1、第三章数列(一)知识网络范题精讲一、等差数列的概念、通项公式【例1】 等差数列an的前n项和记为Sn.已知a1030，a2050.(1)求通项an;(2)若Sn242，求n.分析：在等差数列中，有a1、an、n、d、Sn五个基本量，若已知其中的任何三个，总可以求出另外两个的值.解：(1)由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组解得a112，d2.所以an2n10.(2)由Snna1d，Sn242，得方程12n2242.解得n11或n22(舍去).评注：本题是一个最基础的数列题，内容上只涉及等差数列的通项和前n项和.它主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及构造方程的数学方法，考查
2、运算能力.知识点较为单一，但高考中仍不乏这类考查目的明确、适应所有考生的中低档题.二、等差数列性质的应用【例2】 已知等差数列an为等差数列，pq，apq，aqp，求apq.分析：可先转化为a1和d去探索，也可利用等差数列性质求解，还可利用一次函数图象来解.解法一： 相减得(pq)dqp，pq，d1.代入，得a1pq1.故apqa1(pq1)d0.解法二：apaq(pq)d，qp(pq)d，以下同解法一.解法三：不妨设p0，a7a3a72，a36，从而得a110，d2，S20180.答案：A8.设Sn是等差数列前n项的和，若，则等于A.1B.1C.2D. 解法一：，.解法二：，答案：A9.已知
3、an是递增数列，且对任意nN*都有ann2n恒成立，则实数的取值范围是A.(，)B.(0，)C.(2，)D.(3，)解析：由an为递增数列得an1an2n10恒成立，即2n1在n1时恒成立，只需(2n1)max3，故选D.答案：D10.在等差数列an中，若S918，Sn240，an430，则n的值为A.14B.15C.16D.17解析：S918a1a942(a14d)4.a14d2.又anan44d，Sn16n240.n15.答案：B第卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.设数列an的前n项和为Sn，Sn(nN*)，且a454，则a1的值是_.解析：a4
4、S4S3，54.a12.答案：212.若数列an的前n项和Snlg(1n)，则a10a11a12a99_.解析：a10a11a99S99S9lg(100)lg(10)101.答案：113.在9和3之间插入n个数，使这n2个数组成和为21的等差数列，则n_.解析：21，n5.答案：514.等差数列an中，a1a2a324，a18a19a2078，则此数列前20项的和等于_.解析：由a1a2a324，可得3a224;由a18a19a2078，可得3a1978，即a28，a1926.S2010(a2a19)10(826)180.答案：180三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证
5、明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)已知数列an满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式.(1)a10，an1an(2n1);(2)a11，an1.解：(1)a10，an1an(2n1)，a2a1(211)011，a3a2(221)4，a4a3(231)9，a5a4(241)16.它的前5项依次是0，1，4，9，16.又可写成(11)2，(21)2，(31)2，(41)2，(51)2.故该数列的一个通项公式是an(n1)2.(2)a11，an1，a2，a4它的前5项依次是1，.又可写成故它的一个通项公式为an.16.(本小题满分10分)已知等差数列an中，a1a4a715
6、，a2a4a645，求其通项an.解：a1a72a4，且a1a4a715，a45.又a2a4a645，a2a69.设其公差为d，又a45，a2a42d，a6a42d.代入a2a69可得(52d)(52d)9254d29d2.当d2时，ana4(n4)d5(n4)22n3(nN*);当d2时，ana4(n4)d5(n4)(2)132n(nN*).17.(本小题满分12分)数列的通项公式为ann25n4，问:(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.解：(1)由an为负数，得n25n40，解得1n4.nN*，故n2或3，即数列有2项为负数，分别是第2项和第3项.(2
7、)ann25n4(n)2，对称轴为n2.5.又nN*，故当n2或n3时，an有最小值，最小值为225242.18.(本小题满分12分)有30根水泥电线杆，要运往1000米远的地方开始安装，在1000米处放一根，以后每隔50米放一根，一直向前放.一辆汽车一次最多运三根，如果用一辆车完成这项任务，从开始运第一车算起，运完货后回到起点，这辆汽车的行程是多少千米？解：设在运完第3(n1)至3n(其中1n10且nN*)根且返回起点时，这辆汽车的行程为an米，则根据题意得a1(10005050)221100，a2(1100505050)22(1100150)，a3(1100150505050)22(110
8、0300)，.an是以21100为首项，150为公差的等差数列.从而行程为s10(110010109150)235500.答：这辆汽车的行程是35500千米.19.(本小题满分12分)设无穷等差数列an的前n项和为Sn.(1)若首项a1，公差d1，求满足Sk2(Sk)2的正整数k;(2)求所有的无穷等差数列an，使得对一切正整数k都有Sk2(Sk)2成立.解：(1)当a1，d1时，Snna1由Sk2(Sk)2，得k4k2(k2k)2，即k3(k1)0.又k0，k4.(2)设等差数列an的公差为d，则在Sk2(Sk)2中，分别取k1，2，得即由得a10或a11.当a10时，代入得d0或d6.若a10，d0，则an0，Sn0，从而Sk2(Sk)2成立；若a10，d6，则an6(n1)，Sn3n23n.此时Sk23k43k2，(Sk)2(3k23k)2，显然Sk2(Sk)2.当a11时，代入式得d0或d2.若a11，d0时，an1，Snn，从而Sk2(Sk)2成立；若a11，d2时，an2n1，Sn13(2n1)n2，从而Sk2(Sk)2成立.综上，共有3个满足条件的无穷等差数列，它们是an0，an1，an2n1.