1、四川省南充市白塔中学2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.把答案涂在答题卷上.）1. 设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】,复数在复平面内对应的点位于第一象限,选A.2. 抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可得出焦点坐标.【详解】因为可化为，所以，且焦点在轴负半轴，因此焦点坐标为故选C【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦
2、点问题，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.3. 已知函数，则( )A. B. eC. D. 1【答案】C【解析】【分析】先求导，再计算出，再求.【详解】由题得，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查导数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力，属基础题.4. 用数学归纳法证明的过程中，设，从递推到时，不等式左边为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】比较与时不等式左边的项，即可得到结果【详解】因此不等式左边为，选C.【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析判断能力，属基础题5. 中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆 有相同的焦距，一条渐近线方程为，则双曲线
3、的方程为 A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出椭圆的焦距，从而得到双曲线的焦距，再由双曲线的渐近线方程，就能求出双曲线的标准方程【详解】椭圆中，焦距双曲线与椭圆 有相同的焦距，一条渐近线方程为，设双曲线方程为，化为标准方程为当时，解得则双曲线方程为当时，解得则双曲线方程 综上，则双曲线方程为 或 故选【点睛】本题主要考查的是双曲线方程的求法，解题时要认真审题，熟练掌握双曲线和椭圆的简单性质是解题的关键6. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,且，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】设CA2，则C(0,0,0)，A(2,0
4、,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得(2,2,1)，(0,2，1)，由向量的夹角公式得cos，7. 以下不等式在时不成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对 分别构造函数，利用导数一一研究其单调性和最值，即可判断，对于取特值即可判断.【详解】对于，令，则，当，单调递增，当，单调递减，即，因此正确.对于，令，当时，恒成立，在单调递增，即，因此正确.对于，令，令，则，不满足，因此不正确.对于，令，当时，恒成立，在单调递增，即，因此正确.故选：.【点睛】本题主要考查的是利用导数研究其单调性和最值，考查学生构造函数的思想，考查计算能力，是中档
5、题.8. 设分别是椭圆（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，在轴上的截距为1，若，且轴，则此椭圆的长轴长为（ ）A. B. 3C. D. 6【答案】D【解析】轴，在轴上的截距为1，则，则 ， ， ， ，.选D .9. 设函数在上可导，其导函数为，如图是函数的图象，则的极值点是( )A. 极大值点，极小值点B. 极小值点，极大值点C. 极值点只有D. 极值点只有【答案】C【解析】结合图象，时，故时，故时，故，故在递增，在递减，故的极值点是，故选C.10. 已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（ ）（注：为自然对数的底数）A B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：方程恰
6、有两个不同实数根，y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，设切点为，切线方程为，而切线过原点，直线的斜率为，又直线与y=x+1平行，直线的斜率为，实数a的取值范围是考点：分段函数的应用11. 设点是双曲线与圆在第一象限的交点，分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】点到原点的距离为，又因为在中，所以是直角三角形，即.由双曲线定义知，又因为，所以.在中，由勾股定理得，解得.故选A.12. 若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用导数研究函数在上的单调性，当时
7、，在上为增函数，且，即可判断其没有零点，不符合条件；当时，在上先减后增，有最小值且小于零，再结合幂函数和对数函数的增长速度大小关系，即可判断当趋于时，趋于，由零点存在性定理即可判断其必有零点，符合题意，从而确定的范围.【详解】因为函数，所以令，因为，当 时，所以所以在上为增函数，则，当时，所以，所以在上为增函数，则，所以在上没有零点.当时，即，因为在上为增函数，则存在唯一的，使得，且当时，当时，；所以当时，为减函数，当时，为增函数，当时，因为，当趋于时，趋于，所以在内，一定存在一个零点.所以，故答案选D.【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，属于难题.对于零点存在性问题，有两
8、种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.）13. _【答案】4【解析】 ，故答案为.14. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式有_.【答案】36【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：先将4项工作分成3组，再将分好的三组全排列，对应3名志愿者，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.【详
9、解】解：根据题意，先将4项工作分成3组，有种分组方法，将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有种情况，则有6636种不同的安排方式.故答案为：36.【点睛】本题考查分组分配问题，注意题目中“每人至少完成1项，每项工作由1人完成”的要求.15. 已知抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 【答案】.【解析】试题分析：抛物线焦点，由题意，且并被轴平分，所以点在双曲线上，得，即，即，所以，故. 故应填.考点：抛物线；双曲线.16. 定义在R上函数f(x)满足+1, ,则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为_.【答案】【解析】【分析】构造函数，根
10、据，利用导数研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，利用单调性转化不等式，从而可得结果.【详解】设，则，在定义域上单调递增，又，即不等式的解集为，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.三、解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分.在答题卷上解答，解答应写出文字
11、说明，证明过程或演算步骤.）17. （1）设为虚数单位，若复数是纯虚数，求实数的取值范围；（2）已知（是虚数单位）是关于的方程的根，、，求的值.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）由纯虚数的定义，实部为零，虚部不为零可得方程组，解出即可；（2）将代入方程，然后利用复数相等列方程组求解即可.【详解】（1）由已知得，解得；（2）由已知得，解得，.【点睛】本题考查复数的有关概念，考查复数相等，是基础题.18. 已知函数，曲线在处的切线方程为.（）求实数，的值；（）求在区间上的最值.【答案】（）最大值为，最小值为.（）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（）切点在函数上，也在切线方程为上，
12、得到一个式子，切线的斜率等于曲线在的导数，得到另外一个式子，联立可求实数，的值；（）函数在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值.【详解】解：（），曲线在处切线方程为，解得，.（）由（）知，则，令，解得，在上单调递减，在上单调递增，又，在区间上最大值为，最小值为.【点睛】本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.19. 设椭圆：的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）6.【解析】【分析】(1)首先可根据题意
13、得出，然后根据得出，最后通过计算出的值并写出椭圆方程；(2)首先可以设、，然后根据直线过点设出直线方程，再然后联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理得出以及，再然后结合题意得出四边形是平行四边形以及其面积，最后通过计算即可得出结果.【详解】(1)因为椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4，所以，因为，所以，所以椭圆C方程为.(2)设，因为直线过点，所以可设直线方程为，联立方程，消去可得：，化简整理得，其中，因为，所以四边形是平行四边形，设平面四边形的面积为，则，设，则，所以，因为，所以，所以四边形面积的最大值为6.【点睛】本题考查椭圆的方程的求法以及直线与椭圆相交的相关问题，可利用椭圆的、三者
14、之间的联系求椭圆方程，考查韦达定理的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，是难题.20. 如图，四棱柱中，底面是矩形，且，若为的中点，且（）求证：平面；（）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析【解析】试题分析：（）由已知得为等边三角形，再由，能证明平面ABCD（）过O作OxAB，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出当BP的长为时，二面角的值为试题解析：（）证明：，且，为等边三角形为的中点，又，且，平面（）解：过作，以为原点，建立空间直角坐标系（如图）则，设，平面的法向量为，且，取
15、，得平面的一个法向量为由题意得，解得或（舍去），当的长为时，二面角的值为.考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定21. 已知椭圆 离心率等于，、是椭圆上的两点.（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上位于直线两侧的动点.当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）定点【解析】【分析】（1）由题意列式关于a，b，c的方程组，求解可得a，b的值，则椭圆C的方程可求；（2）设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k，PA的直线方程为y3k（x2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关
16、系利用弦长公式即可求得x1+2，同理PB的直线方程为y3k（x2），可得x2+2，从而得出AB的斜率为定值【详解】解：（1）由题意可得，解得a4，b，c2椭圆C的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当APQBPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k，直线PA的直线方程为y3k（x2），联立，得（3+4k2）x2+8k（32k）x+4（32k）2480同理直线PB的直线方程为y3k（x2），可得， ，AB的斜率为定值【点睛】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是
17、中档题22. 已知函数.（）当时，求的单调区间；（）设函数，当时，若是的唯一极值点，求.【答案】（）的单调递增区间为，单调递减区间.（）【解析】【分析】（）当时，定义域为，令，解得即可得出单调性（）由题意可得：，求出导函数由于是的唯一极值点，则有以下两种情形：情形一：对恒成立情形二：对恒成立设，对分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【详解】解：（），当时，定义域，令，得.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.综上，的单调递增区间为，单调递减区间.（）由题意，由于是的唯一极值点，则有以下两种情形：（1）对任意恒成立；（2）对任意恒成立；设，且有，当时，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；所以对任意的恒成立，符合题意.当时，在单调递增.又，所以存在，使得，当时，在上单调递增，所以，这与题意不符，故.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题