1、第 讲 1集合的概念第一章 集合与简易逻辑 考点搜索集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性集合的表示方法：列举法、描述法、区间表示法和图示法集合的子集、全集高高考猜想高考对集合概念考查主要有两种方式：一是直接以选择题和填空题形式考查；二是以集合作为工具考查集合语言和集合思想的运用.1.集合中的元素具有三个特性，分别是(1)，(2)，(3).2.集合的表示方法常用的有三种，分别是(4)，(5)，(6).3.按集合中元素的个数可将集合分成(7)，(8)和空集.确定性互异性无序性列举法描述法图示法有限集无限集4.特殊的集合一般用特定的字母表示，实数集用字母(9)表示，有理数集用字母(10)表示，
2、整数集用字母(11)表示，自然数集用字母(12)表示，正整数集用字母(13)表示.RQZNN*(或N+)5.a是集合A的元素可表示为(14)，a不是集合A的元素可表示为(15)；集合A是集合B的子集可表示为(16)，集合A是集合B的真子集可表示为(17)；集合A与集合B相等(即A=B)的充要条件是(18);(19)是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.aAaAABA BABBA且空集6.如果一个集合含有n个元素，那么这个集合的子集的个数为(20)，真子集的个数为(21)，非空真子集的个数为(22).2n2n-12n-21.用符号“A=y|y=x2+1,xN,B=(x,y)|y=x2-2x+
3、2,xR,则：(1)0A;3.5A;10A;(1,2)A.(2)(0,0)B;(1,1)B;2B.(1)A=y|y=x2+1,xN是函数y=x2+1(xN)的值域，所以0 A;3.5 A;10 A;(1,2)A.(2)B=(x,y)|y=x2-2x+2,xR是函数y=x2-2x+2(xR)图象上的点的集合，所以(0,0)B;(1,1)B;2B.2.已知M=x|x1,N=x|xa，且MN，则()A.a1 B.a1画图即得B.B3.已知全集U=Z，A=x|x=4k-1,kZ,B=x|x=4k+1,kZ.指出A与CUB,B与 CUA的关系.U=Z，A=x|x=4k-1,kZ=x|x=4(k-1)+3
4、,kZ=x|x=4k+3,kZ,由B=x|x=4k+1,kZ，得 CUB=x|x=4k,或x=4k+2,或x=4k+3,kZ,所以AC UB，从而BCUA.题型一：元素与集合，集合与集合的关系1.(原创)已知A=x|，xR，a=，b=，则()A.aA且bAB.aA且bAC.aA且bAD.aA且b A由及，可知aA且bA，故选C.x 3 21523C15183 22 312183 2点评：元素与集合之间的关系是从属关系，即“属于”或“不属于”中两者必居其一，这也是集合中元素的“确定性”性质，而集合与集合之间是“包含”与“不包含”的关系.下列集合中表示空集的是()A.xR|x+5=5 B.xR|x
5、+55C.xR|x2=0 D.xR|x2+x+1=0因为选项A、B、C中表示的集合分别为0，x|x0，0，所以不是空集；又因为x2+x+1=0无实数解，所以xR|x2+x+1=0表示空集，故选D.D题型二：元素互异性问题2.已知全集S=1,3,x3-x2-2x,A=1,|2x-1|,如果CSA=0，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.解法一：因为CSA=0,所以0S且0A,所以x3-x2-2x=0，解得x=0或x=-1或x=2.当x=0时，|2x-1|=1，不满足A中元素的互异性；当x=-1时，|2x-1|=3S;当x=2时，|2x-1|=3S.所以这样的实数x存在
6、，且x=-1或x=2.解法2：因为CSA=0,所以0S且0A,3A.所以x3-x2-2x=0且|2x-1|=3,解得x=-1或x=2.点评：集合中元素的互异性指的是集合中的元素互不相同，故本题在求出x的值后，须检验元素的互异性.本题当x=0时，|2x-1|=1不能满足集合A中元素的互异性.求解此题的关键是理解符号CSA=0的两层含义：0S且0 A.(1)集合2a，a2-2a中，a的取值范围是_；(2)已知集合A=a+2,2a2+a，若3A，则a=_.(1)由集合中元素的互异性可知，a必须满足：2aa2-2a，解得a0且a4，故a的取值范围是a|a0且a4(2)因为3A，所以a+2=3或2a2+
7、a=3.当a+2=3时，a=1，此时2a2+a=3，与集合元素互异性矛盾，故舍去；当2a2+a=3时，a=-或a=1(舍去)，此时a+2=，满足集合中元素的性质综上所述，a=-.题型三：子集问题3.设集合A=x|x2+x-6=0，B=x|mx+1=0，若BA，求实数m的值.由x2+x-6=0解得x1=-3，x2=2，所以A=-3，2.若m=0，则B=，符合条件.若m0，则B=，因为BA，所以=-3或=2，即m=或m=.综上所述，m=0或或=.1m1m1m13121312点评：关于集合的子集问题，一是按元素的个数进行分类求解；二是考虑空集，全集这两种特殊情况.若A=x|x=a2+2a+4，aR，
8、B=y|y=b2-4b+3，bR，则A与B的关系为.因为x=(a+1)2+3，aR，所以x，所以A=x|x3.又y=(b-2)2-1，bR，所以y-1，所以B=y|y-，故AB.A B参考题题型集合与元素关系的应用1.设m，n是整数，集合A=(x，y)|(x-m)2+3n6y包含点(2，1)，但不包含点(1，0)与(3，2)，求m及n的值.因为(2，1)A，所以(2-m)2+3n6.又因为(1，0)A，(3，2)A，所以(1-m)2+3n0，(3-m)2+3n12.由得6-(2-m)2-(1-m)2，解得m .由得m ，又mZ，所以m=-1，代入，得-43n-3，又nZ，所以n=-1.故m=-1，n=-1.3212题型集合中参数的取值范围2.设集合A=x|x-22|0时，A=(，)，B=x|0 x20，解得综上所述，实数m的取值范围是(-，1-.22m22m202m22m 122m 0.m 012 22 21.元素与集合，集合与集合的关系关键是符号取，实质上就是准确把握两者是元素与集合，还是集合与集合的关系.2.“数形结合”的思想在集合中的应用 认清集合的特征，准确地转化为图形关系，借助图形使问题直观、具体、准确地得到解决，因此要重视数形结合的思想方法的运用(如数轴、几何图形、韦恩图等).数集的运算，一般使用数轴；集合间的包含关系的判断，通常使用韦恩图，简捷且直观.