1、高考资源网（ ），您身边的高考专家高三理科班数学附加题速成教材4（一）基础知识 计数原理与概率、统计1. 计数原理：如：将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答：）；如：用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（答：480）；2.排列组合数公式:, .，如：满足的 （8）；,. ；. 3.二项式定理：，各系数就是组合数，叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项.某项“加数”的指数该项的“项数减去1的差”，也可看成组合数的上标. 注意： 第r1项二项式系数与第r1项系数的区别. 二项式展开式
2、中二项式系数(组合数)的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）直线是图象的对称轴；（2）增减性与最大值： （3）各二项式系数和： 4离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，叫做离散型随机变量。（1）离散性随机变量的分布列：设离散型随机变量可能取得值为： X1，X2，X3，取每一个值Xi（I=1，2，）的概率为P（，则称表为随机变量的概率分布，简称的分布列。（2）性质：)；P1+P2+=1。5.随机变量的均值和方差：（1）随机变量的期望：；反映随机变量取值的平均水平。（2）离散型随机变量的方差：；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度
3、。基本性质：；。6几种特殊的分布列：（1）两点分布：一个随机试验，结果只两种情况，则可用随机变量如：设某项试验成功率是失败率2倍，用随机变量描述一次该项试验成功次数，则等于 ：1-=2，即=。（2）超几何分布:在含有M件次品的N件产品中，任取n件，恰有X件次品，则 ，称为超几何分布列， 称服从几何分布，；如：盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则抽出1个白球和2个红球概率是 解析：。也可设抽到白球数为X，XH（3，4，9），（3）二项分布（独立重复试验）：如果我们设在每次试验中成功的概率都为P，则在n次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用来表示，则服从二项分布则在n次试验中恰好成
4、功k次的概率为：记是n次独立重复试验某事件发生的次数，则B（n，p）；其概率。如：小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是_（答：）7标准正态分布：密度函数：记作（0，1）；公式：, .（二）基本计算1排列组合主要解题方法：优先法：特殊元素优先或特殊位置优先；如：四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。恰有两个空盒的放法有_种甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有_种（84；96）捆绑法(相邻问题)；如：某人射击枪，命中枪，枪命中中恰好有枪连在一起的情况的不同种数为_（答：20）插空法（不相邻问题）；如：某班新年联欢晚会
5、原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_（答：42）相同元素分组可采用隔板法（适用与指标分配，每部分至少有一个）；如：某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成组问题别忘除以.涂色问题(先分步考虑至某一步时再分类).如：4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_种（答：37440）
6、如：从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有多少个(用数字作答)？解 “5”类型的有4A16个；“0”类型的有A20，共36个；如：9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，选拨的方法有_种（90）2求二项式展开式的特定项：通项公式法步骤：1)找通项第k+1项的通项公式是Tk+1=Cnkan-kbk；2）利用同底数幂性质化简；3）取k=0，1，2，。n等等；当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无
7、理式。如：（2006年广东卷）在的展开式中，的系数为 -1320；如：展开式中的常数项是 ; 计算；如：求有理项有 项；提示： ； 的展开式中，项的系数是： 的来源有：第一因式取，则第二因式必出，系数；第一因式取1，则第二因式必出，其系数为；1008;3.二项式系数最大：n偶数,n+1是奇数，二项式系数为；n奇数,n+1是偶数,二项式系数最大为；项的系数最大：求出k的取值范围；如：在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为_（答：426）；如：在的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则_（答：17,18或19）注意：二项式展开式中区分“二项式系数、项的系数”，寻求其中项的系数的最大值是将相邻两
8、项的系数构建不等式进行.4.二项式的应用：主要是进行应用其前几项近似计算、整除性计算或证明、应用其首尾几项进行放缩：1）求“奇次(数)项”“偶次(数)项”的系数和：“赋值法”展开式中各项的系数和，只需要将变元值令为1,算出值即；通项法；.如奇(偶)次项系数和().2）证明整除性：求数的末位；数的整除性及求系数；简单多项式的整除问题。被4除所得的余数为_0；4）放缩法证明不等式; 求证： 5.求随机变量、等：如：袋中有10个球，其中7个红球，3个白球，任意取出3个，则其中所含白球的个数是 ；0，1，2，3；如：设随机变量X等可能的取值1，2，3，n，如果，那么n=6.离散性随机变量的分布列步骤：
9、（1）设离散型随机变量可能取得值为： X1，X2，X3，；（2）计算取每一个值Xi（I=1，2，）的概率为P（；（3）列表；如：一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球,采取不放回抽样方式，从中摸出两个小球，求摸得白球的个数的分布列.答案：设摸得白球的个数为x，则x可能取0，1，2. 表略7求期望和方差：1）；2）；。8.（1）两点分布：如果甲结果发生的概率为P，则乙结果发生的概率必定为1P，均值为E=p，方差为D=p（1p）。（2）超几何分布: 则，D =其中q=1-p.如：已知10件产品中有2件是次品.任意取出4件产品作检验，求其中恰有1件是次品的概率. 取出4件产品中有X件是次品，则X
10、H(4,2,10)P(X=k)=,k=0,1,2.P(X=1)= 如：在含有5件次品的100件产品中，任取3件，则取到的次品数X的分布列为 ；答案：。解析：XH（3，5，100）（3）二项分布（独立重复试验）B（n，p）；其概率。期望E=np，方差D=npq。如：一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，用X表示取球的次数，则 。答案：;如：设随机变量XB(2,P)，YB(3,P），若,则P（Y=2）= .典型例题：1图1中从A到B接通时，有多少条不同的线路？图2中从A到B接通，有多少条不同的线路？1234图2AB132BA图
11、1解 2317种；(221)(221)9种2.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1和2不相邻的五位数有_个.解 有AA = 72.3某小组共有13人，其中男生8人，女生5人，从中选出3人，要求至多有2名男生，则不同的选法共有多少种？解 CC2304在(x a)10的展开式中,含x7项的系数是15,则实数a = _解 Cx7(a)3 = ( a)3C = 15,解得a = .5已知C9n1C9nC92C9是11的倍数(nN)，求n的集合解 原式10n11(111)n11，正奇数6若C = C(nN*),且(2 x)n = a0 + a1x + a2x2 + + anxn,则a0 a1
12、 + a2 + ( 1)nan = _.解 由 C = C解得n = 4,取x = 1代入(2 x)4 = a0 + a1x + a2x2 + + a4x4,可得a0 a1 + a2 + ( 1)nan = 81.7 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖某顾客从此10张券中任抽2张，求： （1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值Y(元)的概率分布表解（1）顾客中奖的概率P；（）该顾客获得的奖品总价值Y 的概率分布如表：Y（元）16121060P答：略说明 考查古典概型基础上的离散型随机变
13、量及其分布列8在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，（1）至少有2天预报准确的概率是多少？（2）至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？解（1）至少有2天预报准确的概率即为恰有2天和恰有3天预报准确的概率，即C0.820.2+C0.83=0.896所以至少有2天预报准确的概率为0.896（2）至少有一个连续2天预报准确，即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确的概率为20.820.2+0.83=0.768所以至少有一个连续2天预报准确的概率为0.7689某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加
14、两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的概率分布和期望解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)0.6，P(B)0.75(1)解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是：P1P()P()P()0.40.250.1，所以该人参加过培训的概率是P21P110.10.9解法二：任选1名下岗人
15、员，该人只参加过一项培训的概率是：P3P(A)P(B)0.60.250.40.750.45，该人参加过两项培训的概率是P4P(AB)0.60.750.45，所以该人参加过培训的概率是P5P3P40.450.450.9(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布B(3，0.9)，P(Xk)C0.9k0.13k，k0，1，2，3，即X的概率分布如表：X0123P0.0010.0270. 2430.729X的期望是E(X)10.02720.24330.7292.7答：略说明 考查相互独立事件同时发生的概率，n次独立重复试验的模型及二项分布10从某批产品中，有放回地抽取
16、产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)0.96（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的概率分布解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”， A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”则A0，A1互斥，且AA0A1故P(A)P(A0A1)P(A0)P(A1)(1p)2Cp(1p)1p2于是0.961p2解得p10.2，p20.2（舍去）（2）X的可能取值为0，1，2若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220件，故P(X0
17、)，P(X1)，P(X2)所以X的概率分布如表X012P答：略说明 考查n次独立重复试验的模型，离散型随机变量的分布列11某批产品成箱包装，每箱5件一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品（）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；（）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率解：（）可能的取值为0，1，2，3P(0)，P(1)，P(2)，P(3)的分布列为0123P数学期望为E1.2()所求的概率为pP(2)P(2)P(3)欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。