1、高三数学第二轮专题复习系列(9)立体几何一、考纲要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系(特别是平行和垂直关系)以及它们所成的角与距离的概念.2.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.3.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题.4.会用斜二侧的画法画水平放置的平面图形(特别是正三角形、正四边形、正五边形、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系.5.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题.二、知识结构1.空间多边形不在同一平面内的若
2、干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线.若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折线.若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做这空间多边形平面，平面是一个不定义的概念，几何里的平面是无限伸展的.平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母、或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A，B，C，表示点，小写字母，a,b,c,l,m,n,表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：Al点A在直线l上；A点A不在平面内；l直线l在平面内；a直线a不在平面内；l
3、m=A直线l与直线m相交于A点；l=A平面与直线l交于A点；=l平面与平面相交于直线l.2.平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.直接证法3.证题方法 反证法证题方法 间接证法 同一法4.空间线面的位置关系 平行没有公共点 共面(1)直线与
4、直线 相交有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内有无数个公共点(2)直线和平面 直线不在平面内 平行没有公共点 (直线在平面外) 相交有且只有一个公共点 相交有一条公共直线(无数个公共点)(3)平面与平面 平行没有公共点5.异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.6.线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a,a，=b,则ab.平行于同一
5、直线的两直线平行，即若ab,bc,则ac.垂直于同一平面的两直线平行，即若a，b，则ab两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若,=b,则ab如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若=b,a,a，则ab.(2)两直线垂直的判定定义：若两直线成90角，则这两直线互相垂直.一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若bc,ab,则ac一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a,b，ab.三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.如果一条直线与一个平面平行，那么这
6、条直线与这个平面的垂线垂直.即若a,b,则ab.三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若,，,且=a,=b,=c，则ab,bc,ca.(3)直线与平面平行的判定定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a,b，ab,则a.两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若,l，则l.如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若,l，l，则l.在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A，B，A、B在同侧，且A、B
7、到等距，则AB.两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若,a，a，a，则.如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a,b，ba，则b.如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若ab,a,b(或b)(4)直线与平面垂直的判定定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m，n，mn=B,lm,ln,则l.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若la,a,
8、则l.一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若,l，则l.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若,a=，l，la,则l.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若,且a=,则a.(5)两平面平行的判定定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b，ab=P,a,b,则.垂直于同一直线的两平面平行.即若a,a,则.平行于同一平面的两平面平行.即若,则.一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，
9、则这两个平面平行，即若a,b,c,d,ab=P,ac,bd,则.(6)两平面垂直的判定定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角a=90.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l,l，则.一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若，则.7.直线在平面内的判定(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若,A，AB，则AB.(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若
10、Aa,ab，A,b，则a.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若P，P，Pa,a，则a.(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a,A，Ab,ba,则b.8.存在性和唯一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而
11、与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.9.射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质从
12、平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.10.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线aa,bb,则a和b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：090.(3)求解方法根据定义，通过平移，找到异
13、面直线所成的角；解含有的三角形，求出角的大小.11.直线和平面所成的角(1)定义 和平面所成的角有三种：(i)垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0的角.(2)取值范围090(3)求解方法作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角.解含的三角形，求出其大小.最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.12.二面角
14、及二面角的平面角(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角的取值范围是0180(3)二面角的平面角以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，PCD是二面角-AB-的平面角.平面角PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂
15、直于它的平面角所在的平面，即AB平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD，平面PCD.找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(iii)三垂线法()根据特殊图形的性质(4)求二面角大小的常见方法先找(或作)出二面角的平面角，再通过解三角形求得的值.利用面积射影定理S=Scos其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，为二面角的大小.利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小
16、.13.空间的各种距离点到平面的距离(1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.(2)求点面距离常用的方法：1)直接利用定义求找到(或作出)表示距离的线段；抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3)体积法其步骤是：在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；由V=Sh，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4)转化法将点到平面的距离转化为(
17、平行)直线与平面的距离来求.14.直线和平面的距离(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.(2)求线面距离常用的方法直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.15.平行平面的距离(1)定义 个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.(2)求平行平面距离常用的方法直接利用定义求证(或连或作)某
18、线段为距离，然后通过解三角形计算之.把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.16.异面直线的距离(1)定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.(2)求两条异面直线的距离常用的方法定义法 题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.转化法 为以下两种形式：线面距离面面距离等体积法最值法射影法公式法直线与平
19、面【例题】【例1】 正三棱锥P-ABC的高和底面边长都等于a，EF是PA与BC的公垂线，E、F分别是垂足。（1）求证：侧棱PA截面BEC （2）求截面BEC的面积；（3）求截面BEC与底面ABC所成二面角的大小解：1）略2）易知F为BC的中点，在RtPAO中，AO=，PO=a，所以PA=，又易知PABE，在等腰三角形PAB中，可求得BE=，所以在直角三角形EFB中，求得EF=，所以3）EFA=300【例2】 已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直.(1)求证：AB1C1D1；
20、(2)求证：AB1面A1CD；(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角.解：(1)证明：A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，C1D1A1B1于D1，又平面A1ABB1平面A1B1C1，C1D1平面A1B1BA，而AB1平面A1ABB1，AB1C1D1.(2)证明：连结D1D，D是AB中点，DD1CC1，C1D1CD，由(1)得CDAB1，又C1D1平面A1ABB1，C1BAB1，由三垂线定理得BD1AB1，又A1DD1B，AB1A1D而CDA1D=D，AB1平面A1CD.(3)解：由(2)AB1平面A1CD于O，连结CO1得ACO为直线AC与平面A1CD所成的角，AB1=3，
21、AC=A1C1=2，AO=1，sinOCA=，OCA=.【例3】 两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM=FN，求证：MN平面BCE.证法一：作MPBC，NQBE，P、Q为垂足，则MPAB，NQAB.MPNQ，又AM=NF，AC=BF，MC=NB，MCP=NBQ=45RtMCPRtNBQMP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形MNPQPQ平面BCE，MN在平面BCE外，MN平面BCE. 证法二：如图过M作MHAB于H，则MHBC，连结NH，由BF=AC，FN=AM，得,由MN平面BCE.【例4】 在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC
22、，侧面BB1C1C底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：ADCC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C；(3)AM=MA1是截面MBC1平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由.解： (1)证明：AB=AC，D是BC的中点，ADBC底面ABC平面BB1C1C，AD侧面BB1C1CADCC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1NAM=MA1，NA1=A1B1A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1C1NC1B1底面NB1C1侧面BB1C1C，C1N侧面BB1C1C截面C1NB侧面BB1C1C截面M
23、BC1侧面BB1C1C.(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.过M作MEBC1于E，截面MBC1侧面BB1C1CME侧面BB1C1C，又AD侧面BB1C1C.MEAD，M、E、D、A共面AM侧面BB1C1C，AMDECC1AM，DECC1D是BC的中点，E是BC1的中点AM=DE=AA1，AM=MA1.【例5】 已知斜三棱柱ABC-ABC的底面是直角三角形，C=90，侧棱与底面所成的角为（090），B在底面上的射影D落在BC上。（1）求证：AC面BBCC。（2）当为何值时，ABBC，且使得D恰为BC的中点。解：（1） BD面ABC，AC面ABC， BDAC，又ACBC，B
24、CBD=D， AC面BBCC。（2）由三垂线定理知道：要使ABBC，需且只需AB在面BBCC内的射影BCBC。即四边形BBCC为菱形。此时，BC=BB。因为BD面ABC，所以，就是侧棱BB与底面ABC所成的角。由D恰好落在BC上，且为BC的中点，所以，此时=。即当=时，ABBC，且使得D恰为BC的中点。【例6】 如图：已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC底面ABCD，E为PC中点。（1）求证：平面EDB平面PBC；（2）求二面角的平面角的正切值。解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。首先观察图中已有的直线，不难发现
25、，由于侧面PDC为正三角形，所以，那么我们自然想到：是否有？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。 面PDC底面ABCD，交线为DC， DE在平面ABCD内的射影就是DC。在正方形ABCD中，DCCB， DECB。又， DE。又面EDB， 平面EDB平面PBC。（2）由（1）的证明可知：DE。所以，就是二面角的平面角。 面PDC底面ABCD，交线为DC，又平面ABCD内的直线CB DC。 CB面PDC。又面PDC， CBPC。在Rt中，。【例7】 如图：在四棱锥中，平面，为的中点。（1）求证：平面；（2）当点到平面的距离为多少时，平面与平面所成的二面角为？解：题目中涉及到平面与平面所
26、成的二面角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面角的棱）。另一方面，要证平面，应该设法证明CE平行于面内的一条直线，充分利用中点（中位线）的性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。（1）延长BC、AD交于点F。在中，所以，AB、CD都与AF垂直，所以，CD/AB，所以，。又，所以，点D、C分别为线段AF、BF的中点。又因为为的中点，所以，EC为的中位线，所以，EC/SF。又，所以，平面。（2）因为：平面，AB平面，所以，AB。又ABAF，所以，AB面。过A作AHSF于H，连BH，则BHSF，所以，就是平面与平面所成的二面角的平面角。在Rt中，要使=，需且只需AH=AB=。此时，在SA
27、F中，所以，。在三棱锥S-ACD中，设点A到面SCD的距离为h，则h=因为AB/DC，所以，AB/面SCD。所以，点A、B到面SCD的距离相等。又因为E为SB中点，所以，点E到平面SCD的距离就等于点B到面SCD距离的一半，即。【例8】 如图，在三棱柱中，四边形是菱形,四边形是矩形,。（1）求证：平面；（2）若，求AC与平面BCC所成角的大小（用反三角函数表示）解：（1）证明：在三棱柱中，CBAB；又CB；（2）解：由过点A作AH平面，H为垂足，则H在上，连结连接可知因此，直线与平面所成的角是。【例9】 在长方体中，AB=a，；，由顶点A沿着长方体的表面到顶点的最短距离是多少？解：如图所示【直
28、线与平面练习】一、选择题1在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是( )A.B.C.D.2在直二面角l中，直线a,直线b,a、b与l斜交，则( )A.a不和b垂直，但可能abB.a可能和b垂直，也可能abC.a不和b垂直，a也不和b平行D.a不和b平行，但可能ab二、填空题3设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“XZ且YZXY”为真命题的是_(填序号).X、Y、Z是直线 X、Y是直线，Z是平面 Z是直线，X、Y是平面 X、Y、Z是平面4设a,b是异面直线，下列命题正确的是_.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和
29、a、b都相交过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直过a一定可以作一个平面与b垂直过a一定可以作一个平面与b平行三、解答题5如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点.(1)求证：CDPD;(2)求证：EF平面PAD;(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF平面PCD？6如图，在正三棱锥ABCD中，BAC=30，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由.(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC平面EFGH，请给出证
30、明.7如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BFFC=13.(1)若M为AB中点，求证：BB1平面EFM；(2)求证：EFBC；(3)求二面角A1B1DC1的大小.8如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是菱形且C1CB=C1CD=BCD=60, (1)证明：C1CBD；(2)假定CD=2，CC1=，记面C1BD为,面CBD为,求二面角BD的平面角的余弦值；(3)当的值为多少时，可使A1C面C1BD？参考答案一、1.解析：如图，设A1C1B1D1=O1，B1D1A1O1，B1D1AA1，B1D1平面AA1O1，故平面AA
31、1O1AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1HAO1于H，则易知A1H长即是点A1到平面AB1D1的距离，在RtA1O1A中，A1O1=，AO1=3，由A1O1A1A=hAO1,可得A1H=.答案：C2.解析：如图，在l上任取一点P，过P分别在、内作aa,bb,在a上任取一点A，过A作ACl，垂足为C，则AC,过C作CBb交b于B，连AB，由三垂线定理知ABb，APB为直角三角形,故APB为锐角.答案：C二、3.解析：是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，是真命题，是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例.答案：4.三、5.证明：(1)PA底面
32、ABCD，AD是PD在平面ABCD内的射影，CD平面ABCD且CDAD，CDPD.(2)取CD中点G，连EG、FG，E、F分别是AB、PC的中点，EGAD，FGPD平面EFG平面PAD，故EF平面PAD(3）解：当平面PCD与平面ABCD成45角时，直线EF面PCD证明：G为CD中点，则EGCD,由(1)知FGCD，故EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.即EGF=45，从而得ADP=45，AD=AP由RtPAERtCBE,得PE=CE又F是PC的中点，EFPC，由CDEG，CDFG，得CD平面EFG，CDEF即EFCD，故EF平面PCD.6.(1)证明：同理EFFG，EFGH是
33、平行四边形ABCD是正三棱锥，A在底面上的射影O是BCD的中心，DOBC，ADBC，HGEH，四边形EFGH是矩形.(2)作CPAD于P点，连结BP，ADBC，AD面BCPHGAD，HG面BCP，HG面EFGH.面BCP面EFGH，在RtAPC中，CAP=30，AC=a,AP=a.7.(1)证明：连结EM、MF，M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，BB1ME，又BB1平面EFM，BB1平面EFM.(2)证明：取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得：ANBC，又BFFC=13，F是BN的中点，故MFAN，MFBC，而BCBB1，BB1ME.MEBC，由于MFME=M，BC平面EFM，又EF
34、平面EFM，BCEF.(3)解：取B1C1的中点O，连结A1O知，A1O面BCC1B1，由点O作B1D的垂线OQ，垂足为Q，连结A1Q，由三垂线定理，A1QB1D，故A1QD为二面角A1B1DC的平面角，易得A1QO=arctan.8.(1)证明：连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O，四边形ABCD是菱形，ACBD，BC=CD又BCC1=DCC1，C1C是公共边，C1BCC1DC，C1B=C1DDO=OB，C1OBD，但ACBD，ACC1O=OBD平面AC1，又C1C平面AC1，C1CBD. (2)解：由(1)知ACBD，C1OBD，C1OC是二面角BD的平面角.在C1BC中，B
35、C=2，C1C=，BCC1=60，C1B2=22+()222cos60=.OCB=30,OB=,BC=1,C1O=,即C1O=C1C.作C1HOC，垂足为H，则H是OC中点且OH=，cosC1OC=(3)解：由(1)知BD平面AC1，A1O平面AC1，BDA1C，当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC1A1C，又BDBC1=B，A1C平面C1BD.空间的角【复习要点】空间角的计算步骤：一作、二证、三算1.异面直线所成的角 范围：090方法：平移法；补形法.2.直线与平面所成的角 范围：090方法：关键是作垂线，找射影.3.二面角方法：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法.注：二
36、面角的计算也可利用射影面积公式S=Scos来计算【例题】【例1】 如图，l为60的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M,N,且MP与所成的角等于NP与所成的角. (1)求证：MN分别与、所成角相等；(2)求MN与所成角.解：(1)证明：作NA于A，MB于B,连接AP、PB、BN、AM，再作ACl于C，BDl于D，连接NC、MD.NA,MB,MPB、NPA分别是MP与所成角及NP与所成角，MNB，NMA分别是MN与,所成角，MPB=NPA.在RtMPB与RtNPA中，PM=PN，MPB=NPA，MPBNPA，MB=NA.在RtMNB与RtNMA中，MB=NA，MN是公共边，MNBN
37、MA，MNB=NMA，即(1)结论成立.(2)解：设MNB=,MN=a,则PB=PN=a,MB=NA=asin，NB=acos,MB,BDl,MDl,MDB是二面角l的平面角，MDB=60，同理NCA=60,BD=AC=asin,CN=DM=asin,MB，MPPN，BPPNBPN=90,DPB=CNP,BPDPNC,整理得，16sin416sin2+3=0解得sin2=,sin=，当sin=时，CN=asin= aPN不合理，舍去.sin=,MN与所成角为30.【例2】 在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E、F分别是BC、AD的中点.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)求直线AC与D
38、E所成的角；(3)求直线AD与平面BEDF所成的角；(4)求面BEDF与面ABCD所成的角.解： (1)证明：如上图所示，由勾股定理，得BE=ED=DF=FB=a,下证B、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结AG、EG，由EGABAB知，BEGA是平行四边形.BEAG,又AF DG,AGDF为平行四边形.AGFD，B、E、D、F四点共面故四边形BEDF是菱形. (2)解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CPDE，交直线AD于P，则ACP(或补角)为异面直线AC与DE所成的角.在ACP中，易得AC=a，CP=DE=a,AP=a由余弦定理得cosACP=故AC与DE所成角为arccos. (3
39、)解：ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上.如下图所示.又BEDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB在RtBAD中，AD=a，AB=a,BD=a则cosADB=故AD与平面BEDF所成的角是arccos.(4)解：如图，连结EF、BD，交于O点，显然O为BD的中点，从而O为正方形ABCDABCD的中心.作OH平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HMDE，垂足为M，连结OM，则OMDE，故OMH为二面角BDEA的平面角.在RtDOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在RtOHM中，sinOMH=故面B
40、EDF与面ABCD所成的角为arcsin.【例3】 如下图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120.求：(1)AC1的长；(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值.BD1与AC所成角的余弦值为.【例4】 长方体中，是侧棱中点（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小；（3）求三棱锥的体积解：（1）要求线面所成角，首先需要找到这个角，为此，我们应该先作出面的一条垂线不难发现，正为所求由长方体知：，又，所以，在矩形中，为中点且，所以，所以，为等腰直角三角形，所以，面所以，就是直线与平面所成的角，为（2
41、）要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一个面的一条垂线，则可利用三垂线定理（或逆定理）将其作出注意到，所以，面，所以，只需在内过点作于F，则面过作于G，连EG，则就是二面角的平面角在中，所以，在中，在中，所以，二面角的平面角的大小为（3）要求三棱锥的体积，注意到（2）中已经求出了点到平面的距离EF所以，另一方面，也可以利用等积转化因为，所以，所以，点A到平的距离就等于点到平的距离所以，【例5】 如图，已知面，于D，。（1）令，试把表示为的函数，并求其最大值；（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得？解：（1）为寻求与的关系，首先可以将转化为。 面，于D， 。 。 为在面上的射影。 ，
42、即。 。即的最大值为，等号当且仅当时取得。（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得。令，解得：，与交集非空。 满足条件的点Q存在。【例6】 如图所示：正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为。（1）求侧面与底面所成二面角的大小；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）在侧面上寻找一点F，使得EF侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。解：（1）连交于点，连PO，则PO面ABCD， PAO就是与底面所成的角， tanPAO=。设AB=1，则PO=AOtanPAO = 。设F为AD中点，连FO、PO，则OFAD，所以，PFAD，所以，就是侧面与底面
43、所成二面角的平面角。在Rt中， 。即面与底面所成二面角的大小为（2）由（1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，。就是异面直线PD与AE所成的角。在Rt中，。 。由，可知：面。所以，。在Rt中，。异面直线PD与AE所成的角为。（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽一些，即先找到面的一条垂线，然后再平移到点E即可。为了达到上述目的，我们可以从考虑面面垂直入手，不难发现：。延长交于点，连接。设为中点，连接。 四棱锥为正四棱锥且为中点，所以，为中点， ，。 。 面。 ， 为正三角形。 ， 。取AF中点为K，连EK，则由及得四边形为平行四边形，所以，。【例7
44、】 RtABC中，AC=BC=1，BCA=90，现将ABC沿着平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知AA1=2，分别取A1B1、A1A的中点P、Q，（1）求的长；（2）求证：AB1C1P；（3）求cos，cos，并比较，与，的大小.解：以C为原点，建立如图空间直角坐标系O-xyz，（1）=（1，-1，1）， | | =（2）=（-1，1，3），=（，0）=（-1）+1+20=0，即（3）=（0，1，2），=（1，-1，2），cos，=，同理，cos，=01，（0，），【例8】 如图：直三棱柱中，。为的中点，点在上且.（）求证：；（）求二面角的大小.解：1）证：依题意知， 且 为的中点，
45、则 也为中点 又三棱柱为直三棱柱又 且 、故 . 2）解：由1）知，在中过作交于，连，由三垂线定理有为所求二面角得平面角 易知，在中，故 在中 故所求二面角的大小为. 【例9】 如图，在多面体中，面，且，为中点（1）求证：面；（2）求多面体的体积；（3）求面与面所成的二面角的余弦值 解：（1）取中点，连，面，面，又面，又，是中点，平面，是的中点且，且，又，故四边形是平行四边形，从而，面（2）设中点为，则由可得且，又，与共面，又面，故平面平面，平面，即为四棱锥的高故（3）过作于,连接,由三垂线定理的逆定理得,为二面角的平面角. 易知,由,可得,在中, ,故,面与面所成的二面角的余弦值为 【空间的
46、角练习】一、选择题1在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( )A.B.C.D.2设ABC和DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,CBA=CBD=120,则AD与平面BCD所成的角为( )A.30B.45C.60D.75二、填空题3已知AOB=90,过O点引AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45、60，则以OC为棱的二面角AOCB的余弦值等于_.4正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_.三、解答题5，已知四边形ABCD为直角梯形
47、，ADBC，ABC=90,PA平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的长；(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小；(3)求证：二面角BPCD为直二面角.6设ABC和DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120求：(1)直线AD与平面BCD所成角的大小；(2)异面直线AD与BC所成的角；(3)二面角ABDC的大小.7一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角.(1)求证：平面ABD平面ACD；(2)求AD与BC所成的角；(3)求二面角ABDC的大小.8设D是ABC的BC边上一点，把ACD沿AD折起，使C点所处的新位置C在
48、平面ABD上的射影H恰好在AB上.(1)求证：直线CD与平面ABD和平面AHC所成的两个角之和不可能超过90；(2)若BAC=90，二面角CADH为60，求BAD的正切值.参考答案一、1.解析：(特殊位置法）将P点取为A1，作OEAD于E，连结A1E，则A1E为OA1的射影，又AMA1E，AMOA1，即AM与OP成90角.答案：D2.解析：作AOCB的延长线，连OD，则OD即为AD在平面BCD上的射影，AO=OD=a,ADO=45.答案：B二、3.解析：在OC上取一点C，使OC=1，过C分别作CAOC交OA于A，CBOC交OB于B，则AC=1，OA=，BC=，OB=2，RtAOB中，AB2=6
49、，ABC中，由余弦定理，得cosACB=.答案：4.解析：设一个侧面面积为S1，底面面积为S，则这个侧面在底面上射影的面积为，由题设得，设侧面与底面所成二面角为,则cos=,=60.答案：60三、5.(1)解：因为PA平面AC，ABBC,PBBC,即PBC=90,由勾股定理得PB=.PC=.(2)解：如图，过点C作CEBD交AD的延长线于E，连结PE，则PC与BD所成的角为PCE或它的补角.CE=BD=，且PE=由余弦定理得cosPCE=PC与BD所成角的余弦值为.(3）证明：设PB、PC中点分别为G、F，连结FG、AG、DF，则GFBCAD，且GF=BC=1=AD，从而四边形ADFG为平行四
50、边形，又AD平面PAB，ADAG，即ADFG为矩形，DFFG.在PCD中，PD=，CD=，F为BC中点，DFPC从而DF平面PBC，故平面PDC平面PBC，即二面角BPCD为直二面角.6.解：(1)如图，在平面ABC内，过A作AHBC，垂足为H，则AH平面DBC，ADH即为直线AD与平面BCD所成的角.由题设知AHBAHD，则DHBH，AH=DH，ADH=45(2)BCDH，且DH为AD在平面BCD上的射影，BCAD，故AD与BC所成的角为90.(3)过H作HRBD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，ARBD，故ARH为二面角ABDC的平面角的补角.设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在
51、HDB中，HR=a，tanARH=2故二面角ABDC大小为arctan2.7.(1)证明：取BC中点E，连结AE，AB=AC，AEBC平面ABC平面BCD，AE平面BCD，BCCD，由三垂线定理知ABCD.又ABAC，AB平面BCD，AB平面ABD.平面ABD平面ACD.(2)解：在面BCD内，过D作DFBC，过E作EFDF，交DF于F，由三垂线定理知AFDF，ADF为AD与BC所成的角.设AB=m，则BC=m，CE=DF=m,CD=EF=m即AD与BC所成的角为arctan(3)解：AE面BCD，过E作EGBD于G，连结AG，由三垂线定理知AGBD，AGE为二面角ABDC的平面角EBG=30
52、，BE=m,EG=m又AE=m,tanAGE=2,AGE=arctan2.即二面角ABDC的大小为arctan2.8.(1)证明：连结DH，CH平面ABD，CDH为CD与平面ABD所成的角且平面CHA平面ABD，过D作DEAB，垂足为E，则DE平面CHA.故DCE为CD与平面CHA所成的角sinDCE=sinDCHDCEDCH,DCE+CDEDCH+CDE=90(2)解：作HGAD，垂足为G，连结CG,则CGAD，故CGH是二面角CADH的平面角即CGH=60，计算得tanBAD=.【练习2】1下列命题中，正确的是( )A如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直B如果一个平
53、面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行。C如果两条直线都平行于同一平面，那么这两条直线平行D如果一条直线上有两个点到一个平面的距离相等，那么这条直线和这个平面平行。2下面的四个命题：( )（1）若直线a/平面a，则平面a内的任何直线都与直线a平行（2）若直线a平面a，则平面a内的任何直线都与直线a垂直（3）若平面a/平面b，则平面b内的任何直线都与平面a平行（4）若平面a平面b，则平面b内的任何直线都与平面a垂直；其中正确的命题的个数是：( )A0 B1 C2 D33已知平面a与平面b相交，直线m平面a，则：( )Ab内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直Bb内必存在直线与m
54、平行，且必存在直线与m垂直Cb内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直Db内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直4已知a、b、g表示不同的平面，a、b表示不同的直线，下列命题中正确的是：( )A如果a/a，ab，那么ab B如果ab，bg，那么agC如果aa，ab，那么a/b D如果a/b，b/a，那么a/a5设a，b表示平面，L表示不在a内也不在b内的直线，存在下列三个事实：（1）La；（2）ab；（3）L/b，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则可以构成三个命题，这三个命题中，正确命题的个数是：( )A0 B1 C2 D36设a、b、c是不同的直线，b是不同的平面，下列三
55、个命题：（1）若a/b，则a与c所成的角和b与c所成的角相等（2）若a/b，则a与所成的解和b与所成的角相等（3）若/b，则a与所成的角和a与b所成的角相等其中，正确命题的个数是：( ) A0 B1 C2 D37已知m、n是直线，a、b、g是平面，给出下列命题（1）若ag，bg则a/b （2）若ua，ub，则a/b（3）若a内不共线的三点到平面b的距离都相等，则a/b（4）若n a，m a，且n/b，m/b，则a/b；（5）若m，n为异面直线，且n a，n/b，m b，m/a，则a/b其中正确的两个命题是：( )A（1）与（2） B（3）与（4） C（2）与（5） D（2）与（3）8已知直二面
56、角aLb，且a a，b b， 且a,b与L均不垂直，则下列命题正确的是；( )Aa和b不可能垂直，也不可能平行 Ba和b不可能垂直，但可能平行Ca和b可能垂直，但不可能平行 Da和b可能垂直，也可能平行9已知直线l1，l2与平面a，有下面四个命题：（1）若l1/a,l1/l2,则l2/a （2）若l1a,l2a=A,，则l1,l2异面（3）若l1a,l2a,，则l1/l2 （4）若l1l2,l1a，则l2/a其中真命题有：( )A0个 B1个 C2个 D3个10正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BD1与直线AC所成的角是：( )A30 b45 c60 d9011已知PA垂直于正方形ABC
57、D所在的平面于A点，边PB、PC、PD、AC、BD，则互相垂直的平面有：( )A5对 B6对 C7对 D8对12空间有6个点，任意四点都不共面，过其中任意两点均有一条直线，则成为异面直线的对数为( )A15 B30 C45 D6013下面命题中（1）两条异面直线a，b中，a/平面a，则b/a（2）若平面a/平面b，a a，则a/b（3）若ab=a，直线ab，若使ba，则只须bb，且ab（4）直线a，ba，直线la=A且la，ba，则b与l在a内的射影垂直( )A（1）（2） B（2）（3） C（1）（2）（3） D（2）（3）（4）14直线L与ABC三边均不相交，L上有四点D、E、F、G且这四
58、点均不在直线AB、AC、BC上，则A、B、C、D、E、F、G七个点可确定三角形的个数是；( )A35 B33 C31 D2915设a、b表示直线，a、b、g表示平面，给出下列命题：（1）若ag，且bg，则a/b （2）若a内有不共线的三个点到b的距离相等，则a/b（3）若a a,b b,且a/b,b/a,则a/b（4）若a，b是异面直线，aa,bb,且a/b,b/a,则a/b其中正确命题的序号是 。（注，把你认为正确的命题的序号都填上）16已知a,b,c是三条不重合的直线，a、b、g是三个不重合的平面，给出下面六个命题：（1）若a/c,b/c，则a/b （2）若a/g,b/g，则a/b（3）若
59、a/c,b/c,，则a/b （4）若a/g,b/g，则a/b（5）若a/c,a/c，则a/a （6）若a/g,a/g，则a/a其中正确的命题的序号是： 。17已知m，l是异面直线，给出下列命题（1）一定存在平面a过m且与l平行 （2）一定存在平面a与m、l都垂直（3）一定存在平面a过m且与l垂直 （4）一定存在平面a与m、l的距离相等其中不正确的命题的序号 18设a、b表示直线，a、b、g表示平面，给出下列命题：（1）若ag，且bg，则a/b （2）若a内有不共线的三个点到b的距离相等，则a/b（3）若a a,b b,且a/b,b/a,则a/b（4）若a，b是异面直线，aa,bb,且a/b,b
60、/a,则a/b其中正确命题的序号是 。（注，把你认为正确的命题的序号都填上）19已知a,b,c是三条不重合的直线，a、b、g是三个不重合的平面，给出下面六个命题：（1）若a/c,b/c，则a/b （2）若a/g,b/g，则a/b（3）若a/c,b/c,，则a/b （4）若a/g,b/g，则a/b（5）若a/c,a/c，则a/a （6）若a/g,a/g，则a/a其中正确的命题的序号是： 。 20已知m，l是异面直线，给出下列命题（1）一定存在平面a过m且与l平行 （2）一定存在平面a与m、l都垂直（3）一定存在平面a过m且与l垂直 （4）一定存在平面a与m、l的距离相等其中不正确的命题的序号 。
61、21是不重合的2个平面，在上任取5个点，在上任取4个点，由这些点所确定的平面的个数最多是（ C ）A42个B70个C72个D84个22若平面平面，又直线，直线，且，则（ D ）ABC且D或23已知二面角是直二面角，P为棱AB上一点，PQ、PR分别在平面、内，且，则为（ B ）A45B60C120D15024正方体的棱长为，由它的互不相邻的四个顶点连线所构成的四面体的体积是（ C ）ABCD26平行六面体的棱长均为4，由同一顶点出发的三条棱上分别取1，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比是（ A ）A164B27C719D31627在正方体中，二面角的度数是（ C ）A45B60C120D135
62、28正方形被对角线BD和以A为圆心，AB为半径的圆弧分成三部分，绕AD旋转，所得旋转体的体积之比是（ C ）A211B121C111D22129在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ D ）A1个B2个C3个D4个空间的角【复习要点】空间角的计算步骤：一作、二证、三算1.异面直线所成的角 范围：090方法：平移法；补形法.2.直线与平面所成的角 范围：090方法：关键是作垂线，找射影.3.二面角方法：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法.注：二面角的计算也可利用射影面积公式S=Scos来计算【例题】【例10】 如图，l为60的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M,N,且MP与
63、所成的角等于NP与所成的角. (1)求证：MN分别与、所成角相等；(2)求MN与所成角.解：(1)证明：作NA于A，MB于B,连接AP、PB、BN、AM，再作ACl于C，BDl于D，连接NC、MD.NA,MB,MPB、NPA分别是MP与所成角及NP与所成角，MNB，NMA分别是MN与,所成角，MPB=NPA.在RtMPB与RtNPA中，PM=PN，MPB=NPA，MPBNPA，MB=NA.在RtMNB与RtNMA中，MB=NA，MN是公共边，MNBNMA，MNB=NMA，即(1)结论成立.(2)解：设MNB=,MN=a,则PB=PN=a,MB=NA=asin，NB=acos,MB,BDl,MD
64、l,MDB是二面角l的平面角，MDB=60，同理NCA=60,BD=AC=asin,CN=DM=asin,MB，MPPN，BPPNBPN=90,DPB=CNP,BPDPNC,整理得，16sin416sin2+3=0解得sin2=,sin=，当sin=时，CN=asin= aPN不合理，舍去.sin=,MN与所成角为30.【例11】 在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E、F分别是BC、AD的中点.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)求直线AC与DE所成的角；(3)求直线AD与平面BEDF所成的角；(4)求面BEDF与面ABCD所成的角.解： (1)证明：如上图所示，由勾股定理，得BE=E
65、D=DF=FB=a,下证B、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结AG、EG，由EGABAB知，BEGA是平行四边形.BEAG,又AF DG,AGDF为平行四边形.AGFD，B、E、D、F四点共面故四边形BEDF是菱形. (2)解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CPDE，交直线AD于P，则ACP(或补角)为异面直线AC与DE所成的角.在ACP中，易得AC=a，CP=DE=a,AP=a由余弦定理得cosACP=故AC与DE所成角为arccos. (3)解：ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上.如下图所示.又BEDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF
66、所成的角为ADB在RtBAD中，AD=a，AB=a,BD=a则cosADB=故AD与平面BEDF所成的角是arccos.(4)解：如图，连结EF、BD，交于O点，显然O为BD的中点，从而O为正方形ABCDABCD的中心.作OH平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HMDE，垂足为M，连结OM，则OMDE，故OMH为二面角BDEA的平面角.在RtDOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在RtOHM中，sinOMH=故面BEDF与面ABCD所成的角为arcsin.【例12】 如下图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA
67、1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120.求：(1)AC1的长；(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值.BD1与AC所成角的余弦值为.【例13】 长方体中，是侧棱中点（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小；（3）求三棱锥的体积解：（1）要求线面所成角，首先需要找到这个角，为此，我们应该先作出面的一条垂线不难发现，正为所求由长方体知：，又，所以，在矩形中，为中点且，所以，所以，为等腰直角三角形，所以，面所以，就是直线与平面所成的角，为（2）要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一个面的一条垂线，则可利用三垂线定理（或逆定理）将其作出注意到，所以，面，所以，只需在内过
68、点作于F，则面过作于G，连EG，则就是二面角的平面角在中，所以，在中，在中，所以，二面角的平面角的大小为（3）要求三棱锥的体积，注意到（2）中已经求出了点到平面的距离EF所以，另一方面，也可以利用等积转化因为，所以，所以，点A到平的距离就等于点到平的距离所以，【例14】 如图，已知面，于D，。（1）令，试把表示为的函数，并求其最大值；（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得？解：（1）为寻求与的关系，首先可以将转化为。 面，于D， 。 。 为在面上的射影。 ，即。 。即的最大值为，等号当且仅当时取得。（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得。令，解得：，与交集非空。 满
69、足条件的点Q存在。【例15】 如图所示：正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为。（1）求侧面与底面所成二面角的大小；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）在侧面上寻找一点F，使得EF侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。解：（1）连交于点，连PO，则PO面ABCD， PAO就是与底面所成的角， tanPAO=。设AB=1，则PO=AOtanPAO = 。设F为AD中点，连FO、PO，则OFAD，所以，PFAD，所以，就是侧面与底面所成二面角的平面角。在Rt中， 。即面与底面所成二面角的大小为（2）由（1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，。就是异
70、面直线PD与AE所成的角。在Rt中，。 。由，可知：面。所以，。在Rt中，。异面直线PD与AE所成的角为。（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽一些，即先找到面的一条垂线，然后再平移到点E即可。为了达到上述目的，我们可以从考虑面面垂直入手，不难发现：。延长交于点，连接。设为中点，连接。 四棱锥为正四棱锥且为中点，所以，为中点， ，。 。 面。 ， 为正三角形。 ， 。取AF中点为K，连EK，则由及得四边形为平行四边形，所以，。【例16】 RtABC中，AC=BC=1，BCA=90，现将ABC沿着平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知AA1=2，分别取A1B1
71、、A1A的中点P、Q，（1）求的长；（2）求证：AB1C1P；（3）求cos，cos，并比较，与，的大小.解：以C为原点，建立如图空间直角坐标系O-xyz，（1）=（1，-1，1）， | | =（2）=（-1，1，3），=（，0）=（-1）+1+20=0，即（3）=（0，1，2），=（1，-1，2），cos，=，同理，cos，=01，（0，），【例17】 如图：直三棱柱中，。为的中点，点在上且.（）求证：；（）求二面角的大小.解：1）证：依题意知， 且 为的中点，则 也为中点 又三棱柱为直三棱柱又 且 、故 . 2）解：由1）知，在中过作交于，连，由三垂线定理有为所求二面角得平面角 易知，在中
72、，故 在中 故所求二面角的大小为. 【例18】 如图，在多面体中，面，且，为中点（1）求证：面；（2）求多面体的体积；（3）求面与面所成的二面角的余弦值 解：（1）取中点，连，面，面，又面，又，是中点，平面，是的中点且，且，又，故四边形是平行四边形，从而，面（2）设中点为，则由可得且，又，与共面，又面，故平面平面，平面，即为四棱锥的高故（3）过作于,连接,由三垂线定理的逆定理得,为二面角的平面角. 易知,由,可得,在中, ,故,面与面所成的二面角的余弦值为 【空间的角练习】一、选择题1在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线
73、OP与直线AM所成的角是( )A.B.C.D.2设ABC和DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,CBA=CBD=120,则AD与平面BCD所成的角为( )A.30B.45C.60D.75二、填空题3已知AOB=90,过O点引AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45、60，则以OC为棱的二面角AOCB的余弦值等于_.4正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_.三、解答题5，已知四边形ABCD为直角梯形，ADBC，ABC=90,PA平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的长；(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值
74、的大小；(3)求证：二面角BPCD为直二面角.6设ABC和DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120求：(1)直线AD与平面BCD所成角的大小；(2)异面直线AD与BC所成的角；(3)二面角ABDC的大小.7一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角.(1)求证：平面ABD平面ACD；(2)求AD与BC所成的角；(3)求二面角ABDC的大小.8设D是ABC的BC边上一点，把ACD沿AD折起，使C点所处的新位置C在平面ABD上的射影H恰好在AB上.(1)求证：直线CD与平面ABD和平面AHC所成的两个角之和不可能超过90；(2)若BAC=90
75、，二面角CADH为60，求BAD的正切值.参考答案一、1.解析：(特殊位置法）将P点取为A1，作OEAD于E，连结A1E，则A1E为OA1的射影，又AMA1E，AMOA1，即AM与OP成90角.答案：D2.解析：作AOCB的延长线，连OD，则OD即为AD在平面BCD上的射影，AO=OD=a,ADO=45.答案：B二、3.解析：在OC上取一点C，使OC=1，过C分别作CAOC交OA于A，CBOC交OB于B，则AC=1，OA=，BC=，OB=2，RtAOB中，AB2=6，ABC中，由余弦定理，得cosACB=.答案：4.解析：设一个侧面面积为S1，底面面积为S，则这个侧面在底面上射影的面积为，由题
76、设得，设侧面与底面所成二面角为,则cos=,=60.答案：60三、5.(1)解：因为PA平面AC，ABBC,PBBC,即PBC=90,由勾股定理得PB=.PC=.(2)解：如图，过点C作CEBD交AD的延长线于E，连结PE，则PC与BD所成的角为PCE或它的补角.CE=BD=，且PE=由余弦定理得cosPCE=PC与BD所成角的余弦值为.(3）证明：设PB、PC中点分别为G、F，连结FG、AG、DF，则GFBCAD，且GF=BC=1=AD，从而四边形ADFG为平行四边形，又AD平面PAB，ADAG，即ADFG为矩形，DFFG.在PCD中，PD=，CD=，F为BC中点，DFPC从而DF平面PBC
77、，故平面PDC平面PBC，即二面角BPCD为直二面角.6.解：(1)如图，在平面ABC内，过A作AHBC，垂足为H，则AH平面DBC，ADH即为直线AD与平面BCD所成的角.由题设知AHBAHD，则DHBH，AH=DH，ADH=45(2)BCDH，且DH为AD在平面BCD上的射影，BCAD，故AD与BC所成的角为90.(3)过H作HRBD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，ARBD，故ARH为二面角ABDC的平面角的补角.设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在HDB中，HR=a，tanARH=2故二面角ABDC大小为arctan2.7.(1)证明：取BC中点E，连结AE，AB=AC，AE
78、BC平面ABC平面BCD，AE平面BCD，BCCD，由三垂线定理知ABCD.又ABAC，AB平面BCD，AB平面ABD.平面ABD平面ACD.(2)解：在面BCD内，过D作DFBC，过E作EFDF，交DF于F，由三垂线定理知AFDF，ADF为AD与BC所成的角.设AB=m，则BC=m，CE=DF=m,CD=EF=m即AD与BC所成的角为arctan(3)解：AE面BCD，过E作EGBD于G，连结AG，由三垂线定理知AGBD，AGE为二面角ABDC的平面角EBG=30，BE=m,EG=m又AE=m,tanAGE=2,AGE=arctan2.即二面角ABDC的大小为arctan2.8.(1)证明：
79、连结DH，CH平面ABD，CDH为CD与平面ABD所成的角且平面CHA平面ABD，过D作DEAB，垂足为E，则DE平面CHA.故DCE为CD与平面CHA所成的角sinDCE=sinDCHDCEDCH,DCE+CDEDCH+CDE=90(2)解：作HGAD，垂足为G，连结CG,则CGAD，故CGH是二面角CADH的平面角即CGH=60，计算得tanBAD=.空间的距离【复习要点】空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.空间中的距离主要指以下七种：(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离.(4)两条
80、平行线间的距离.(5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离.(7)两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)
81、函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.【例题】【例19】 如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点.求：(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离.解：(1)在矩形ABCD中，作AEBD，E为垂足连结QE，QA平面ABCD，由三垂线定理得QEBEQE的长为Q到BD的距离在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,AE=在RtQAE中，QA=PA=cQE=Q到BD距离为.(2)解法一：平面BQD经过线段PA的中点，P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离在AQE中，作AHQE，H为垂足BDAE,BDQE
82、,BD平面AQE BDAHAH平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离.在RtAQE中，AQ=c,AE=AH=P到平面BD的距离为解法二：设点A到平面QBD的距离为h，由VABQD=VQABD,得SBQDh=SABDAQh=【例20】 把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长；(2)折起后EOF的大小.解：如图，以O点为原点建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形ABCD边长为a,则A(0，a,0)，B(a,0,0)，C(0, a,0)，D(0,0, a)，E(0,a, a)，F(a, a,0)EOF=120【例21】 正
83、方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离.解法一：如图，连结AC1，在正方体AC1中，A1C1AC,A1C1平面AB1C，A1C1与平面AB1C间的距离等于异面直线A1C1与AB1间的距离.连结B1D1、BD，设B1D1A1C1=O1,BDAC=OACBD，ACDD1，AC平面BB1D1D平面AB1C平面BB1D1D，连结B1O，则平面AB1C平面BB1D1D=B1O作O1GB1O于G，则O1G平面AB1CO1G为直线A1C1与平面AB1C间的距离，即为异面直线A1C1与AB1间的距离.在RtOO1B1中，O1B1=，OO1=1，OB1= O1G=，即异面直线
84、A1C1与AB1间距离为.解法二：如图，在A1C上任取一点M，作MNAB1于N，作MRA1B1于R，连结RN，平面A1B1C1D1平面A1ABB1，MR平面A1ABB1，MRAB1AB1RN，设A1R=x,则RB1=1xC1A1B1=AB1A1=45，MR=x,RN=NB1=(0x1当x=时，MN有最小值即异面直线A1C1与AB1距离为.【例22】 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱,、分别是与的中点，点在平面上的射影是的的重心。（1） 求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2） 求点到平面的距离。解：（1）连接，则即为与平面所成的角，设，在中，则，则与平面所成角的大小
85、为。（2）、设点到平面的距离为，由 ，即。【例23】 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，ABBC，CB=3，AB=4，A1AB=60.（1）求证：平面CA1B平面A1ABB1（2）求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值；（3）求点C1到平面A1CB的距离.证：（）因为四边形BCC1B1是矩形BCBB1，又ABBC，BC平面A1ABB1，BC平面CA1B，平面CA1B平面A1ABB1.解（2）过A1作A1DB1B于D，连接DC，BC平面A1ABB1，BCA1DA1D平面BCC1B1，故A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角.在矩
86、形BCC1B1中，DC=，因为四边形A1ABB1是菱形，A1AB=60，CB=3，AB=4，（3）B1C1BC1， B1C1平面A1BC，C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离.连结AB1 ，AB1与A1B交于点O，四边形A1ABB1是菱形，B1OA1B.平面CA1B平面A1ABB1， B1O平面A1BCB1O即为C1到平面A1BC的距离. B1O=，C1到平面A1BC的距离为.【例24】 如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60,在四边形ABCD中，D=DAB=90，AB=4，CD=1，AD=2.（1）建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；
87、（2）求异面直线PA与BC所成的角；（3）若PB的中点为M，求证：平面AMC平面PBC. 解（1）建立如图所示的空间直角坐标系D=DAB=90，AB=4，CD=1，AD=2，A（2，0，0），C（0，1，0），B（2，4，0）. 由PD平面ABCD，得PAD为PA与平面ABCD所成的角，PAD=60.在RtPAD中，由AD=2，得PD=，.（2）所以PA与BC所成的角为 （3）.，.【例25】 如图，在矩形中，为上一点，将点沿线段折起至点，连结，取的中点，若有平面 （1）试确定点位置；（2）若异面直线所成的角为，求证：平面平面；（3）在条件（2）下，求点到平面的距离解：（1）为的中点证明如下：
88、取的中点，连由条件知，则四点共面平面，平面平面，则四边形为平行四边形则为的中点（2）所成的角为，在中，,则，平面平面，平面平面（3）平面，点到平面的距离等于点到平面的距离作交的延长线于，平面平面，平面，点到平面的距离即点到平面的距离为【例26】 已知斜三棱柱ABCA1B1C1，BCA=90，AC=BC=a，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又A1BAC1.（1）求证：BC平面ACC1A1；（2）求AA1与平面ABC所成的角；（3）求二面角B-AA1-C的正切值.解：（1）证明：A1D平面ABC，A1DBC（2分）又ACBC，BC平面ACC1A1（4分）（2）A1D平面ABC，A1AD是
89、AA1与底面ABC所成的角由（1）知，BC平面ACC1A1，又A1BAC1A1CAC1，ACC1A1是菱形 AA1=a，A1DAC，且AD=DC=a，A1AD=60即AA1与底面ABC所成的角为60（3）由（1）知，BC平面ACC1A1，作CNAA1于点N，A1AC是等边三角形，点N是AA1的中点，连NB，则BNAA1，BNC是二面角B-AA1-C的平面角易知，CN=，BC=a在RtBCN中，tanBNC=，二面角B-AA1-C的正切值为【例27】 对棱都相等的四面体称为等腰四面体。 （1）试在长方体中，连接某些顶点作出一个等腰四面体，写作 ，并探索等腰四面体的性质。（至少写出三条，不需证明）
90、 性质：四个面都是全等的三角形；各顶点到其所对面的距离都相等；它的体积是长方体体积的三分之一。 （2）证明等腰四面体的另一条性质：等腰四面体中，各侧面与底面所成二面角的余弦之和等于1。已知：四面体中，各侧面与底面所成二面角分别为。求证：证明：过作底面，为垂足，连接， 设二面角为，则，设二面角为，则，设二面角为，则，【空间的距离练习】一、选择题1正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图)，M为矩形AEFD内一点，如果MBE=MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为( )2三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=1，AB=4，B
91、C=3，ABC=90,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为( )A. B. C.2.6D.2.4二、填空题3如左下图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_.4如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角EABC的度数为30，那么EF与平面ABCD的距离为_.三、解答题5.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：(1)求证：平面A1BC1平面ACD1；(2)求(1)中两个平行平面间的距离；(3)求点B1到平面A1BC1的距离.6已知正四棱柱ABCDA1
92、B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EACD1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45,AB=a,求：(1)截面EAC的面积；(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；(3)三棱锥B1EAC的体积.7如图，已知三棱柱A1B1C1ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45角，且A1EB1B于E，A1FCC1于F.(1)求点A到平面B1BCC1的距离；(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.8如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC=,AB= AD=a,ADC=arccos,PA面ABCD且PA=a.(1)求异面直线AD与PC间的距离；(2)在线段
93、AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为.【空间的距离参考答案】一、1.解析：过点M作MMEF,则MM平面BCFMBE=MBCBM为EBC为角平分线，EBM=45,BM=,从而MN=答案：A2.解析：交线l过B与AC平行，作CDl于D，连C1D，则C1D为A1C1与l的距离，而CD等于AC上的高，即CD=,RtC1CD中易求得C1D=2.6答案：C二、3.解析：以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、Q分别为AB、CD的中点，因为AQ=BQ=a,PQAB,同理可得PQCD，故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离，在RtAPQ中，PQ=a答案：a4.解析：显然FA
94、D是二面角EABC的平面角，FAD=30,过F作FG平面ABCD于G，则G必在AD上，由EF平面ABCD.FG为EF与平面ABCD的距离，即FG=.答案：三、5.(1)证明：由于BC1AD1，则BC1平面ACD1同理，A1B平面ACD1，则平面A1BC1平面ACD1(2)解：设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离.易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，则cosA1BC1=,则sinA1BC1=,则S=,由于，则Sd=BB1,代入求得d=,即两平行平面间的距离为.(3)解：由于线段B1D1被平面A1BC1所平分，则B1、D1到平面A1BC1的距离相等，
95、则由(2)知点B1到平面A1BC1的距离等于.6.解：(1)连结DB交AC于O，连结EO，底面ABCD是正方形DOAC，又ED面ABCDEOAC，即EOD=45又DO=a，AC=a，EO=a，SEAC=a(2)A1A底面ABCD，A1AAC，又A1AA1B1A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线又EOBD1，O为BD中点，D1B=2EO=2aD1D=a，A1B1与AC距离为a(3)连结B1D交D1B于P，交EO于Q，推证出B1D面EACB1Q是三棱锥B1EAC的高，得B1Q=a7.解：(1)BB1A1E，CC1A1F，BB1CC1BB1平面A1EF即面A1EF面BB1C1C在RtA1EB1中
96、，A1B1E=45，A1B1=aA1E=a,同理A1F=a,又EF=a，A1E=a同理A1F=a,又EF=aEA1F为等腰直角三角形，EA1F=90过A1作A1NEF，则N为EF中点，且A1N平面BCC1B1即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离A1N=又AA1面BCC1B，A到平面BCC1B1的距离为a=2，所求距离为2(2)设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、DD1和A1D1，则DD1必过点N，易证ADD1A1为平行四边形.B1C1D1D,B1C1A1NB1C1平面ADD1A1BC平面ADD1A1得平面ABC平面ADD1A1，过A1作A1M平面ABC，交AD于M，若A1M=A
97、1N，又A1AM=A1D1N，AMA1=A1ND1=90AMA1A1ND1,AA1=A1D1=,即当AA1=时满足条件.8.解：(1)BCAD,BC面PBC,AD面PBC从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离.过A作AEPB，又AEBCAE平面PBC，AE为所求.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=aAE=a(2)作CMAB，由已知cosADC=tanADC=,即CM=DMABCM为正方形，AC=a,PC=a过A作AHPC,在RtPAC中，得AH=下面在AD上找一点F，使PCCF取MD中点F，ACM、FCM均为等腰直角三角形ACM+FCM=45+45=90FCAC,即FCPC在AD上存在满足条件的点F.