4.若函数yf(x)在x2，2的
5、图象如图所示，则当x2，2时，f(x)f(x)_.解析由于yf(x)的图象关于原点对称，f(x)f(x)f(x)f(x)0.答案05.若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_.解析在同一个坐标系中画出函数y|x|与yax的图象，如图所示.由图象知当a0时，方程|x|ax只有一个解.答案(0，)6.已知函数f(x)2x，若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称，则g(x)_；若把函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向下平移4个单位后，所得函数的解析式为h(x)_.解析g(x)的图象与函数f(x)2x的图象关于x轴对称，g(x)2x.把f(x)2x的图象向左平移1个单位
6、，得m(x)2x1的图象，再向下平移4个单位，得h(x)2x14的图象.答案2x2x14考点一作函数的图象【例1】 作出下列函数的图象：(1)y；(2)y|log2(x1)|；(3)y；(4)yx22|x|1.解(1)先作出y的图象，保留y图象中x0的部分，再作出y的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y的图象，如图实线部分.(2)将函数ylog2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y|log2(x1)|的图象，如图.(3)y2，故函数图象可由y图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图.(4)y且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据
7、对称性作出(，0)上的图象，得图象如图.规律方法画函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【训练1】 分别画出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)ysin |x|.解(1)y|lg x|函数y|lg x|的图象，如图.(2)当x0时，ysin|x|与ysin x的图象完全相同，又ysin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图.考点二函数图
8、象的辨识【例2】 (1)(2019全国卷)函数f(x)在，的图象大致为()(2)(2020杭州二中模拟)现有四个函数yx|sin x|，yxcos|x|，y，yxln|x|的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是()A. B.C. D.解析(1)显然f(x)f(x)，x，所以f(x)为奇函数，排除A；当x时， f()0，排除B，C.故选D.(2)结合图形及函数的解析式可知yx|sin x|，yxcos|x|，yxln|x|都是奇函数，而y是非奇非偶函数，对比图象，第一个图象对应的解析式为；对于函数yxcos|x|来说，当0x1时，y0，当x时，y0，对
9、比图象可知第二个图象对应的解析式为；对于函数yxln|x|来说，当0x1时，y0，且当x1时，y0，对比图象可知第三个图象对应的解析式为；对于函数yx|sin x|来说，当x0时，y0，当x0时，y0，对比图象可知第四个图象对应的解析式为；由此可知按照图象从左到右的顺序对应的函数的序号正确的一组是，故选C.答案(1)D(2)C规律方法(1)抓住函数的性质，定性分析从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.从函数的单调性，判断图象的变化趋势；从周期性，判断图象的循环往复.从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(2)抓住函数的特征，定量计算从函数的特征点，利用特征点、特殊值
10、的计算分析解决问题.【训练2】 (1)(2019浙江名校新高考研究联盟三联)已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是()A.f(x)sin x B.f(x)sin xC.f(x)cos x D.f(x)cos x(2)函数y2x2e|x|在2，2的图象大致为()解析(1)由图象可知该函数是偶函数，因为A，B的函数是偶函数，C，D是奇函数，故排除C，D.A，B中，因为f()0，取x，则A项中，f0，B项中，f0，所以可以排除B，故选A.(2)f(x)2x2e|x|，x2，2是偶函数，又f(2)8e2(0，1)，排除A，B.设g(x)2x2ex，x0，则g(x)4xex.又g(0)0，g(2
11、)0，g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，f(x)2x2e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C，故选D.答案(1)A(2)D考点三函数图象的应用 多维探究角度1研究函数的性质【例31】 (一题多解)设函数f(x)min|x2|，x2，|x2|，其中minx，y，z表示x，y，z中的最小者.下列说法错误的是()A.函数f(x)为偶函数B.若x1，)时，有f(x2)f(x)C.若xR时，f(f(x)f(x)D.若x4，4时，|f(x)2|f(x)解析法一由f(x)min|x2|，x2，|x2|，得f(x)min|x2|，(x)2，|x2|f(x)，即函数f(x)为偶函数；如图，作出
12、函数f(x)的图象，将f(x)的图象向右平移2个单位长度知f(x2)的图象在1，)上的部分位于f(x)的图象的下方，则有f(x2)f(x)；令f(x)u0，则由图象知f(u)u，由排除法知D错误，故选D.法二若x4，4，则0f(x)2，故|f(x)2|2f(x)f(x)等价于0f(x)1，所以当x4，4时，|f(x)2|f(x)不恒成立.否定一个结论，只需给出一个反例即可.取x4，则|f(4)2|0f(4)，D错误，故选D.答案D角度2研究函数零点(或方程根)的个数【例32】 (2019杭州三校三联)已知函数f(x)若函数yf(x)log2(ax)恰有两个零点，则实数a的取值范围为_.解析函数
13、yf(x)log2(ax)恰有两个零点等价于函数f(x)与g(x)log2(ax)的图象恰有两个交点，在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象如图所示，其中函数g(x)log2(ax)的图象可以看作是由函数h(x)log2(x)的图象向右平移a个单位长度得到的，当g(x)log2(ax)过点(2，0)时，a1，g(x)与f(x)只有一个交点；当g(x)log2(ax)过点(0，0)时，a1，g(x)与f(x)只有一个交点；当g(x)log2(ax)过点(2，0)时，a3，g(x)与f(x)有两个交点；当g(x)log2(ax)过点(2，1)时，a4，且此时g(x)也过点(0，2)，g(x)在(
14、2，4)上与f(x)有一个交点，共3个交点；当g(x)log2(ax)过点时，a4，此时f(x)与g(x)有一个交点；故当a4时，f(x)与g(x)无交点.综上，当a1或a4时，函数g(x)与f(x)无交点；当1a1或4a4时，函数g(x)与f(x)有一个交点；当1a3时，函数g(x)与f(x)有两个交点；当3a4时，函数g(x)与f(x)有三个交点，所以1a3.答案(1，3角度3求不等式的解集【例33】 函数f(x)是定义在4，4上的偶函数，其在0，4上的图象如图所示，那么不等式0.当x时，ycos x0.结合yf(x)，x0，4上的图象知，当1x时，0.又函数y为偶函数，在4，0上，0的解
15、集为，所以f(x)2x的解集是_.解析(1)因为F(x)根据题意，F(x)的示意图可表示为如图中的实线部分，所以有F(1x2)F(1x2)，故选C.(2)y(mx1)2m2，相当于yx2向右平移个单位，再将函数值放大m2倍得到的；ym相当于y向上平移m个单位.若0m1，两函数的图象如图1所示，可知两函数在x0，1上有且只有1个交点，符合题意.若m1，两函数的大致图象如图2所示.为使两函数图象在x0，1上有且只有1个交点，只需(m1)21m，得m3或m0(舍去).综上，m(0，13，).(3)由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)x.在同一直角坐标系中分别画出yf(x)
16、与yx的图象，由图象可知不等式的解集为(1，0)(1，.答案(1)C(2)(0，13，)(3)(1，0)(1，基础巩固题组一、选择题1.为了得到函数y2x2的图象，可以把函数y2x图象上所有的点()A.向右平行移动2个单位长度B.向右平行移动1个单位长度C.向左平行移动2个单位长度D.向左平行移动1个单位长度解析因为y2x22(x1)，所以只需将函数y2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y2(x1)2x2的图象.答案B2.(2020镇海中学模拟)小明站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示.设小明从点A开始随动点P变化的视角为AOP，练车时间
17、为t，则函数f(t)的图象大致为()解析结合小明观察小车的运动轨迹可以看到，其观察视角从一开始增大，然后减小，有一段几乎没有发生变化，然后再减小，最后呈增大趋势，结合选项可知D正确.答案D3.使log2(x)x1成立的x的取值范围是()A.(1，0) B.1，0) C.(2，0) D.2，0)解析在同一直角坐标系内作出ylog2(x)，yx1的图象，知满足条件的x(1，0)，故选A.答案A4.(2019绍兴适应性考试)函数y(x3x)ln|x|的图象是()解析设f(x)y(x3x)ln|x|，易得函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，且f(x)(x)3(x)ln|x|(x3x)ln|x|f(
18、x)，所以函数f(x)为奇函数，函数图象关于原点中心对称，所以排除B；当0x1时，f(x)(x3x)ln x，因为x3x0，ln x0，所以f(x)(x3x)ln x0，所以排除A；当x1时，f(x)(x3x)ln x，因为x3x0，ln x0，所以f(x)(x3x)ln x0，所以排除D，故选C.答案C5.(2020杭州质检)函数f(x)(其中e为自然对数的底数)的图象可能是()解析由题意得函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，且f(x)f(x)，则函数f(x)为奇函数，函数图象关于原点中心对称，排除B，D；f(x)11，所以当x时，f(x)1，排除A，故选C.答案C6.已知函数f(x)则
19、方程f1的实根个数为()A.8 B.7 C.6 D.5解析由f(x)的解析式可以在平面直角坐标系中画出简图，如图所示，通过图象易知f(x)1有四个根，分别为x1，1或3，即x2可能取该四个值，分别对应x1或或3或5，整理得，x2x10，x2x10，x23x10，x25x10，10，20，30，40，所以实根有6个，故选C.答案C二、填空题7.如图，定义在1，)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为_.解析当1x0时，设解析式为ykxb(k0).则得yx1.当x0时，设解析式为ya(x2)21(a0).图象过点(4，0)，0a(42)21，得a.答案f(x)8
20、.(2020绍兴适应性考试)已知函数f(x)若a0，b0，且f(a)f(b)，则f(ab)的取值范围是_.解析在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象如图所示，由图易得要使a0，b0，f(a)f(b)，则a0，b，且2b3a2，则b，则aba(a1)21，当a0时，ab(a1)21(，1，所以f(ab)2(ab)31，).答案1，)9.函数y为_函数(填“奇”或“偶”)，函数f(x)1的对称中心为_.解析y的定义域为R，记g(x)，则g(x)g(x)，g(x)即y是奇函数；函数f(x)的定义域为R，f(x)f(x)1124，故f(x)的对称中心为(0，2).答案奇(0，2)10.函数f(x)的
21、定义域为1，1，图象如图1所示；函数g(x)的定义域为2，2，图象如图2所示.方程f(g(x)0有m个实数根，方程g(f(x)0有n个实数根，则m_，n_.解析由题图1可知，若f(g(x)0，则g(x)1或g(x)0或g(x)1，由题图2知，g(x)1时，x1或x1；g(x)0时，x或x0或x；g(x)1时，x2或x2，故m7.若g(f(x)0，则f(x)或f(x)或f(x)0，由题图1知，f(x)与f(x)对应的x值各有2个，f(x)0时，x1或x1或x0，故n7.答案77三、解答题11.已知函数f(x)(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间；
22、(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值.解(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为1，0，2，5.(3)由图象知当x2时，f(x)minf(2)1，当x0时，f(x)maxf(0)3.12.已知f(x)|x24x3|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合Mm|使方程f(x)m有四个不相等的实根.解(1)当x24x30时，x1或x3，f(x)f(x)的图象为： (2)由函数的图象可知f(x)的单调区间是(，1，(2，3)，(1，2，3，)，其中(，1，(2，3)是减区间；(1，2，3，)是增区间.
23、(3)由f(x)的图象知，当0m1时，f(x)m有四个不相等的实根，所以Mm|0m1.能力提升题组13.已知二次函数f(x)x2bxa的部分图象如图所示，则函数g(x)exf(x)的零点所在的区间是()A.(1，0) B.(0，1)C.(1，2) D.(2，3)解析由函数f(x)的图象可知，0f(0)a1，f(1)1ba0，所以1b2.又f(x)2xb，所以g(x)ex2xb，所以g(x)ex20，所以g(x)在R上单调递增，又g(0)1b0，g(1)e2b0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，故选B.答案B14.已知函数f(x)则对任意x1，x2R，若0
24、|x1|x2|，下列不等式成立的是()A.f(x1)f(x2)0C.f(x1)f(x2)0 D.f(x1)f(x2)0解析函数f(x)的图象如图所示：且f(x)f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在0，)上是增函数.又0|x1|f(x1)，即f(x1)f(x2)0.答案D15.已知f(x)则函数y2f(x)23f(x)1的零点个数是_.解析由2f(x)23f(x)10得f(x)或f(x)1.作出函数yf(x)的图象.由图象知y与yf(x)的图象有2个交点，y1与yf(x)的图象有3个交点.因此函数y2f(x)23f(x)1的零点有5个.答案516.(2020嘉兴测试)已知函数f(x)(1)若对
25、任意的xR，都有f(x)|k1|成立，则实数k的取值范围为_；(2)若存在xR，使|f(x)|k，则实数k的取值范围是_.解析(1)对任意xR，都有f(x)|k1|成立，即f(x)max|k1|.因为f(x)的草图如图所示，观察f(x)的图象可知，当x时，函数f(x)max，所以|k1|，解得k或k.(2)|f(x)|的图象如图所示且|f(x)|0，)，存在xR，使|f(x)|k，故k的取值范围是0，).答案(1)(2)0，)17.已知函数f(x)的图象与函数h(x)x2的图象关于点A(0，1)对称.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x)，g(x)在区间(0，2上的值不小于6，
26、求实数a的取值范围.解(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，点(x，y)关于点A(0，1)的对称点(x，2y)在h(x)的图象上，2yx2，yx，即f(x)x.(2)由题意g(x)x，且g(x)x6，x(0，2.x(0，2，a1x(6x)，即ax26x1.令q(x)x26x1，x(0，2，q(x)x26x1(x3)28，当x(0，2时，q(x)是增函数，q(x)maxq(2)7.故实数a的取值范围是7，).18.已知函数f(x)x2ax4(aR)的两个零点为x1，x2，设x10时，证明：2x1a，0，2.2x1|2xa|(x2).当a0时，显然不成立，若a0，作出y2x和y|2xa|的函数图象如图：02，解得0a8.若a0，作出y2x和y|2xa|的函数图象如图：由图象可知2x0不成立，不符合题意.综上，a的取值范围是(0，8.