1、四川省南充市白塔中学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题 理（含解析）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.总分150分.考试时间120分钟.第卷（选择题，满分60分）一、选择题.（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可求得答案.【详解】命题，”为全称命题故其否定为：，故选：D【点睛】解题关键是掌握求全称命题的否定方法，考查了分析能力和推理能力，属于基础题.2.直线（为常数）的倾斜角为（ ）
2、A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将直线方程整理成斜截式，利用斜率与倾斜角的关系列方程求解，即可求得答案.【详解】得：，由可得：.故选：B.【点睛】本题主要考查了求直线的倾斜角，解题关键是掌握直线斜率，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.3.自2019年12月以来，湖北武汉爆发新冠肺炎后，全国人民急需大量口罩.我市某口罩厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种口罩，数量分别为件，件，件为了解它们的口罩质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了件，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】甲、乙、丙三个车间生产的产品数
3、量的比依次为6：4：3，求出乙车间生产产品所占的比例，从而求出的值，即可求得答案.【详解】甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是2400，1600，1200，甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，故：乙车间生产产品所占的比例，样本中乙车间生产产品有40件，占总产品的，样本容量.故选：D【点睛】本题解题关键是掌握分层抽样的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4.直线与平行，则的值等于（ ）A. 或3B. 1或3C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据直线平行的充要条件：两条直线，当()，则，结合条件求得，验证二者是否重合，即可求得值.【详解】根据直线平行的充要条件：两条
4、直线，当()，则与当，可得：由，解得或当时，故舍去当时，满足故故选：C【点睛】本题考查了已知两直线平行求参的问题，要排除两直线重合的情况，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5.若动点满足，则动点的轨迹是（ ）A. 线段B. 圆C. 椭圆D. 双曲线【答案】A【解析】【分析】根据椭圆定义中若，则集合P为椭圆若，则集合P为线段，若，则集合P为空集【详解】动点满足设可得，集合P为线段故选：A【点睛】本题解题关键是掌握椭圆定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.6.与的公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则的值为（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】两圆相交，方
5、程相减得出公共弦方程，注意一般方程满足.【详解】由可得：公共弦方程为.公共弦方程为.可得与轴交点为：，与轴交点为：故公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为：得，.解得或.故选：D【点睛】此题考查通过两圆的公共弦所在直线与坐标轴围成的面积问题求参数的值，需要注意考虑公共弦所在直线不是简单地将两圆方程相减，还需考虑求得参数能否使曲线构成圆，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.7.函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数排除,当时,利用导数得在上递减,在上递增,根据单调性分析不正确,故只能选.【详解】令,则,所以函数为偶函数,其图像关于轴对称,
6、故不正确,当时,由,得,由,得,所以在上递减,在上递增,结合图像分析,不正确.故选:D【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.8.若执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A. B. C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】程序框图：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】,时退出循环输出结果故选：A【点睛】本题主要考查了根据程序框图求输出结果，解题关键是掌握循环框图的求法和对数运算基础知识，考查了分析能力和计算能力
7、，属于基础题.9.椭圆上一点到左焦点的距离是2，是的中点，是坐标原点，则的值为（ ）A. 4B. 8C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】画出图象，椭圆上一点到左焦点的距离是2，是的中点，可得，结合椭圆定义，联立方程组，即可求得的值.【详解】画出图象，如图：椭圆上一点到左焦点的距离是2，是的中点，可得，根据椭圆定义可得：联立方程：解得：=3，故选：C【点睛】本题解题关键是掌握椭圆定义和数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10.已知双曲线(，)的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将椭圆双曲线的离心率表示出
8、来，建立等式，从而得到双曲线的,的关系式，再由渐近线求法可得答案【详解】椭圆椭圆中，椭圆的离心率，双曲线的离心率，双曲线的渐近线方程为，故选：B.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程和双曲线和椭圆的离心率公式，解题关键是掌握椭圆和离心率定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.11.已知函数，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将方程的解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过导数研究函数的单调性即极值，通过对与函数的极值的大小关系的讨论得到结果.【详解】易知当0时，方程只有一个解，所以0令，令得，为函数的极小值点
9、，又关于的方程=在区间内有两个实数解，所以，解得，故选A.【点睛】该题考查的是有关根据方程在某个区间上的根的个数求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将根的个数转化为函数图象交点的个数来完成，属于中档题目.12.长方体中，为该正方体侧面内（含边界）的动点，且满足.则四棱锥体积的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据得到，所以的轨迹是以为焦点 的椭圆，再根据椭圆的几何性质可得到四棱锥的高的最值，即可得到体积的范围.【详解】如图所示：在中，在中，.点的轨迹是以为焦点 的椭圆.如下图所示：，.椭圆的标准方程为：，.联立，解得：.，.当点运动到位置时，此时四棱
10、锥的高最长，.当点运动到或位置时，此时四棱锥的高最短，.综上所述：故选：D.【点睛】本题主要考查计算四棱锥的体积，同时考查了椭圆的几何性质，将立体思想转化为椭圆思想是解题的关键，属于难题.二、填空题.（共4小题，每小题5分，共20分）13.函数在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】设切点由已知可得，即可解得所求【详解】由，得，故，函数在点处的切线方程为函数.即.故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是掌握导数求曲线切线的方法，考查学生的计算能力，比较基础.14.某学生一学期的5次模拟考试中数学平均成绩70，物理平均成绩68.该班主任老师通过研究发现该学生的数学成绩和物理成绩
11、具有线性相关关系，现已知其线性回归方程为，则根据此线性回归方程预测该学生期末考试中数学成绩得90分时的物理成绩为_【答案】75【解析】【分析】由关于的线性回归方程得，即可求得直线方程，将代入线性回归方程，即可求得答案.详解】，.，即线性回归方程为.当时，.故答案为：.【点睛】本题解题关键是掌握线性回归方程必过点，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.在区间上随意选择两个实数，则满足的概率为_【答案】【解析】【分析】由题意，即且，满足此条件的区域是边长为的正方形，找出满足使成立的区域，两部分的面积比为所求【详解】区间上随意选择两个实数，且，使成立的即原点为圆心，以为半径的个圆面外且在正方形
12、内，在区间上随意选择两个实数，则使成立的概率为；故答案为：【点睛】本题主要考查了求几何型概率问题，解题关键是掌握几何型概率求法，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16.若，为自然数，则下列不等式：；，其中一定成立的序号是_【答案】.【解析】【分析】对于根据不等式,作差并构造函数,利用导数证明函数的单调性即可比较大小;对于不等式,根据移项变形,构造函数,通过求即可判断函数的单调性,比较大小即可;对于,构造函数,利用换底公式,求导即可判断函数的单调性,进而比较大小即可.【详解】对于若成立.两边同时取对数可得,化简得因为则,不等式两边同时除以可得令,则当时, ,所以即在内单调递增所以当
13、时,即所以故正确对于若,化简可得令,则由可知在内单调递增而所以在内先负后正因而在内先递减,再递增,所以当时无法判断与的大小关系.故错误.对于,若令利用换底公式化简可得,则当时, 所以,即则在内单调递减所以当时, 即所以正确综上可知,正确的为故答案为: 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,通过构造函数比较不等式大小,对分析问题的能力要求较高,属于难题.三、解答题（本大题共6小题，满分75分解答应写出文字说明及演算步骤）17.已知：，：.（1）若为真，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由：，可得：，即可求得答案.（2）A的
14、充分不必要条件是B是指：即，结合条件，即可求得答案.【详解】（1）：，解得或 故的取值范围为（2）：当真时，记，：.当为真时，记是的充分不必要条件是的充分不必要条件，.即，解得： 故实数的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了求否命题和根据充分条件求参数范围，解题关键是掌握否命题定义和在求关于范围方面的充分条件时，是“小范围推出大范围”，考查了分析能力和推理能力，属于基础题.18.2019年双“十一”结束后，某网站针对购物超过800元的购买者10000者进行调查，得到如下统计表：（1）求的值；（2）从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取7人，再在这7人中随机取出2人，求取到的2人中年龄在、
15、内各一人的概率.【答案】（1）2000人（2）【解析】【分析】（1）由分布表中数据，可以利用各组的频数之和为样本容量来求解，即可求得的值；（2）将问题转化为概率模型，再按照求古典概型的步骤求解.【详解】（1）参与调查的总人数为10000人，由表中数据可得，（人）. （2）由（1）知年龄在的购物者由4000人，年龄在的购物者由2000人，年龄在的购物者由1000人，从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取7人，年龄在的购物者应抽取4人，用、表示，年龄在的购物者应抽取2人，用、表示.年龄在的购物者应抽取1人，用表示. 在这7人中随机取出2人所有可能的情况有：；.共21种情况， 其中取到的2人中在、内
16、各一人有：，共2种情况， 由古典概型的计算公式，所求的概率为.【点睛】本题主要考查了频数之和求参数和古典概型问题，解题关键是掌握古典概型计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.19.如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，分别为的中点.（1）证明：平面.（2）若，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）记的中点为，连接，通过证明，且推出四边形为平行四边形，则，由线线平行推出线面平行；（2）以为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，代入即可求得二面角的余弦值从而求正弦值.【详解】（1）证明：记的中点为，连接，.因为分别为的中点，则，且.因为
17、，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，则.又平面，平面，所以平面.（2）以为原点，分别以，为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则令，则.设平面的法向量为，则令，则.，设二面角为，则，即二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.20.已知经过点，且圆心C在直线上，（1）求的方程；（2）设直线与相交于P、Q两点为坐标原点，若，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）已知条件与圆心和半径有关，则设圆标准方程，依据已知条件列出关于，的方程组，从而求出，的值；（2）设与的夹角为，则，求得，在三角形求得到的距
18、离，根据点到直线的距离公式，即可求得.【详解】（1）设圆心，半径为，圆的标准方程经过点，即，解得，的方程是 （2）设与的夹角为，则.，解得，故画出图象：（只画出时图象）作点可得为等边三角形，故圆心到直线的距离，又.【点睛】本题主要考查了求圆标准方程和根据直线圆的位置关系求参数，解题关键是掌握圆的标准方程和点到直线距离公式，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.已知圆：，过且与圆相切的动圆圆心为.（1）求点的轨迹的方程；（2）已知过点的两直线和互相垂直，且直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点（，为不同的四个点），求四边形的面积的最小值.【答案】（1）（2）最小值为.【解析】【分
19、析】（1）求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）分别讨论当或的斜率不存在和当两条直线的斜率都存在两种情况下四边形的面积，当两条直线的斜率都存在，设的方程为与轨迹的方程联立方程组，根据韦达定理，结合已知条件，即可求得四边形的面积的最小值.【详解】（1）设动圆半径为，由于在圆内，故圆与圆内切，则， 由椭圆定义可知，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为4的椭圆，轨迹的方程为：.（2）当或的斜率不存在时四边形的面积当两条直线的斜率都存在时，设的斜率为，则的斜率为，的方程为，的方程为，联立方程组，得，由韦达定理得设，则，同理可得，当且仅当，即时等号成立.
20、由于，当时，四边形的面积取得最小值为.【点睛】解题关键是掌握圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，采用“设而不求法”并进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决22.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1），分，两种情况讨论；（2）时，单调递增，结合知满足，时，分，三种情况讨论，注意结合到.【详解】（1），.当时，恒成立，的单调递增区间为当时，令，解得，当时，；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当时，在上单调递增，且，有唯一零点，符合题意；当时，在处取得最小值，（）当，即时，符合题意；（）当，即时，存在，使得，不符题意；（）当，即时，设，则，单调递增，即，存在，使得，不符题意；综上，a的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、已知函数的零点求参数取值范围，考查学生逻辑推理与数学运算能力，是一道较难的压轴题.