1、第1节集合考试要求1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算知 识 梳 理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为和.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集
2、合间的基本关系(1)子集：若对任意xA，都有xB，则AB或BA.(2)真子集：若AB，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.(3)相等：若AB，且BA，则AB.(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示集合表示x|xA，或xBx|xA，且xBx|xU，且xA4.集合的运算性质(1)并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABABA.(2)交集的性质：A；AAA；ABBA；ABAAB.(3)补集的性质：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A；U(AB)(UA)(UB
3、)；U(AB)(UA)(UB).常用结论与易错提醒1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n1个.2.子集的传递性：AB，BCAC(“”换为“”仍成立).3.集合元素个数：card(AB)card(A)card(B)card(AB)(常在实际问题中应用).4.对于AB，注意A的情形.5.对于含参数的集合，注意检验元素的互异性.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)任何集合至少有两个子集.()(2)已知集合Ax|yx2，By|yx2，C(x，y)|yx2，则ABC.()(3)若x2，10，1，则x0，1.()(4)若ABAC，则BC.()解析(1)错误.空集只有一个子集，
4、就是它本身，故该说法是错误的.(2)错误.集合A是函数yx2的定义域，即A(，)；集合B是函数yx2的值域，即B0，)；集合C是抛物线yx2上的点集.因此A，B，C不相等.(3)错误.当x1时，不满足元素互异性.(4)错误.当A时，B，C可为任意集合.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修1P7练习2改编)若集合AxN|x，a2，则下列结论正确的是()A.aA B.aA C.aA D.aA解析由题意知A0，1，2，3，由a2，知aA.答案D3.(2020绍兴适应性考试)若全集U1，0，1，2，Px|x22x0，则UP()A.1，1 B.0，2 C.1，2 D.1，0，2解析由题意得集合U1，0
5、，1，2，P0，2，则UP1，1，故选A.答案A4.(2020北京石景山区测试)已知集合PxR|x1，Q2，3，则下列关系中正确的是()A.PQ B.PQ C.QP D.PQR解析2P，3P，且4P，但4Q，故QP.答案C5.(2020上海徐汇区一模)已知集合A2，3，B1，2，a，若AB，则实数a_.解析因为AB，所以a3.答案36.已知集合Ax|1x2，Bx|x24x0，则AB_，A(RB)_.解析由题意得集合Bx|0x4，所以ABx|1x4，RBx|x4，所以A(RB)x|1x0.答案x|1x4x|1x0考点一集合的基本概念【例1】 (1)(一题多解)(2018全国卷)已知集合A(x，y
6、)|x2y23，xZ，yZ，则A中元素的个数为()A.9 B.8 C.5 D.4(2)若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a()A. B. C.0 D.0或解析(1)法一由x2y23知，x，y.又xZ，yZ，所以x1，0，1，y1，0，1，所以A中元素的个数为CC9，故选A.法二根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2y23中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.(2)若集合A中只有一个元素，则方程ax23x20只有一个实根或有两个相等实根.当a0时，x，符合题意；当a0时，由(3)28a0，得a，所以a的取值为0或.答案(1)A(2)D规律方法(1)
7、第(2)题集合A中只有一个元素，要分a0与a0两种情况进行讨论，此题易忽视a0的情形.(2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合.【训练1】 (1)(2020上海黄浦区模拟)已知集合A1，2，3，B1，m，若3mA，则非零实数m的数值是_.(2)(2020绿色评价联盟适考)已知集合A1，2，Bx|x2(a1)xa0，aR，若AB，则a()A.1 B.2 C.1 D.2解析(1)由题意，若3m2，则m1，此时B集合不符合元素的互异性，故m1；若3m1，则m2，符合题意；若3m3，则m0，不符合题意.(2)由B1，a1，2，得
8、a2，故选B.答案(1)2(2)B考点二集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若BA，则实数m的取值范围是_.(2)(2020北京东城区一模)设A，B是R的两个子集，对任意xR，定义：mn若AB，则对任意xR，m(1n)_；若对任意xR，mn1，则A，B的关系为_.解析(1)当B时，有m12m1，则m2.当B时，若BA，如图.则解得21时，x(，1a，)1a1，解得1a2；当a1时，x(，a1，)aa1a1.综上，a2.答案(1)A(2)B规律方法(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.(2)一般地，集合元素离散时用Venn图
9、表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.【训练3】 (1)已知全集UABxZ|0x6，A(UB)1，3，5，则B()A.2，4，6 B.1，3，5C.0，2，4，6 D.xZ|0x6(2)(2019北京房山区期末)已知集合A1，0，1，Bx|xa，若ABA，则实数a的取值可以为()A.2 B.1 C.1 D.2解析(1)由A(UB)1，3，5得元素1，3，5不在集合B内.若元素0不在集合B内，则由ABxZ|0x6得元素0在集合A内，则0A(UB)，与题意不符，所以元素0在集合B内，同理可得元素2，4，6也在集合B内，所以B0，2，4，6，故选C.(2)ABA，AB，a1
10、，a2.答案(1)C(2)A基础巩固题组一、选择题1.(2020嘉、丽、衢模拟)集合2，0，1，9的真子集的个数是()A.13 B.14 C.15 D.16解析集合2，0，1，9中元素的个数为4个，则其真子集的个数为24115(个)，故选C.答案C2.(2020温州适应性考试)已知集合A1，2，1，集合By|yx2，xA，则AB()A.1 B.1，2，4C.1，1，2，4 D.1，4解析由题意得集合B1，4，则AB1，1，2，4，故选C.答案C3.已知Ax|y2x，By|y2x，则()A.ABA B.ABAC.AB D.(RA)B解析因为Ax|x0，By|yR，所以ABA，故选B.答案B4.(
11、2020北京海淀区一模)已知集合A0，a，Bx|1x2，且AB，则a可以是()A.1 B.0 C.1 D.2解析A0，a，a0，又Bx|1x0，xR，则AB_.解析因为A1，0，1，6，Bx|x0，xR)，故AB1，6.答案1，610.已知集合A1，2，Ba，a23，若AB1，则实数a的值为_.解析由AB1知，1B，又a233，则a1.答案111.集合A0，|x|，B1，0，1，若ABB，则AB_；AB_；BA_.解析A0，|x|，B1，0，1，若ABB，则AB，|x|1，AB0，1，AB1，0，1，BA1.答案0，11，0，1112.集合Ax|x0，得x0，B(，1)(0，)，AB1，0).
12、答案1，0)13.已知集合Ax|x22 018x2 0190，Bx|xm1，若AB，则实数m的取值范围是_.解析由x22 018x2 0190，得A1，2 019，又Bx|x2 019，则m2 018.答案(2 018，)14.设集合AxN|N，Bx|yln(x1)，则A_，B_，A(RB)_.解析当x0，1，2，5时，的值分别为6，3，2，1，当xN且x0，1，2，5时，N，A0，1，2，5，由x10，得x1，Bx|x1，RBx|x1，A(RB)0，1.答案0，1，2，5x|x10，1能力提升题组15.(2018北京卷)设集合A(x，y)|xy1，axy4，xay2，则()A.对任意实数a，
13、(2，1)AB.对任意实数a，(2，1)AC.当且仅当a，所以当且仅当a时，(2，1)A，故选D.答案D16.(2020宁波模拟)已知集合M1，2，3，n(nN*)，若集合Aa1，a2M，且对任意的bM，存在，1，0，1使得baiaj，其中ai，ajA，1ij2，则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合M1，2，3，4，5，6的基底的是()A.1，5 B.3，5 C.2，3 D.2，4解析本题可直接验证排除，逐项分析如下：选项逐项分析正误A3不能被1，5表示错误B1，4不能被3，5表示错误C11213，41212，51213，61313正确D1，3，5不能被2，4表示错误故选C.答案C1
14、7.设集合A，Bx|yln(x23x)，则AB中元素的个数是_.解析由2x16，xN，x0，1，2，3，4，即A0，1，2，3，4.又x23x0，知Bx|x3或x0，AB4，即AB中只有一个元素.答案118.已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_.解析AxR|x2|3xR|5x1，由AB(1，n)可知m1，则Bx|mx恒成立，则a，结合反比例函数的单调性可得a，即实数a的取值范围为.答案20.(2019浙江新高考仿真卷二)函数f(x)x2acos xbx，非空数集Ax|f(x)0，Bx|f(f(x)0，已知AB，则参数a的所有取值构成的集合为_；参数b的所有取值构成的集合为_.解析设tA，则tB，f(t)0，则f(f(t)f(0)02acos 0b00，解得a0，即参数a的所有取值构成的集合为0.此时f(x)x2bx，当b0时，易得AB0，符合题意；当b0时，易得A0，b，则由f(f(x)0得f(x)0或f(x)x2bxb，因为b0，所以关于x的方程x2bxb的根不为x0或xb，则要使AB，有方程x2bxb没有实数解，则b24b0，解得0b4.综上所述，参数b的所有取值构成的集合为0，4).答案00，4)
