1、2014-2015学年河南省郑州市五校联考高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）若A=，B=x|1x2，则AB=（）Ax|x0Bx|x2CDx|0x22（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，具有如下对应表：x1234f（x）6.12.93.55.3那么函数f（x）一定存在零点的区间是（）A（，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）3（5分）若集合A=x|x0，且BA，则集合B可能是（）A1，2Bx|x1C1，0，1DR4（5分）函数的定义域为（）A（0，2B（0，2）C（0，1）（1，2）D（0，1）（1，25（5分）已知常数a0且a1，则函数f
2、（x）=ax11恒过定点（）A（0，1）B（1，0）C（1，1）D（1，1）6（5分）不等式log2（x+1）1的解集为（）Ax|0x1Bx|1x0Cx|1x1Dx|x17（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（3）=2，则f（3）+f（0）=（）A3B3C2D28（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）Af（x）=xBf（x）=x3Cf（x）=（）xDf（x）=3x9（5分）小路、小华与小敏三位同学讨论一道数学题，当他们每个人都把自己的解法说出来以后，小路说：“我做错了，”小华说：“小路做对了，”小敏说：“我做错了”老师看过他们的答案并听了他们
3、以上的陈述之后说：“你们三位同学中只有一人做对了，只有一人说对了”那么请问：根据老师的回答，谁做对了呢？（）A小路B小华C小敏D不能确定10（5分）已知a=，b=log3，c=ln（1），d=log，则a，b，c，d的大小关系是（）AabcdBcdbaCdcbaDdbac11（5分）如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有（）A1个B2个C3个D4个12（5分）已知函数f（x）=|log3（x1）|（）x1有2个不同的零点x1、x2，则（）Ax1x21Bx1x2=x1+x2Cx1
4、x2x1+x2Dx1x2x1+x2二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13（5分）计算：=14（5分）若f（x）=x2x，则满足f（x）0的x取值范围是15（5分）由“不超过x的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为y=x，例如1.2=1，0.3=1则函数y=2x+1，x1，3）的值域为16（5分）已知函数f（x）=（xR）的最大值为M，最小值为m，则M+m的值为三、解答题（本大题有6小题，共70分）17（10分）若集合M=x|x2+x6=0，N=x|ax1=0，且MN=N，求实数a的值18（12分）已知函数f（x）=，x3，5，（1）用定义法证明函数f（x）的单调
5、性；（2）求函数f（x）的最小值和最大值19（12分）若二次函数满足f（x+1）f（x）=2x且f（0）=1（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间1，1上不等式f（x）2x+m恒成立，求实数m的取值范围20（12分）某租赁公司拥有汽车100辆当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元（）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？21（12分）已知函数满足（1）求常数c的值；（2）求使成立的
6、x的取值范围22（12分）已知函数f（x）=log2（1）判断并证明f（x）的奇偶性；（2）若关于x的方程f（x）=log2（xk）有实根，求实数k的取值范围；（3）问：方程f（x）=x+1是否有实根？如果有，设为x0，请求出一个长度为的区间（a，b），使x0（a，b）；如果没有，请说明理由2014-2015学年河南省郑州市五校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）若A=，B=x|1x2，则AB=（）Ax|x0Bx|x2CDx|0x2考点：并集及其运算 专题：计算题分析：把两集合的解集表示在数轴上，根据图形可求出两集合的并集解答：解：由，B=x
7、|1x2，两解集画在数轴上，如图：所以AB=x|0x2故选D点评：本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型2（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，具有如下对应表：x1234f（x）6.12.93.55.3那么函数f（x）一定存在零点的区间是（）A（，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：由所给的表格可得f（2）f（3）0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）一定存在零点的区间解答：解：由所给的表格可得f（3）=3.5，f（2）=2.9，f（2）f（3）0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）一
8、定存在零点的区间是（2，3），故选C点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题3（5分）若集合A=x|x0，且BA，则集合B可能是（）A1，2Bx|x1C1，0，1DR考点：集合的包含关系判断及应用 专题：阅读型分析：通过集合A=x|x0，且BA，说明集合B是集合A的子集，对照选项即可求出结果解答：解：因为集合集合A=x|x0，且BA，所以集合B是集合A的子集，当集合B=1，2时，满足题意，当集合B=x|x1时，1A，不满足题意，当集合B=1，0，1时，1A，不满足题意，当集合B=R时，1A，不满足题意，故选A点评：本题是基础题，考查集合的基本运算，集合的包含关系判断及应用4（5
9、分）函数的定义域为（）A（0，2B（0，2）C（0，1）（1，2）D（0，1）（1，2考点：对数函数的定义域 专题：计算题；函数的性质及应用分析：的定义域为x|，由此能求出结果解答：解：的定义域为：x|，解得0x1，或1x2故选D点评：本题考查函数的定义域的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答5（5分）已知常数a0且a1，则函数f（x）=ax11恒过定点（）A（0，1）B（1，0）C（1，1）D（1，1）考点：指数函数的单调性与特殊点 专题：函数的性质及应用分析：根据指数函数的性质，我们易得指数函数y=ax（a0，a1）的图象恒过（0，1）点，再根据函数图象的平移变换法则，我们易求出平移量
10、，进而可以得到函数图象平移后恒过的点A的坐标解答：解：由指数函数y=ax（a0，a1）的图象恒过（0，1）点而要得到函数y=ax11（a0，a1）的图象，可将指数函数y=ax（a0，a1）的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位则（0，1）点平移后得到（1，0）点故选B点评：本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，其中根据函数y=ax11（a0，a1）的解析式，结合函数图象平移变换法则，求出平移量是解答本题的关键6（5分）不等式log2（x+1）1的解集为（）Ax|0x1Bx|1x0Cx|1x1Dx|x1考点：指、对数不等式的解法 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：由log2（x+1）1
11、，利用对数函数的性质，知，由此能求出不等式log2（x+1）1的解集解答：解：log2（x+1）1=log22，解得1x1故选C点评：本题考查对数不等式的解法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答7（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（3）=2，则f（3）+f（0）=（）A3B3C2D2考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：利用奇函数的性质f（0）=0，由题意得f（3）+f（0）=f（3）+f（0）即可得出答案解答：解：由题意得f（3）+f（0）=f（3）+f（0）=2+0=2故选D点评：本题考查奇函数的性质：若f（x）是奇函数，且在x=0处有意义则f（0）=0；考查奇
12、函数的定义8（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）Af（x）=xBf（x）=x3Cf（x）=（）xDf（x）=3x考点：抽象函数及其应用 专题：函数的性质及应用分析：对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案解答：解：Af（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；Bf（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；Cf（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）
13、在R上是单调减函数，故C错Df（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；故选D点评：本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题9（5分）小路、小华与小敏三位同学讨论一道数学题，当他们每个人都把自己的解法说出来以后，小路说：“我做错了，”小华说：“小路做对了，”小敏说：“我做错了”老师看过他们的答案并听了他们以上的陈述之后说：“你们三位同学中只有一人做对了，只有一人说对了”那么请问：根据老师的回答，谁做对了呢？（）A小路B小华C小敏D不能确定考点：进行简单的合情推理 专题：
14、探究型；推理和证明分析：由题意，小路说对了，小华、小敏说错了，小敏做对了，即可得出结论解答：解：由题意，小路说对了，小华、小敏说错了，小敏做对了，故选：C点评：本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础10（5分）已知a=，b=log3，c=ln（1），d=log，则a，b，c，d的大小关系是（）AabcdBcdbaCdcbaDdbac考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出解答：解：c=ln（1）0，0d=log=log31，cdba故选：B点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题11（5分）如图下面的四个
15、容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有（）A1个B2个C3个D4个考点：函数单调性的判断与证明 专题：图表型；数形结合分析：结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化的快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断解答：解：A、因正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的，故A不对；B、因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加的快，上面增加的慢，即图象应越来越平缓，故B正确；C、球是个对称的几何体，下半球因下
16、面窄上面宽，所以水的高度增加的越来越慢；上半球恰相反，所以水的高度增加的越来越快，则图象先平缓再变陡；故C正确；D、图中几何体两头宽、中间窄，所以水的高度增加的越来越慢后再越来越慢快，则图象先平缓再变陡，故D正确故选A点评：本题考查了数形结合思想，对于此题没有必要求容器中水面的高度h和时间t之间的函数解析式，因此可结合几何体和图象作定性分析，即充分利用数形结合思想12（5分）已知函数f（x）=|log3（x1）|（）x1有2个不同的零点x1、x2，则（）Ax1x21Bx1x2=x1+x2Cx1x2x1+x2Dx1x2x1+x2考点：函数的零点与方程根的关系 专题：函数的性质及应用分析：先将f（
17、x）=|log3（x1）|（）x1有两个零点转化为y=|log3（x1）|与y=3x+1有两个交点，然后在同一坐标系中画出两函数的图象，得到零点在（1，2）和（2，+）内，即可得到3x1 =log3x1和3x2 =log3x2，然后两式相加，即可求得x1x2的范围解答：解：f（x）=|log3（x1）|（）x1有两个零点x1，x2，即y=|log3（x1）|与y=3x+1有两个交点由题意x0，分别画y=3x+1和y=|log3（x1）|的图象，发现在（1，2）和（2，+）有两个交点不妨设 x1在（1，2）里 x2在（2，+）里，那么 在（1，2）上有 1+3x1=log3（x11），即13x1
18、=log3（x11）在（2，+）上有1+3x2 =log3（x21）、相加有 3x23x1=log3（x11）（x21），x2x1，3x23x1，即 3x23x10，log3（x11）（x21）0，0（x11）（x21）1，x1x2x1+x2，故选D点评：本题主要考查确定函数零点所在区间的方法转化为两个函数的交点问题函数的零点等价于函数与x轴的交点的横坐标，等价于对应方程的根，属于中档题二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13（5分）计算：=考点：对数的运算性质 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由（27）=3，log28=3，能求出的值解答：解：=3+=故答案为：点评：本题考
19、查指数和对数的运算性质和运算法则的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答14（5分）若f（x）=x2x，则满足f（x）0的x取值范围是（0，1）考点：其他不等式的解法 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：f（x）0即为x2，由于x=0不成立，则x0，考虑平方法，再由幂函数的单调性，即可得到解集解答：解：f（x）0即为x2，由于x=0不成立，则x0，再由两边平方得，x4x，即为x31解得x1，则0x1，故解集为：（0，1）故答案为：（0，1）点评：本题考查不等式的解法，注意函数的定义域，运用函数的单调性解题，属于基础题15（5分）由“不超过x的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常
20、记为y=x，例如1.2=1，0.3=1则函数y=2x+1，x1，3）的值域为1，1，3，5考点：函数的值域 专题：函数的性质及应用分析：根据x=求解即可解答：解：函数y=2x+1，x1，3）x=函数y=2x+1，x1，3）值域为：1，1，3，5故答案为：1，1，3，5点评：本题考查了函数的概念，y=x的意义，属于中档题16（5分）已知函数f（x）=（xR）的最大值为M，最小值为m，则M+m的值为2考点：函数的最值及其几何意义 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由题意，化f（x）=+1，可知y=为R上的奇函数，从而求得M1与m1互为相反数，从而求得M+m=2解答：解：f（x）=+1，y=为R上
21、的奇函数，y=在R上的最大值与最小值互为相反数，即M1与m1互为相反数，即M1+m1=0，解得M+m=2故答案为：2点评：本题考查了函数表达式的化简与函数奇偶性的应用，属于中档题三、解答题（本大题有6小题，共70分）17（10分）若集合M=x|x2+x6=0，N=x|ax1=0，且MN=N，求实数a的值考点：交集及其运算 专题：集合分析：先求出集合M的元素，然后根据NM，讨论集合N的可能性，最后分别求出每一种情形下a的取值即可解答：解：M=x|x2+x6=0，N=x|ax1=0且NMM=3，2N=或3或2N=时，a=0N=3时，a=，N=2时，a=点评：本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，
22、本题体现了分类讨论的思想方法，属于基础题18（12分）已知函数f（x）=，x3，5，（1）用定义法证明函数f（x）的单调性；（2）求函数f（x）的最小值和最大值考点：函数单调性的判断与证明 专题：计算题；证明题；函数的性质及应用分析：（1）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论（2）利用函数的单调性求最值解答：解（1）证明：任取3x1x25，则，f（x1）f（x2）=，3x1x25，x1x20，x1+10，x2+10，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），上是增函数，（2）上是增函数，当x=3时，f（x）有最小值，当x=5时，f（x）有最大值f（5）=
23、点评：本题考查了函数单调性的证明及函数单调性的应用，证明一般有两种方法，定义法，导数法，可应用于求最值属于基础题19（12分）若二次函数满足f（x+1）f（x）=2x且f（0）=1（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间1，1上不等式f（x）2x+m恒成立，求实数m的取值范围考点：二次函数的性质 专题：计算题；待定系数法分析：（1）利用待定系数法求解由二次函数可设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c值，由f（x+1）f（x）=2x可得a，b的值，从而问题解决；（2）欲使在区间1，1上不等式f（x）2x+m恒成立，只须x23x+1m0，也就是要x23x+1m的最小值大于0即可，最后求出
24、x23x+1m的最小值后大于0解之即得解答：解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a0），由f（0）=1，c=1，f（x）=ax2+bx+1f（x+1）f（x）=2x，2ax+a+b=2x，f（x）=x2x+1（5分）（2）由题意：x2x+12x+m在1，1上恒成立，即x23x+1m0在1，1上恒成立其对称轴为，g（x）在区间1，1上是减函数，g（x）min=g（1）=13+1m0，m1（10分）点评：本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想属于基础题20（12分）某租赁公司拥有汽车100辆当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出当每辆车的
25、月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元（）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？考点：根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义 专题：应用题；压轴题分析：（）严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可；（）从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则作为应用题要注意下好结论解答：解：（）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车（）
26、设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为，整理得所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元点评：本题以实际背景为出发点，既考查了信息的直接应用，又考查了目标函数法求最值特别是二次函数的知识得到了充分的考查在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题，非常值得研究21（12分）已知函数满足（1）求常数c的值；（2）求使成立的x的取值范围考点：其他不等式的解法；函数的值 专题：综合题分析：（1）依题意，f（c）=+1=，可求得常数c的值；（2）由（1）知c=，从而f（
27、x）=，分段去解不等式f（x）+1即可解答：解：（1）因为f（x）=，f（c）=+1，又f（c）=，=22，c=（4分）（2）c=，f（x）=（6分）当0x时，由f（x）+1得x+1+1，从而x，（8分）当x1时，解f（x）+1得得24x+1+1，从而x，（10分）综上可得，x或x，（11分）所以f（x）+1的解集为x|x（12分）点评：本题考查分段函数的应用，考查解不等式的能力，考查分类讨论思想与方程思想的综合应用，属于难题22（12分）已知函数f（x）=log2（1）判断并证明f（x）的奇偶性；（2）若关于x的方程f（x）=log2（xk）有实根，求实数k的取值范围；（3）问：方程f（x）
28、=x+1是否有实根？如果有，设为x0，请求出一个长度为的区间（a，b），使x0（a，b）；如果没有，请说明理由考点：对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的判断 专题：计算题分析：（1）先求出函数的定义域，看是否关于原点对称，再计算f（x），利用=（） 1可得f（x）=f（x），从而得到函数为奇函数；（2）方程f（x）=log2（xk）有实根，也就是方程=xk即k=x在（1，1）内有解，从而得出实数k属于函数y=x=x+1在（1，1）内的值域下面利用换元法求出其值域即可得到实数k的取值范围；（3）设g（x）=f（x）x1=log2x1（1x1）用“二分法”逐步探求，先算区间（1，1）的中点g
29、（0）=10，由于g（x）在（1，1）内单调递减，于是再算区间（1，0）的中点g（）=log230，然后算区间（，0）的中点 g（）0，最后算区间（，）的中点g（）0解答：解：（1）由得1x1，所以函数f（x）的定义域为（1，1）； （2）因为f（x）+f（x）=log2+log2=log2=log21=0，所以f（x）=f（x），即f（x）是奇函数 （4）（2）方程f（x）=log2（xk）有实根，也就是方程=xk即k=x在（1，1）内有解，所以实数k属于函数y=x=x+1在（1，1）内的值域 （6）令x+1=t，则t（0，2），因为y=t在（0，2）内单调递增，所以t（，1）故实数k的取值范围是（，1） （8）（3）设g（x）=f（x）x1=log2x1（1x1）因为，且y=log2x在区间（0，+）内单调递增，所以log2log223，即4log23，亦即log2于是g（）=log20 （10）又g（）=log210 （12）由可知，g（）g（）0，所以函数g（x）在区间（，）内有零点x0即方程f（x）=x+1在（，）内有实根x0 （13）又该区间长度为，因此，所求的一个区间可以是（，）（答案不唯一） （14）点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，二分法，以及对数的运算性质，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于基础题属于对数函数的综合题