1、第一节 直线的方程第一节 直线的方程 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1直线的倾斜角(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着_按_方向旋转到和直线重合时所转的_记为，那么就叫做直线的倾斜角(2)当直线与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角_.(3)倾斜角的取值范围是_交点逆时针角00，180)2直线的斜率倾斜角不是_的直线，它的倾斜角 的_叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用 k 表示，即k_.当 0，2 时，k_；当 2时，直线 的 斜 率 _；当 2，时，k _90正切值tan0，)不存在(，0)3直线的斜率公式过两点
2、 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率公式k_(x1x2)y2y1x2x1思考感悟直线的倾斜角与斜率是一一对应的吗？提示：不是若倾斜角是90时，该直线的斜率不存在4直线方程的五种形式名称方程的形式适用范围点斜式_不能表示垂直于 x 轴的直线斜截式_不能表示垂直于 x 轴的直线两点式_不能表示垂直于 x 轴和 y 轴的直线yy0k(xx0)ykxbyy1y2y1 xx1x2x1xayb1AxByC0(A2B20)名称 方程的形式 适用范围 截距式 _ 不能表示垂直于x轴和y轴以及过原点的直线 一般式 _无限制，可表示任意位置的直线 1已知两点 A(3，3)，B(3，1)，则直线 A
3、B 的斜率是_2(2011 年南京调研)直线 x 3y10的倾斜角是_答案：33答案：150课前热身3若方程AxByC0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是_.答案：A0，B04若A(a,2)，B(3,7)，C(2，9a)三点在同一条直线上，则a的值为_答案：2 或29考点探究挑战高考 考点突破 直线的倾斜角与斜率 1理解倾斜角的概念要注意两点：(1)逆时针；(2)所成的最小正角 2斜率k与倾斜角之间关系的图象ktan(0，2)(2，)已知直线l经过点P(1,1)，且与线段MN相交，且点M、N的坐标分别是(2，3)，(3，2)(1)求直线PM与PN的斜率；(2)求直
4、线l的斜率k的取值范围例1【思路分析】已知坐标 直线PM、PN的斜率 数形结合 直线l的斜率k的取值范围【解】(1)由题意与斜率公式可知，直线PM与PN的斜率分别为：kPM3121 4，kPN213134.(2)由图可知，直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k4或 k34.【名师点评】(1)当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时可直接利用斜率公式求解，应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不等，再代入斜率公式求解(2)在解决(2)时，一般是设想直线l绕点P旋转，考查这时直线l的斜率的变化规律当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与
5、x轴垂直时，斜率由0逐渐增大到(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐减小至(即斜率不存在)具体到(2)题这类问题时，不但要注意kPM与kPN这两个关键的数据，还要注意斜率是如何变化的变式训练1 已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围解：如图，由题意可知 kPA 40311，kPB20311，(1)要使 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k1，或 k1.(2)由题意可知直线 l 的倾斜角介于直线 PB与 PA的倾斜角之间，又 PB的倾斜
6、角是 45，PA 的倾斜角是 135.的取值范围是45，135在求直线方程时，应选择恰当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件ABC的三个顶点为A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边上的垂直平分线DE的方程【思路分析】给所给条件选择恰当的直线方程求解求直线方程 例2【解】(1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和C(2,3)两点，由两点式得 BC 的方程为y131 x222，即 x2y40.(2)设 BC 中点 D 的坐标(x，y)，则 x222 0，y132 2.BC 边的中线 AD 过点 A(3,0)，
7、D(0,2)两点，由截距式得 AD 所在直线方程为 x3y21，即 2x3y60.(3)BC 的斜率 k112，则 BC 的垂直平分线DE 的斜率 k22，由斜截式得直线 DE 的方程为 y2x2.【名师点评】在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，常用截距式或两点式在求直线方程的过程中，确定了类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况(如斜率不
8、存在、截距为零等)的讨论，以免漏解利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式直线方程的综合应用 直线l经过点P(3,2)且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，OAB的面积为12，求直线l的方程【思路分析】题中OAB的面积与截距有关，自然联想到直线方程的截距式例3【解】法一：设直线 l 的方程为xayb1(a0，b0)，A(a,0)，B(0，b)，ab24，3a2b1.解得a6，b4.所求的直线方程为x6y41，即 2x3y120.法二：设直线 l 的方程为 y2k(x3)，令y0，得直线 l 在 x 轴上的截距 a
9、32k，令x0，得直线 l 在 y 轴上的截距 b23k，(32k)(23k)24，解得 k23，所求直线方程为 y223(x3)，即 2x3y120.【名师点评】确定直线方程基本可分为两个类型：一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，写出方程，此法称直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含参数或待定系数)，再确定参数值，然后写出方程，这种方法称为间接法变式训练2 如果直线l经过点P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形面积为S.当S4时，这样的直线l有多少条？解：设直线方程为xayb1，因为直线经过点 P(2,1)，故有2a1b1，b aa2.当
10、S4 时，S12|ab 12a aa2 4，有 a2a28，即 a28a160 或 a28a160.前一个方程 0，有两个相等的解；后一个方程 0，有两个不相等的解所以这样的直线共有三条方法技巧方法感悟1要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：ky2y1x2x1(x1x2)，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率当 x1x2，y1y2 时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为 90.2求斜率可用 ktan(90)，其中 为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”3求
11、直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法失误防范1直线都有倾斜角，但不一定有斜率(当直线与 x轴垂直时，即倾斜角为2时，斜率不存在)2在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的 m 倍(m0)”等时，采用截距式就会丢掉“零截距”，从而丢解此时最好采用点斜式或斜截式求解3在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解如在求过圆外一点的圆的切线方程或讨论直线与圆锥曲线的位置关系，或讨论两直线的平行、垂直
12、的位置关系时，一般要分直线有、无斜率两种情况进行讨论考向瞭望把脉高考 考情分析 通过对近几年江苏高考试题的统计分析可以看出，直线方程在高考中多以中低档题出现，主要考查基础知识和基本方法，同时鉴于它的基础性和工具性，又容易和其他知识联系和交叉，如与向量、圆锥曲线、函数、不等式等的综合考查对此部分内容的考查有两个方面：一是以填空题形式考查直线倾斜角、斜率、直线方程等基本知识；二是以解答题形式考查直线与圆、椭圆、抛物线、双曲线的相切和相交弦问题，有一定难度，一般是高考压轴题预测在2012年的江苏高考中，直线方程应与其他知识结合进行考查主要考查直线的斜率、方程等问题(2008 年高考江苏卷)如图，在平
13、面直角坐标系xOy 中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0，a)、B(b,0)、C(c,0)，点 P(0，p)为线段 AO 上的一点(异于端点)，设 a、b、c、p 为非零常数，直线 BP、CP 分别与边AC、AB 交于点 E、F.某同学已正确求得直线 OE 的方程：(1b1c)x(1p1a)y0，请你完成直线 OF 的方程：(_)x(1p1a)y0.真题透析例【解析】由截距式可得直线 AB：xbya1，直线 CP：xcyp1，两式相减得(1c1b)x(1p1a)y0，显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程，又原点 O 也满足此方程，故为所求直线 OF 的方程【名师点评】本考题考
14、查直线方程的求法及分析，处理问题的能力，求解时要注意设而不求思想的应用【答案】1c1b1等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x7y40和xy20，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为_名师预测答案：3解析：设底边所在直线的斜率为 k，由等腰三角形的底角相等及到角公式得1k1k k17117k，解得 k13(舍)或 k3.2若直线(2m2m3)x(m2m)y4m1在x轴上的截距为1，则实数m是_解析：当 2m2m30 时，在 x 轴上的截距为4m12m2m31，即 2m23m20，m2 或 m12.答案：2 或123设直线3x4y50的倾斜角为，则该直线关于直线xm(mR)对称的直线的倾斜角等于_解析：结合图形可知，故.答案：4直线3x4yk0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k_.解析：令 x0，得 yk4；令 y0，得 xk3，则有k4k32，k24.答案：24 本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
