1、主题2021新高考八省市联考及创新好题主题三情境创新之创新思维1.2021福建师大附中模拟数学建模掷铁饼者取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的手臂长约为4米,肩宽约为8米,“弓”所在圆的半径约为1.25米,则掷铁饼者双手之间的距离约为()A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.954米2.条件创新已知过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2+x1x2+y1y2=0,则直线l的斜率为()A.12B.2
2、C.12D.23.逻辑推理材料一:已知三角形三边长分别为a, b, c,则三角形的面积为S=p(p-a)(p-b)(p-c),其中p=a+b+c2,这个公式被称为海伦-秦九韶公式.材料二:阿波罗尼奥斯(ApollonIus)在圆锥曲线论中提出椭圆定义:我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.根据材料一或材料二解答:已知ABC中,BC=4,AB+ AC=6,则ABC面积的最大值为()A.5B.3C.25D.64.探索创新已知正三棱锥纸模P-ABC,ABC的边长为43,侧棱长为21,沿PA,PB,PC将三棱锥剪开得到一个多边形P1AP2BP3C,若
3、小花想用一张圆形纸裁剪一个相同的多边形,并折叠成正三棱锥形礼盒,则圆形纸的半径至少为()A.3B.4C.5D.65.理性思维已知数列an满足a2n+1+a2n=4n-1,a2n-a2n-1=4n-3,若数列an的前50项和为1 273,则a3=()A.0B.-1C.1D.26.2021八省市新高考适应性考试条件创新已知a5且ae5=5ea,b4且be4=4eb,c3且ce3=3ec,则()A.cbaB.bcaC.acbD.abx1时,不等式f(x1)-ax1x2f(x2)-ax2x1恒成立,则实数a的取值范围为.11.结构不良在cos C=217,asInC=ccos(BAC-6)这两个条件中
4、任选一个,补充在下面问题中的横线处,并完成解答.问题:ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=3,D是边BC上一点,BD=5,AD=7,且,试判断CD和BD的大小关系.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.12.探索创新甲、乙两同学在复习数列知识时发现曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏,一个条件看不清了,具体如下:等比数列an的前n项和为Sn,已知,(1)判断S1,S2,S3的关系.(2)若a1-a3=3,设bn=n12|an|,记bn的前n项和为Tn,证明:Tn43.甲同学记得缺少的条件是首项a1的值,乙同学记得缺少的条件是公比q的值,并且他俩都记得第(1)问的答案是S1
5、,S3,S2成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的,请你通过推理把条件补充完整并解答此题.13.决策问题某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”,经过层层选拔,甲、乙两个班级进入最后决赛,规定回答1个相关问题后做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级4名选手,现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题.已知甲班级这4人中有3人可以正确回答这个问题,而乙班级这4人中每人能正确回答这个问题的概率均为34,甲、乙两个班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的.(1)求甲、乙两个班级各抽取的2人都能正确回答问题的概率;(2)设甲、乙两个班级被抽取的选手中
6、能正确回答问题的人数分别为X,Y,求随机变量X,Y的期望E(X),E(Y)和方差D(X),D(Y),并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好?答 案主题三情境创新之创新思维1.B由题意画出示意图,如图D 3-1所示,则AB的长为24+8=58(米),OA=OB=1.25米,AOB=581.25=2.所以AB=2OAsin 4=542米1.768米.即掷铁饼者双手之间的距离约为1.768米.图D 3-12.D由题意可设直线l的方程为my=x-1,联立方程,得my=x-1,y2=4x,消去x,得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,则x1x2=y124y224=y12y221
7、6=1,x1+x2=(my1+1)+ (my2+1)=m(y1+y2)+2=4m2+2,则由题意知4m2+2+1-4=0,即4m2-1=0,解得m=12,所以直线l的斜率为1m=2,故选D.3.C(选材料一) 不妨设AB=x,则AC=6-x,根据三角形三边间的关系,得1x0,则f(x)=(x-1)exx2.由f(x)0得x1,由f(x)0得0x1,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以f(3)f(4)f(5),因为f(5)=f(a),f(4)=f(b),f(3)=f(c),所以f(c)f(b)f(a).画出函数f(x)的大致图象,如图D 3-3所示,故0abcx1时,
8、不等式x1f(x1)-ax12x2f(x2)-ax22恒成立,设g(x)=xf(x)-ax2=ex-ax2,则g(x)在x(0,+)上是增函数,则g(x)=ex-2ax0在(0,+)上恒成立,即2aexx在(0,+)上恒成立.令m(x)=exx,则m(x)=(x-1)exx2,当x(0,1)时,m(x)0,m(x)单调递增.所以2am(x)min=m(1)=e,所以ae2.11.设AB=x,在ABD中,由余弦定理可得,49=x2+25-2x5cos3=x2+25-5x,即x2-5x-24=0,解得x=8或x=-3(舍去).选条件.由cos C=217且0C,得sin C=277,在ABC中,B
9、AC+B+C=,sinBAC=sin(B+C)=sin BcosC+cosBsinC=32217+12277=5714,在ABC中,由正弦定理可得,BC5714=8277,解得BC=10,CD=BD=5.选条件.由题意及正弦定理可得,sinBACsinC=sin Ccos(BAC-6)=sin C(32cosBAC+12sinBAC)=32cosBACsinC+12sinBACsinC,12sinBACsinC=32cosBACsinC,BAC,C为三角形ABC的内角,sin C0,tanBAC=3,BAC=3,又B=3,ABC为等边三角形,BC=AB=8,CD=BC-BD=3,CDBD.12
10、.设等比数列an的公比为q,则S1=a1,S2=a1+a1q,S3=a1+a1q+a1q2.又S1,S3,S2成等差数列,所以S1+S2=2S3,即a1+a1+a1q=2a1+2a1q+2a1q2,整理可得a1q(1+2q)=0.由于在等比数列an中,a10,q0,所以q=-12,故乙同学记得的缺少的条件是正确的.故补充的条件为q=-12.(1)由题意可得S1=a1,S2=a1+a2=a1-12a1=12a1,S3=a1+a2+a3=a1-12a1+14a1=34a1,可得S1+S2=2S3,即S1,S3,S2成等差数列.(2)由a1-a3=3,可得a1-14a1=3,解得a1=4,则bn=n
11、12|an|=n12|4(-12)n-1|=23n(12)n,则Tn=23(112+214+318+n12n),12Tn=23(114+218+3116+n12n+1),上面两式相减可得,12Tn=23(12+14+18+116+12n-n12n+1)=2312(1-12n)1-12-n12n+1,化简可得Tn=43(1-n+22n+1),由1-n+22n+11,可得Tn43.13.(1)甲、乙两个班级各抽取的2人都能正确回答问题的概率P=C32C42(34)2=932.(2)甲班级能正确回答问题的人数为X,X的所有可能取值为1,2,P(X=1)=C31C11C42=12,P(X=2)=C32C42=12,则E(X)=112+212=32,D(X)=(1-32)212+(2-32)212=14.乙班级能正确回答问题的人数为Y,Y的所有可能取值为0,1,2,且YB(2,34),E(Y)=234=32,D(Y)=23414=38.由E(X)=E(Y),D(X)D(Y)知,由甲班级代表学校参加大赛更好.
