1、32.2 函数模型的应用举例内 容 标 准学 科 素 养1.会利用给定的函数模型解决实际问题2.能够建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题.提升数学运算培养数学建模01课前 自主预习02课堂 合作探究04课时 跟踪训练03课后 讨论探究基础认识知识点 函数模型的应用预习教材P101106，思考并完成以下问题(1)某商场销售一批优质衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天多售出 2 件于是商场经理决定每件衬衫降价 15 元那么经理的决定正确吗？(2)我们
2、已学过的函数有哪些？提示：正确提示：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数 知识梳理 几种常用的函数模型：一次函数模型：；反比例函数模型：ykxb，(k，b 为常数，k0)；二次函数模型：；指数型函数模型：；对数型函数模型：；幂函数模型：ykxb(k，b 为常数，k0)yax2bxc(a，b，c 为常数，a0)yabxc(a，b，c 为常数，b0 且 b1，a0)yalogbxc(a，b，c 为常数，b0 且 b1，a0)yaxc(a，c 为常数，a0)自我检测某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量 y(只)与引入时间 x(年)的关系
3、为 yalog2(x1)，若该动物在引入一年后的数量为 100 只，则第 7 年它们发展到()A300 只 B400 只C600 只D700 只解析：将 x1，y100 代入 yalog2(x1)得，100alog2(11)，解得 a100.所以 x7 时，y100log2(71)300.答案：A探究一 二次函数模型例 1 在经济学中，函数 f(x)的边际函数定义为 M(x)f(x1)f(x)，利润函数 P(x)的边际利润函数定义为 M1(x)P(x1)P(x)，某公司最多生产 100 台报警系统装置，生产 x 台的收入函数为 R(x)3 000 x20 x2(单位：元)其成本函数为 C(x)
4、500 x4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差(1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 M1(x)(2)利润函数 P(x)与边际利润函数 M1(x)是否具有相等的最大值？(3)你认为本题中边际利润函数 M1(x)取最大值的实际意义是什么？解析(1)P(x)R(x)C(x)(3 000 x20 x2)(500 x4 000)20 x22 500 x4 000(1x100，xN)M1(x)P(x1)P(x)2 48040 x，(1x100，xN)(2)P(x)20 x1252274 125当 x62 或 63 时，P(x)min74 120又M1(x)是减函数，当 x1 时 M1(x)ma
5、x2 440故 P(x)与 M1(x)不具有相等的最大值(3)边际利润函数 M1(x)当 x1 时取最大值，说明生产第 2 台与生产第 1 台的总利润差最大，即第 2 台报警系统利润最大，M1(x)是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比较，利润在减少方法技巧 利用二次函数模型解决问题的方法：在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题跟踪探究 1.某工厂生产一种机器的固定成本为 5 000 元，且每生产 100 部，需要增加投入 2 50
6、0 元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500 部，已知销售收入的函数为 H(x)500 x12x2，其中 x 是产品销售出的数量(0 x500)(1)若 x 为年产量，y 表示利润，求 yf(x)的解析式；(2)当年产量为何值时，工厂的年利润最大？其最大值是多少？(3)当年产量为何值时，工厂有盈利？(已知 21.562 64.65)解析：(1)当 0 x500 时，产品全部售出，f(x)500 x12x2(5 00025x)，即 f(x)12x2475x5 000，当 x500 时，产品只能售出 500 台，f(x)500500125002(5 00025x)，即，f(x
7、)25x120 000.(2)当 0 x500 时，f(x)12(x475)2107 812.5，当 x500 时，f(x)120 00025x5 000，475x12x25 000，整理得 x2950 x10 0000，解得 10 x940，市场需求量为每年 500 部，10 x500，故当年产量超过 10 部后，工厂有盈利探究二 分段函数模型的应用例 2 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在 30 人或 30 人以下，飞机票价格为 900 元；若旅行团人数多于 30 人，则给予优惠：每多 1 人，飞机票价格就减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止旅行团乘飞机，旅行社需
8、付给航空公司包机费 15 000 元(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解析(1)设旅行团人数为 x，飞机票价格为 y 元，则 y900，0 x30，90010 x30，30 x75，即 y900，0 x30，1 20010 x，30 x75.(2)设旅行社获利 S 元，则 S900 x15 000，0 x30，x1 20010 x15 000，30 x75.即 S900 x15 000，0 x30，10 x60221 000，30 x75.因为 S900 x15 000 在区间(0,30上，当 x30 时，S 取最大值 12 000.又 S1
9、0(x60)221 000 在区间(30,75上，当 x60 时，S 取最大值 21 000.故当 x60 时，旅行社可获得最大利润方法技巧 1.分段函数模型的应用分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间对每一个区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式需注意分段函数的最值是各区间上所得最值的最大者或最小者2应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(3)分段函数的值域求法为：先求各段函数值的范围，再求各段函数值范围的并集.跟踪探究 2.某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，
10、据监测：服药后每毫升血液中的含药量 y(g)与时间 t(h)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于 4 g 时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午 7：00，问一天中怎样安排服药时间(共 4 次)效果最佳？解析：(1)依题意得 y6t，0t1，23t203，1t10.(2)设第二次服药在第一次服药后 t1 小时，则23t1203 4，解得 t14，因而第二次服药应在 11：00.设第三次服药在第一次服药后 t2 小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有23t2203 23(t24)203 4，
11、解得 t29 小时，故第三次服药应在 16：00.设第四次服药在第一次服药后 t3 小时(t310)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和23(t34)203 23(t39)203 4，解得 t313.5 小时，故第四次服药应在 20：30.探究三 指数、对数型函数模型例 3 声强级 Y(单位：分贝)由公式 Y10lgI1012给出，其中 I 为声强(单位：W/m2)(1)平时常人交谈时的声强约为 106W/m2，求其声强级(2)一般常人能听到的最低声强级是 0 分贝，能听到的最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级 Y50 分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说
12、话的声强为 5107W/m2，这两位同学是否会影响其他同学休息？解析(1)当 I106W/m2 时，代入得 Y10lg 106101210lg 10660，即声强级为 60 分贝(2)当 Y0 时，即为 10lgI10120，所以I10121，I1012 W/m2，则能听到的最低声强为 1012 W/m2.(3)当声强 I5107W/m2 时，声强级 Y10lg51071012 10lg(5105)5010lg 550，所以这两位同学会影响其他同学休息方法技巧 指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示通常可以表示为 yN(1p)x(其
13、中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式跟踪探究 3.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过 0.1%，若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 20.301 0，lg 30.477 1)解析：设过滤 n 次能使产品达到市场要求，依题意，得 210023n11 000，即23n 120.则 n(lg 2lg 3)(1lg 2)，故 n 1lg 2lg 3lg 27.4，考虑到 nN，故 n8，即至少要过滤 8 次才能达到市场要求课后小结1解应用题要弄清题意，从实际出发，引进数学符号，建立数学模型，列出函数关系，分析函数的性质，从而解决问题解决问题时要注意自变量的取值范围2(1)解应用题的一般思路可表示如下：(2)解应用题的一般步骤：读：阅读并理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一步是基础；建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键；解：求解数学模型，得到数学结论，既要充分注意数学模型中字母的实际意义，也要注意巧思妙解，优化过程；答：将数学结论还原为实际问题的结论04课时 跟踪训练