1、考点规范练25平面向量基本定理及坐标表示一、非标准1.已知点A(-1,5)和向量a=(2,3),若=3a,则点B的坐标为()A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14)2.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若为实数,(a+b)c,则=()A.B.C.1D.23.在正方形ABCD中,已知A(0,1),B(1,1),D(0,2),则=()A.(0,1)B.(-1,0)C.(-1,-1)D.(1,1)4.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且|=2|,则点P的坐标为()A.(3,1)B.(1,-1)C.(3,1)或(1,-1)D.无数多个5.已知
2、向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),则|=.6.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.7.在ABC中,a,b,c分别是A,B,C所对的边,且3a+4b+5c=0,则abc=.8.已知a=(1,2),b=(-3,2),是否存在实数k,使得ka+b与a-3b共线,且方向相反?9.已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2),B(5,7),C(-3,4),求第四个顶点D的坐标. 10.(2022辽宁沈阳模拟)设O在ABC的内部,且有+2+3=0,则ABC的面积和AOC的面积之比为()A.3B.C.2D.11.已知梯形ABCD,其中AB
3、CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为.12.已知=a,=b,=c,=d,=e,设tR,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),那么t为何值时,C,D,E三点在一条直线上?13.如图,已知ABC的面积为14,D,E分别为边AB,BC上的点,且ADDB=BEEC=21,AE与CD交于点P.设存在和,使=a,=b.(1)求及;(2)用a,b表示;(3)求PAC的面积.#一、非标准1.D解析:设点B的坐标为(x,y),则=(x+1,y-5).由=3a,得解得2.A解析:由于a+b=(1+,2),故(a+b)c4(1+)-6=0,解得=,故选A.3.D
4、解析:由正方形ABCD的性质知,故=(1,0),=(0,1)+(1,0)=(1,1).4.C解析:设P(x,y),则由|=2|,得=2=-2=(2,2),=(x-2,y),即(2,2)=2(x-2,y),x=3,y=1,P(3,1),或(2,2)=-2(x-2,y),x=1,y=-1,P(1,-1).5.解析:|b|=,由a+b=0,得b=-a,故|b|=|-a|=|a|,所以|=.6.(-1,1)或(-3,1)解析:由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或(-1,0),则a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1),或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).7.2015
5、12解析:3a+4b+5c=0,3a()+4b+5c=0.(3a-5c)+(3a-4b)=0.在ABC中,不共线,解得abc=aaa=201512.8.解:假设存在实数k,则ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2).a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).若向量ka+b与向量a-3b共线,则必有(k-3)(-4)-(2k+2)10=0,解得k=-.这时ka+b=,所以ka+b=-(a-3b).即两个向量恰好方向相反,故题设的实数k存在.9.解:设顶点D(x,y).若平行四边形为ABCD,则由=(1,5),=(-3-x,4-y),得所以若平行四边形为ACBD,则由
6、=(-7,2),=(5-x,7-y),得所以若平行四边形为ABDC,则由=(1,5),=(x+3,y-4),得所以综上所述,第四个顶点D的坐标为(-4,-1)或(12,5)或(-2,9).10.A解析:设AC,BC的中点分别为M,N,则已知条件可化为()+2()=0,即+2=0,所以=-2.说明M,O,N共线,即O为中位线MN上的三等分点,SAOC=SANC=SABC=SABC,所以=3.11.(2,4)解析:在梯形ABCD中,DC=2AB,=2.设点D的坐标为(x,y),则=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y),=(2,1)-(1,2)=(1,-1),(4-x,2-y)=2(1,-1)
7、,即(4-x,2-y)=(2,-2),解得故点D的坐标为(2,4).12.解:由题设,知=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.若a,b共线,则t可为任意实数;若a,b不共线,则有解之得t=.综上,可知a,b共线时,t可为任意实数;a,b不共线时,t=.13.解:(1)由于=a,=b,则=a+b,a+b.=,=,即a+=.解得=,=.(2)=-a+=-a+b.(3)设ABC,PAB,PBC的高分别为h,h1,h2,h1h=|=,SPAB=SABC=8.h2h=|=1-=,SPBC=SABC=2,SPAC=4.
