1、绝密启用前宁夏六盘山高级中学2020届高三第二次模拟考试理科数学试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设是
2、虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.集合，若则实数的值为 A. 0B. 1C. 2D. 43.等差数列的首项为1，公差不为，若，成等比数列，则数列的前项的和为 A. B. C. 3D. 84.设向量，则与垂直的向量可以是 ( )A.B. C. D. 5.用一平面去截体积为的球，所得截面的面积为，则球心到截面的距离为A. 2B. C. D. 16.的展开式中的系数为 （ ）A. B. C. 40D. 807.下列命题中，错误命题是A. “若则的逆命题为真.B. 线性回归直线必过样本点的中心.C. 在平面直角
3、坐标系中到点和的距离的和为的点的轨迹为椭圆.D. 在锐角中，.8.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的 A.B. CD. 9.已知圆的一条切线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A.B.C.D. 10.将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：；是等边三角形；所成的角为；所成的角为其中错误的结论是 （ ）A. B. C. D. 11.函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是
4、 ( )A.B. C. D. 12.在矩形中，,动点在以点为圆心且与相切的圆上若，则的最大值为 ( )A.B. C.D. 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，则_14. 函数的部分图象如图所示，则的值是_15. 若数列满足，_.16.“解方程”有如下思路；设，则在上单调递减，且，故原方程有唯一解，类比上述解题思路，不等式的解集是_三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23为选考题，考生根据
5、要求作答17.(本小题满分12分)在中，内角所对的边分别是，已知，.求的值；.求的值18. (本小题满分12分)某公司人数众多为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐为了解员工手机流量使用情况，按照男员工和女员工的比例分层抽样，得到名员工的月使用流量单位：的数据，其频率分布直方图如图所示.求的值，并估计这名员工月使用流量的平均值（同一组中的数据用中点值代表.若将月使用流量在以上（含）的员工称为“手机营销达人”，填写下面的列联表，能否有超过的把握认为“成为手机营销达人与员工的性别有关”；男员工女员工合计手机营销达人5非手机营销达人合计200参考公式及数据：，其中.若这名员工中有名男
6、员工每月使用流量在，从每月使用流量在的员工中随机抽取名进行问卷调查，记女员工的人数为, 求 的分布列和数学期望19.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥中， ,，E为CD的中点.求证：；.求二面角的余弦值20. (本小题满分12分) 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为.求椭圆的标准方程；.不过原点的直线与椭圆交于两点，若三直线的斜率成等比数列，求直线的斜率及的值21. (本小题满分12分)已知函数，且.求；.证明：存在唯一的极大值点，且选考题：共10分，请考生在22,、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分22. 选考题(本小题满分10分) 在直角坐标系中，曲线的参
7、数方程,以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.写出曲线的极坐标方程；.设点的极坐标为，过点的直线与曲线相交于两点，若，求的弦长23. 选考题(本小题满分10分) .设函数证明：；.若实数满足，求证：绝密启用前宁夏六盘山高级中学2020届高三第二次模拟考试理科数学试卷（答案）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B解：，当为纯虚数时，且，若，则或，此时充分性不成立，若且，则成立，即
8、必要性成立，则“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件故选B2集合，若，则实数a的值为 A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】D解：集合，因为，当时，此时满足条件，故选D3.等差数列的首项为1，公差不为若，成等比数列，则前6项的和为 A. B. C. 3D. 8【答案】A解：设等差数列的公差为d，由题意得，成等比数列，解得，前6项的和为故选A4.设向量，则与垂直的向量可以是A. B. C. D. 【答案】A解：向量，与垂直的向量可以是故选：A5.用一平面去截体积为的球，所得截面的面积为，则球心到截面的距离为 A. 2B. C. D. 1【答案】C解：球的体积，则球的半径是，截面的面积为，则截面
9、圆的半径是，所以球心到截面的距离为故选C6.的展开式中的系数为A. B. C. 40D. 80【答案】C解：的展开式的通项公式：令，解得令，解得x项：，y项：，的展开式中的系数为故选C7.下列命题中，错误命题是A. “若，则”的逆命题为真B. 线性回归直线必过样本点的中心C. 在平面直角坐标系中到点和的距离的和为的点的轨迹为椭圆D. 在锐角中，有【答案】C解：选项A：“若，则”的逆命题为：若，则，显然是真命题；选项B：线性回归直线必过样本点的中心，所以B正确；选项C：因为点和之间的距离为，所以在平面直角坐标系中到点和的距离的和为的点的轨迹为线段，所以C不正确选项D：在锐角中，有，则，所以，可得
10、，所以D正确；故选：C8.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的 A. B. C. D. 【答案】C解：时，时，时，时，退出循环，此时解得，故选：C9.已知圆的一条切线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B解：由题意，圆心到直线的距离，圆的一条切线与双曲线C：没有公共点，又，双曲线的离心率的取值范围故选B10.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，有
11、如下四个结论： ；是等边三角形；与平面BCD所成的角为；与CD所成的角为其中错误的结论是A. B. C. D. 【答案】C解：取BD的中点E，则，又，平面AEC，平面AEC，面AEC平面AEC，故正确；设正方形边长为a，则，为二面角所成平面角，又二面角为直二面角，则，为等边三角形，故正确；，则，又，平面BCD，平面BCD，平面BCD，为AB与面BCD所成的角，为，故不正确；以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，则0，0，即AB与CD所成的角为，故正确故选C11.函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B解：由题意可知，定义域为，令
12、，解得，函数有两个不同的零点，且当，单调递增；当，单调递减，即在上取得极大值，解得，故实数m的取值范围是故选B12.在矩形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为A. 3B. C. D. 2【答案】A解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，圆的方程为，设点P的坐标为，其中，故的最大值为3，故选A二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，则_【答案】
13、解：由题意，使用移动支付的人数X服从二项分布，则，解得或，又，即，化简得，解得，所以故答案为14.函数是常数， 的部分图象如图所示，则的值是_【答案】解：根据函数是常数，的部分图象，得，再根据五点法作图可得，则取，故，故答案为15. 若数列满足，则_ 【答案】解：因为，所以当时，两式相减得：，即，所以，由可知，所以故答案为16. “解方程”有如下思路；设，则在R上单调递减，且，故原方程有唯一解，类比上述解题思路，不等式的解集是_【答案】解：不等式变形为，；令，则；考察函数，知在R上为增函数，；不等式可化为，解得或；不等式的解集为：故答案为四、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演
14、算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23为选考题，考生根据要求作答17.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，已知，求b的值；求的值【答案】解：.在中，由正弦定理，可得，又，可得，又，所以由余弦定理可知：，即，可得.由，可得，所以，所以18.某公司人数众多为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐为了解员工手机流量使用情况，按照男员工和女员工的比例分层抽样，得到200名员工的月使用流量单位：的数据，其频率分布直方图如图所示.求a的值，并估计这200名员工月使用流量的平均值同一组中的数据用中点值代表；.若将月使用流量在800M以上含的员工称为“手机营销达人
15、”，填写下面的列联表，能否有超过的把握认为“成为手机营销达人与员工的性别有关”；男员工女员工合计手机营销达人5非手机营销达人合计200参考公式及数据：，其中k.若这200名员工中有2名男员工每月使用流量在，从每月使用流量在的员工中随机抽取3名进行问卷调查，记女员工的人数为求X的分布列和数学期望【答案】解：.由已知：，由已知得列联表如下：男员工女员工合计手机营销达人53540非手机营销达人45115160合计50150200由表中数据可得：的观测值 所以有超过的把握认为“手机营销达人与员工的性别有关”由频率分布直方图可得在的员工共有： 人， X的取值为1，2，3， ， ， ， 所以分布列如下：X
16、123P所以19. 如图所示，四棱锥中，底面ABCD，E为CD的中点求证：平面PBC；求二面角的余弦值【答案】证明：，又，是CD的中点，是等边三角形，又平面PBC，平面PBC，平面PBC由可知，以A为原点，以AB，AE，AP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则0，0，1，3，2，0，1，3，2，设平面PBC的法向量为，平面PCD的法向量为，则，令得0，令得1，二面角的余弦值为20已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为.求椭圆C的标准方程；.不过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点，若三直线OM、l、ON的斜率，k，成等比数列，求直线l的斜率及的值【答案】解：.依题意得，又，椭圆C的方
17、程为.设直线l的方程为， 由得，由题设知，此时，则，故直线l的斜率为21.已知函数，且.求a；.证明：存在唯一的极大值点，且【答案】解：因为，则等价于，求导可知则当时，即在上单调递减，所以当时，矛盾，故因为当时，当时，所以，又因为，所以，解得；另解：因为，所以等价于在时的最小值为，所以等价于在处是极小值，所以解得；证明：由可知，令，可得，记，则，令，解得：，所以在区间上单调递减，在上单调递增，所以，从而有解，即存在两根，且不妨设在上为正、在上为负、在上为正，所以必存在唯一极大值点，且，所以，由可知；由可知，所以在上单调递增，在上单调递减，所以；综上所述，存在唯一的极大值点，且22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系写出曲线C的极坐标方程；设M的极坐标为，过点M的直线l与曲线C相交于A，B两点，若，求AB的弦长【答案】解：曲线C的参数方程为为参数，曲线C的直角坐标方程为，曲线C的极坐标方程为，即曲线C的极坐标方程为；由点M的极坐标为，直角坐标为，设直线l的参数方程是为参数，曲线C的直角坐标方程是，联立，得，且，则，或，的弦长23.设函数证明：；若实数x，y，z满足，求证：【答案】证明：由，有， 又，当且仅当时取等号所以；实数x，y，z满足，由柯西不等式得：，当且仅当即，时取“”号，整理得：，