1、专训一：四种常见的几何关系的探究名师点金：全等三角形的性质和判定是初中数学的重点内容，也是学习其他几何知识的基础，三角形全等的判定和性质是证明线段相等、角相等的重要依据，并由此还可以获得直线之间的垂直(平行)关系，线段(面积)的和、差、倍、分关系 位置关系1如图，已知BEAC，CFAB，BMAC，CNAB.求证：AMAN.(第1题) 相等关系2(2015珠海)已知ABC，ABAC，将ABC沿BC方向平移得到DEF.(1)如图，连接BD，AF，则BD_AF.(填“”，“”或“”号)(2)如图，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF.求证：B
2、HGF.(第2题) 和差关系3如图，BCA，CACB，C，E，F分别是直线CD上的三点，且BECCFA，请提出对EF，BE，AF三条线段之间数量关系的合理猜想，并证明(第3题) 倍数关系4如图，在RtABC中，ABCA，ACB90，D为AB边的中点，EDF90，EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB(或它们的延长线)于点E，F.当EDF绕点D旋转到DEAC于点E时，如图，易证SDEFSCEFSABC；当EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图和图这两种情况下，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，SDEF，SCEF，SABC又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明(第4题)专
3、训二：构造全等三角形的六种常用方法名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决常见的辅助线作法有：构造法、平行线法、旋转法、翻折法、倍长中线法和截长补短法，目的都是构造全等三角形 翻折法1如图，在ABC中，BE是ABC的平分线，ADBE，垂足为D.求证：21C.(第1题) 构造法2如图，在RtABC中，ACB90，ACBC，ABC45，点D为BC的中点，CEAD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：ADCBDF.(第2题) 旋转法3如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为
4、CD上的一点，BEDFEF，求EAF的度数(第3题) 平行线法4在ABC中，BAC60，C40，AP平分BAC交BC于点P，BQ平分ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：ABBPBQAQ.(第4题) 倍长中线法5如图，在ABC中，D为BC的中点(1)求证：ABAC2AD；(2)若AB5，AC3，求AD的取值范围(第5题) 截长补短法6如图，ABCD，CE，BE分别平分BCD和CBA，点E在AD上求证：BCABCD.(第6题)专训三：全等三角形的四种常见实际应用名师点金：利用三角形全等解决实际问题的步骤：(1)明确应用哪些知识来解决实际问题；(2)根据实际问题抽象出几何图形；(3)结
5、合图形和题意分析已知条件；(4)找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚 利用三角形全等测量池塘两端的距离1如图，为了测量出池塘两端A，B之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使ACB90，然后在BC的延长线上确定点D，使CDBC，那么只要测量出AD的长度就得到了A，B两点之间的距离你能说明其中的道理吗？(第1题) 利用三角形全等测量物体的内径2如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，动手制作一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x.(第2题) 利用三角形全等判断三点是否共线3如图，公园里有一条“Z”形道路ABCD，其中ABCD，在AB，BC，CD三段路路旁各有一个
6、石凳E，M，F，且BECF，石凳M在BC的中点处，试判断三个石凳E，M，F是否恰好在一条直线上？为什么？(第3题) 利用三角形全等解决工程中的问题4如图，工人师傅要在墙壁的点O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚35 cm，点B与点O的垂直距离AB长20 cm，在点O处作一直线平行于地面，再在直线上截取OC35 cm，过点C作OC的垂线，在垂线上截取CD20 cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理？(第4题)专训四：几类常见的热门考点名师点金：本章主要学习了全等三角形的性质与判定，其考查形式有利用全等三角形证明线段或角的数量关系，求线段的长
7、度或角的度数，判断位置关系，以及利用全等三角形解决实际问题等 全等三角形的性质1如图，已知ABEACD，12，BC，下列等式中不正确的是()(第1题)AABACBBAECADCBDCEDADDE2已知ABCABC，AA50，BB60，AB15 cm，则C的度数为_，AB的长度为_3如图，已知ABCADE，BC边的延长线交AD于点F，交AE的延长线于点G，ACB105，CAD15，ADE25，求DFB和G的度数(第3题) 全等三角形的判定4在ABC和ABC中，下列各组条件中，不能判定ABCABC的是()ABAB；BCBC；ACAC；AA；BB；CC.A具备 B具备C具备 D具备(第5题)5如图，
8、已知BCEC，AD，要使ABCDEC，则应添加的一个条件为_(只需填一个)6(中考宁德)如图所示，点D，A，C在同一直线上，ABCE，ABCD，BD.求证：ABCCDE.(第6题) 全等三角形的性质与判定的综合应用7如图，ADAE，BDCE，ADBAEC100，BAE70，下列结论错误的是()(第7题)AABEACDBABDACECDAE40DC308(2014黄冈)如图所示，ABAC，BDCD，DEAB交AB的延长线于点E，DFAC交AC的延长线于点F.求证：DEDF.(第8题)9如图，在RtABC中，ACB90，点D，F分别在AB，AC上，CFCB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋
9、转90后得CE，连接EF.(第9题)(1)求证：BCDFCE；(2)若EFCD，求BDC的度数 全等三角形在实际问题中的应用10某校七(3)班学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B之间的距离，设计了如下方案：方案一：如图，先在平地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC，BC，并延长AC到点D，延长BC到点E，使DCAC，ECBC，最后测出DE的长即为A，B之间的距离(第10题)方案二：如图，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BCCD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，测出DE的长即为A，B之间的距离阅读后回答下列问题：(1)方案一是否切实可行？_，理由是_
10、.(2)方案二是否切实可行？_，理由是_.(3)方案二中作BFAB，EDBF的目的是_；若ABDBDE，但不一定垂直，方案二是否成立？_ 数学思想方法的应用a转化思想11如图，ABDC，AD.求证：ABCDCB.(第11题)b分类讨论思想12如图，在ABC中，BC，AB10 cm，BC8 cm，D为AB的中点点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动当BPD与CQP全等时，求点P运动的时间(第12题)c类比思想13在ABC中，若AD是BAC的平分线，E点和F点分别在AB和AC上，且DEAB，垂足为E
11、，DFAC，垂足为F，如图，则可以得到以下两个结论：AEDAFD180；DEDF.那么在ABC中，仍然有条件“AD是BAC的平分线，点E和点F分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：(1)若AEDAFD180，如图，则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请说明理由(2)若DEDF，则AEDAFD180是否成立？(只写出结论，不证明)(第13题)答案专训一1证明：如图，BEAC，CFAB，1BAC90，2BAC90.12.又BMCA，ABNC，ABMNCA.3N.N490，3490，即MAN90.AMAN.(第1题)(第2题)2(1)(2)证明：将DEF沿FE方向平移，使点E与点C重合
12、，设ED平移后与MN相交于R，如图，MNBC，RCEH，GRCRHEDEF，RGCGCB，易得GRCRGC，过点C作CZGR，CZRCZG90，又CZCZ，CZRCZG，CRCG.又MNBF，CREH，四边形RCEH为平行四边形，CREH.CGHE.由平移的性质得BCEF，BCCECEEF，即BECF.易得HEBGCF，BEHFCG(SAS)，BHFG.3解：猜想：EFBEAF.证明：BCECBEBEC180，BCEACFBCA180，BCABEC，CBEACF.又BECCFA，CBAC，BECCFA(AAS)BECF，ECFA.EFCFECBEAF.(第4题)4解：在题图(2)中结论仍成立；
13、在题图(3)中不成立对于题图(2)证明如下：如图，过点D作DMAC，DNBC，垂足分别为M，N，则DMEDNFMDN90.又AABC，AMDBND90，且易知DADB，ADMBDN，DMDN.MDEEDNMDN90，EDNNDFEDF90，MDENDF.DMEDNF.S四边形DMCNS四边形DECFSDEFSCEF.由题图(1)可知S四边形DMCNSABC，SDEFSCEFSABC.在题图(3)中，SDEF，SCEF，SABC之间的关系是SDEFSCEFSABC.专训二1证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)BE平分ABC，ABE
14、CBE.BDAD，ADBBDF90.在ABD和FBD中，ABDFBD(ASA)2DFB.又DFB1C，21C.(第1题)(第2题)2证明：如图，过点B作BGBC交CF的延长线于点G.ACB90，2ACF90.CEAD，AEC90，1ACF180AEC1809090.12.在ACD和CBG中，ACDCBG(ASA)ADCG，CDBG.点D为BC的中点，CDBD.BDBG.又DBG90，DBF45，GBFDBGDBF904545.DBFGBF.在BDF和BGF中，BDFBGF(SAS)BDFG.ADCBDF.点拨：本题运用了构造法，通过作辅助线构造CBG、BGF是解题的关键3解：如图，延长CB到点
15、H，使得BHDF，连接AH.ABE90，D90，DABH90.在ABH和ADF中，ABHADF.AHAF，BAHDAF.BAHBAFDAFBAF，即HAFBAD90.BEDFEF，BEBHEF，即HEEF.在AEH和AEF中，(第3题)AEHAEF.EAHEAF.EAFHAF45.点拨：图中所作辅助线，相当于将ADF绕点A顺时针旋转90，使AD边与AB边重合，得到ABH.4证明：过点O作ODBC交AB于点D，ADOABC.BAC60，C40，ABC80.ADO80.BQ平分ABC，QBC40.AQBCQBC80.ADOAQB.易知DAOQAO，OAOA，ADOAQO.ODOQ，ADAQ.又OD
16、BP，PBODOB.又PBODBO，DBODOB.过点D作DMBQ，DMBDMO90.又DMDM，DMBDMO.BDOD.BDOQ.BAC60，ABC80，BQ平分ABC，AP平分BAC，BAP30，ABQ40，BOP70.BAP30，ABC80，APB70.BOPAPB，过点B作BNOP，BNOBNP90，又BNBN，BNOBNP.BOBP.ABBPADDBBPAQOQBOAQBQ.5(1)证明：延长AD至点E，使DEAD，连接BE.D为BC的中点，CDBD.又ADED，ADCEDB，ADCEDB.ACEB.ABBEAE，ABAC2AD.(2)解：ABBEAEABBE，ABAC2ADABAC
17、.AB5，AC3，22AD8.1AD4.点拨：本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题转化为证全等，从而利用全等三角形的性质解决问题6证明：方法一：如图，在BC上取一点F，使BFBA.连接EF.CE，BE分别平分BCD和CBA，34，12.在ABE和FBE中，ABEFBE(SAS)A5.ABCD，AD180.而56180，6D.在EFC和EDC中，EFCEDC(AAS)，FCDC.BCBFCFABCD.(第6题)方法二：如图，分别延长BA，CE交于点F.ABCD，ABCBCD180.CE，BE分别平分BCD和CBA，12ABC，34BCD.23(ABCBCD)9
18、0.BEC90.BEFBEC90.在BEC和BEF中，BECBEF(ASA)BCBF，ECEF.ABCD，7D，F4.在EAF和EDC中，EAFEDC(AAS)FACD.BCBFBAAFABCD.点拨：本题运用了两种不同的方法解题，方法一是截长法，方法二是补短法，这两种方法都是证明线段和、差或不等关系的常用方法，用这两种方法解题的关键是通过截长法或补短法构造全等三角形，将分散的和差线段转化为同一直线上的和差线段专训三1解：因为ACB90，所以ACD180ACB90.在ABC和ADC中，所以ABCADC(SAS)所以ABAD.(第2题)2解：可设计如图所示的工具，其中ACBD，O为AC，BD的中
19、点在AOB和COD中，所以AOBCOD(SAS)所以ABCD，即CD的长就是A，B间的距离测出CD的长为b.因为ABa2x，所以x.3解：三个石凳E，M，F恰好在一条直线上理由：分别连接EM，MF.ABCD，BC，M是BC的中点，BMCM，在BEM和CFM中，BEMCFM(SAS)BMECMF.又BMFCMF180，BMFBME180.三个石凳E，M，F恰好在一条直线上4解：在AOB和COD中，所以AOBCOD(SAS)所以AOBCOD.又因为AOBBOC180，所以BOCCOD180，即BOD180.所以D，O，B三点在同一条直线上所以钻头沿着DO的方向打孔，一定从点B处打出专训四1D270
20、；15 cm3解：CAD15，ACB105，AFCACBCAD1051590.DFB180AFC1809090.ABCADE，ABCADE25.CAB180(ABCACB)180(25105)50.DAECAB50.G180905040.4B5ACBDCE或BCEACD或BE6证明：ABCE，BACDCE.在ABC和CDE中，ABCCDE(ASA)7C8证明：连接AD.ABAC，BDCD，ADAD，ABDACD，ABDACD，DCFDBE.又DFCDEB90，DCDB.DFCDEB，DFDE.9(1)证明：CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE，CDCE，DCE90.ACB90，BCD90AC
21、DFCE.在BCD和FCE中.BCDFCE.(2)解：由BCDFCE，得BDCE.EFCD，E180DCE90.BDC90.10解：(1)可行；满足边角边判定法可判定ABCDEC，因而ABDE(2)可行；满足角边角判定法，可判定ABCEDC，因而ABDE(3)使ABCEDC；成立(第11题)11证明：如图，分别取AD，BC的中点N，M，连接BN，CN，MN，则有ANND，BMMC.在ABN和DCN中，ABNDCN(SAS)ABNDCN，NBNC.在NBM和NCM中，NBMNCM(SSS)NBCNCB.NBCABNNCBDCN，即ABCDCB.点拨：添加辅助线构造全等三角形是常用的解题方法，辅助
22、线的添加以能创造已知条件为上策，如本题取AD，BC的中点就是把中点作为已知条件，构造全等三角形，将证明角相等，转化为证明三角形全等，分散证明，体现了转化思想的运用12解：D为AB的中点，AB10 cm，BDAD5 cm.设点P运动的时间是x s，则BPCQ3x cm，CP(83x)cm.若BD与CQ是对应边，则BDCQ，53x，解得x，此时BP35(cm)，CP853(cm)，BPCP，故舍去；若BD与CP是对应边，则BDCP，583x，解得x1，符合题意综上，点P运动的时间是1 s.点拨：由BC可知DP与PQ是对应边，而其他两组对应边的对应关系不确定，因此要分BD与CQ是对应边、BD与CP是对应边两种情况考虑，体现了分类讨论思想的运用(第13题)13解：(1)相等证明：如图，作DGAB，DHAC，垂足分别为G，H.AD是BAC的平分线，DAGDAH，DGAB，DHAC，AGDAHD90，又ADAD，AGDAHD，DGDH.AEDAFD180，DFHAFD180，AEDDFH.在GDE和HDF中，GDEHDF.DEDF.(2)成立点拨：本题运用了类比思想，由题图(1)联想到题图(2)辅助线的作法探究中的两个小题只是交换了已知和结论，考虑(2)题时要在(1)题的基础上逆向思考