1、绝密启用前宁夏六盘山高级中学2020届高三第一次模拟考试理科数学试卷注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知,是虚数单
2、位，若，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知集合，则( )A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ）A.BCD4. 设向量满足，则（ ）A. B. C. D.5. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 6. 已知的三个内角所对的边分别为，若，且，则的面积( )A. B. C. D. 7. 算法统宗是我国古代数学名著，有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了有筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输入的的值为4，则输出的的值为（ ）
3、是否输出结束输入开始A. B. C. D. 8. 琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座，每雅安排一节，连排八节.则“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率为( )A. B. C. D. 9. 已知底面为长方形的四棱锥中，平面，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 10. 已知函数，且，则（ ）A. 或 B. C. D. 或 11. 已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若存在，使得不等式有解，则实数的最大值为( )A. B. C. D. 12. 已知是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两
4、点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 曲线在点处的切线方程为_.14. 若满足约束条件，则的最大值是_.15. 若，是第三象限角，则_.16. 在矩形中，为中点，将和分别沿翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为_.三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23为选考题，考生根据要求作答（一） 必考题：共60分.17. （本小题满分12分）已知数列满足，设（）证明数列是等差数列，并求其通项公式；（）若，求数列的前项和.1
5、8. （本小题满分12分）在某企业中随机抽取了5名员工测试他们的艺术爱好指数和创新灵感指数，统计结果如下表（注：指数值越高素质越优秀）：艺术爱好指数23456创新灵感指数33.544.55（I） 求创新灵感指数关于艺术爱好指数的线性回归方程；（II） 企业为提高员工的艺术爱好指数，要求员工选择音乐和绘画中的一种进行培 训，培训音乐次数对艺术爱好指数的提高量为，培训绘画次数对艺术爱好指数的提高量为，其中为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数.艺术爱好指数已达到3的员工甲选择参加音乐培训，艺术爱好指数已达到4的员工乙选择参加绘画培训，在他们都培训了20次后，估计谁的创新灵感指数更高？参考公式：回归
6、方程中，.参考数据：，19. （本小题满分12分） 已知抛物线与圆相交于两点，且点的横坐标为.是抛物线的焦点，过焦点的直线与抛物线相交于不同的两点.（I） 求抛物线的方程.（II） 过点作抛物线的切线，是的交点，求证：点在定直线上.20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，且.（I）证明：平面（II）当直线与平面所成角的正切值为时，求锐二面角的余弦值.21. （本小题满分12分）已知函数，.（I） 证明：当时，.（II） 若函数在有两个零点，证明：.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22. （本小题满分10分）选修
7、4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为：.（I） 求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（II） 设点的直角坐标为，若直线与曲线分别交于两点，求的值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数.（I） 求函数的最小值及取得最小值时的的取值范围.（II） 若集合，求实数的取值范围.绝密启用前宁夏六盘山高级中学2020届高三第一次模拟考试理科数学试卷注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.
8、5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的24. 已知,是虚数单位，若，则（ ）A. B. C. D. 【解析】D. 以为复数，所以，故选D25. 已知集合，则( )A. B. C. D. 【解析】C 因为，所以，故选C26. 函数的图象大致为（ ）A BCD【
9、解析】由表达式可知，函数为偶函数，排除A，当时，为正，所以，B正确.故选：B27. 设向量满足，则（ ）A. B. C. D.【解析】D.由已知得，得，所以 28. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）B. B. C. D. 【解析】A. 因为双曲线的离心率为，则，所以，所以渐近线方程为，故选A .29. 已知的三个内角所对的边分别为，若，且，则的面积( )A. B. C. D. 【解析】B.因为，所以有正弦定理得，又因为，所以，由余弦定理得，所以，.故选B.30. 算法统宗是我国古代数学名著，有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了有筹算到珠算的转变，对我国
10、民间普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输入的的值为4，则输出的的值为（ ）是否输出结束输入开始B. B. C. D. 【解析】C.31. 琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座，每雅安排一节，连排八节.则“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率为( )B. B. C. D. 【解析】 C.对八雅进行全排列，方法总数为种，满足“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的方法书为种，则所求概率为，故选C.32. 已知底面为长方形的四棱锥中，平面，为中点，则异面
11、直线与所成角的余弦值为（ ）B. B. C. D. 【解析】D. 如图，去PB 中点F,连接AF，EF，因为E为PD中点，所以EF/BD，所以AEF（或补角）为异面直线与所成角.由已知得，所以，故选D.33. 已知函数，且，则（ ）B. 或 B. C. D. 或 【解析】A. 因为，所以函数图象关于对称，所以，所以或，故选A. 34. 已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若存在，使得不等式有解，则实数的最大值为( )B. B. C. D. 【解析】 B.因为函数为偶函数，为奇函数，且满足，所以，得，由得，由于为增函数，所以当时函数取得最大值，故，即实数的最大值为，故选B.35. 已知是椭圆的左
12、、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 【解析】A. 依次构成等差数列，设公差为，根据椭圆的定义得，因为，所以，所以，解得，所以，所以在和中，由余弦定理得，整理得，故选A .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分36. 曲线在点处的切线方程为_.答案：【解析】：因为，所以，所以在点处的切线方程为，即：.37. 若满足约束条件，则的最大值是_.答案：438. 若，是第三象限角，则_.答案：【解析】39. 在矩形中，为中点，将和分别沿翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为_.答案：【解析】由题意知，所以，设外接圆的
13、半径为，则有正弦定理可得，所以，设三棱锥的外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为.四、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23为选考题，考生根据要求作答（二） 必考题：共60分.40. （本小题满分12分）已知数列满足，设（）证明数列是等差数列，并求其通项公式；（）若，求数列的前项和.41. （本小题满分12分）在某企业中随机抽取了5名员工测试他们的艺术爱好指数和创新灵感指数，统计结果如下表（注：指数值越高素质越优秀）：艺术爱好指数23456创新灵感指数33.544.55（I） 求创新灵感指数关于艺术爱好指数的线性回
14、归方程；（II） 企业为提高员工的艺术爱好指数，要求员工选择音乐和绘画中的一种进行培训，培训音乐次数对艺术爱好指数的提高量为，培训绘画次数对艺术爱好指数的提高量为，其中为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数.艺术爱好指数已达到3的员工甲选择参加音乐培训，艺术爱好指数已达到4的员工乙选择参加绘画培训，在他们都培训了20次后，估计谁的创新灵感指数更高？参考公式：回归方程中，.参考数据：，解析：（I）设，有，（）员工甲经过20次的培训后，估计他的艺术爱好指数将达到，因此估计他的创新灵感指数为员工乙经过20次的培训后，估计他的艺术爱好指数将达到，因此估计他的创新灵感指数为由于，故培训后乙的创新灵感指数
15、更高42. （本小题满分12分） 已知抛物线与圆相交于两点，且点的横坐标为.是抛物线的焦点，过焦点的直线与抛物线相交于不同的两点.（III） 求抛物线的方程.（IV） 过点作抛物线的切线，是的交点，求证：点在定直线上.【解析】（I）点的横坐标为，所以点的坐标为，2分代入解得，所以抛物线的方程为4分 （）抛物线，则，设5分所以切线的方程为，即同理切线的方程为7分联立解得点9分设直线的方程为，代入得，所以 11分所以点在上，结论得证.12分43. 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，且.（I）证明：平面（II）当直线与平面所成角的正切值为时，求锐二面角的余弦值.解：（I） 证明： 四边形为平行四
16、边形， ，2分 在中，. ，即，3分 又平面，4分又 平面5分（II） 由（I）知，是直线与平面所成角， ， 又平面，.6分 是等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则有： ，7分由已知是平面的法向量， 8分设平面的法向量为， 10分， 11分 锐二面角的余弦值 12分44. 已知函数，.（III） 证明：当时，.（IV） 若函数在有两个零点，证明：.解析：（I），2分 当时， 在区间上单调递增 3分 ，不等式成立. 4分 （）函数在有两个零点，即方程在区间上有两解，5分 令，则 令，在区间单调递增6分又，故存在唯一的实数，使得，即8分所以在上单调递减，在区间上单调递增，且，9分，又因为，所
17、以，11分方程关于的方程在上有两个零点，由的图象可知，即.12分（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为：.（III） 求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（IV） 设点的直角坐标为，若直线与曲线分别交于两点，求的值. 【解析】（I）将曲线的参数方程（为参数），化为普通方程，2分由直线的极坐标方程得：，4分将代入上式得：直线的方程为，5分（II）因为点的直角坐标为在直线上，可设直线的参数方程为(为参数），7分与曲线的方程联立，化简得：，设对应的参数分别为，则8分故10分45. 选修4-5：不等式选讲设函数.（III） 求函数的最小值及取得最小值时的的取值范围.（IV） 若集合，求实数的取值范围.【解析】（1）因为当且仅当，即时，上式等号成立，故函数的最小值为3，且取得最小值时的取值范围是.4分（2） 因为，所以函数化为6分令，其图像为过点,斜率为的一条直线.如图，则直线的斜率为，直线的斜率为，8分因为，所以，即.所以的取值范围为10分