1、专项六 函数导数与不等式考点2 导数中恒(能)成立问题大题 拆解技巧【母题】(2021年天津卷)已知a0,函数f(x)=ax-xex.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)证明f(x)存在唯一极值点;(3)若存在a,使得f(x)a+b对于任意xR成立,求实数b的取值范围.【拆解1】已知a0,函数f(x)=ax-xex.求函数y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程.【拆解2】已知条件不变,证明f(x)存在唯一极值点.【拆解3】已知条件不变,若存在a,使得f(x)a+b对于任意xR成立,求实数b的取值范围.小做 变式训练已知函数f(x)=2xln x+x2-ax+1.(
2、1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若存在x01e,e,使不等式f(x0)-2成立,求实数a的取值范围.【拆解1】已知函数f(x)=2xln x+x2-ax+1.当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.【拆解2】若x1e,e,求函数h(x)=2ln x+x+3x的最大值.【拆解3】已知条件不变,若存在x01e,e,使不等式f(x0)-2成立,求实数a的取值范围.技巧归纳恒(能)成立问题的转化策略:若f(x)在区间D上有最值,则(1)恒成立:xD,f(x)0f(x)min0;xD,f(x)0f(x)max0f(x)max0;xD,f(x)
3、0f(x)min0.突破 实战训练1.已知函数f(x)=m(x-2)-ln(x-1).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当x2时,f(x)m(x-2)2恒成立,求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)=aex-2(a+1).(1)讨论函数g(x)=f(x)-2x的单调性;(2)若不等式f(x)+a+1x0(a0)在x(0,+)上恒成立,求实数a的取值范围.3.在数学中,双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数,ch x=ex+e-x2称为双曲余弦函数.(1)若对于任意xR,不等式ch 2xmch x-3恒成立,求实数m的最大值;(2)若a0,存在x1,x21,+),使得2ch x1a(-x
4、22+4x2-2)成立,试比较a-1与(e-1)ln a的大小,并证明你的结论.4.已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+aln x(aR).(1)若f(x)在区间1,2上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)函数g(x)=(1-a)x,若x01,e使得f(x0)g(x0)成立,求实数a的取值范围.5.已知函数f(x)=ax2+bx+1ex.(1)当a=b=1时,求函数f(x)的极值;(2)若f(1)=1,且方程f(x)=1在区间(0,1)内有解,求实数a的取值范围.6.已知函数f(x)=4x2-4x+mln(2x),其中m为大于零的常数.(1)讨论y=f(x)的单调区间;(2)若y=f(x)存在两个极值点x1,x2(x1x2),且不等式f(x1)ax2恒成立,求实数a的取值范围.7.已知函数f(x)=x2+ax+2+ln x(aR).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)ex恒成立,求a的最大值.8.已知函数f(x)=x-ln x+2x.(1)求f(x)的最小值;(2)若存在区间a,b12,+),使g(x)=xf(x)在a,b上的值域为k(a+2),k(b+2),求实数k的取值范围.
