1、6力 的 分 解 基础认知自主学习一、力的分解李倩同学假期里去旅游，她正拖着行李箱去检票，如图所示。李倩对箱子有一个斜向上的拉力，这个力对箱子产生了什么效果？这些效果与李倩对箱子的拉力有什么关系？提示：李倩对箱子斜向上的拉力产生了两个效果：水平方向使箱子前进，竖直方向将箱子向上提起。这两个效果可以替代李倩对箱子的拉力。1分力：假设力F1、F2共同作用的效果与某个已知力F的作用效果_，则力F1、F2即为力F的分力。2力的分解：(1)实质：求一个已知力的_的过程，它是力的合成的逆运算。(2)分解法则：平行四边形定则把已知力F作为平行四边形的_，与力 F共点的平行四边形的两个_就表示力F的两个分力F
2、1和F2。如图所示。完全相同 分力 对角线 邻边 二、力的正交分解1图例：把一个力分解为两个_的分力的方法，如图所示。互相垂直 2公式：F1_，F2_。3适用：正交分解适用于各种_。4对于正交分解，下列解释符合科学实际的有_。正交分解法一定与力的效果分解一致 正交分解法中的两个坐标轴一定是水平和竖直的 正交分解时，将每一个与坐标轴不重合的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小 FcosFsin矢量运算 能力形成合作探究知识点一 力的分解的两种情况1不受条件限制的分解：一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解。因为以同一条线段为对角线的平行四边形有无穷多个(如图所示)。2有条件限制的力的分解：
3、(1)已知合力和两个分力的方向时，有唯一解。(2)已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解。(3)已知合力 F 以及一个分力 F1 的方向和另一个分力 F2 的大小时，若 F 与 F1的夹角为，有下面几种可能：当 F sin F2F 时，有两解，如图甲所示。当 F2F sin 时，有唯一解，如图乙所示。当 F2F 时，有唯一解，如图丁所示。【典例】已知某力的大小为 10 N，则不可能将此力分解为下列哪组力()A3 N、3 N B6 N、6 NC100 N、100 N D400 N、400 N【解析】选 A。两个力合成的最大值为 3 N3 N6 N，小于 10 N，故 A 不可能；6 N 与
4、6 N 合成最大 12 N，最小 0 N，可以为 10 N，故 B 可能；100 N 与 100 N 合成最大 200 N，最小 0 N，可以为 10 N，故 C 可能；400 N 与 400 N 合成最大 800 N，最小 0 N，可以为 10 N，故 D 可能；故选 A。1在力的分解中，已知合力 F40 N，分力 F1 的方向与合力的夹角为 37，如图所示，则当另一分力 F2 取最小值时，分力 F1 的大小为(已知 sin370.6，cos370.8)()A.24 N B30 N C32 N D50 N【解析】选 C。已知合力和一个分力与合力的夹角，根据平行四边形定则作图分解即可；根据平行
5、四边形定则作图，如图所示，可知，分力 F2 的最小值为 F2Fsin3724 N，则此时分力 F1Fcos3732 N，故选项 C 正确，选项 A、B、D 错误。2.如图所示，一个重为 5 N 的砝码，用细线悬挂在 O 点，现在用力 F 拉砝码，使细线偏离竖直方向 30时处于静止状态，此时所用拉力 F 的最小值为()A8.65 N B5.0 N C4.3 N D2.5 N【解析】选 D。以砝码为研究对象，根据作图法可知，当拉力 F 与细线垂直时拉力最小，如图所示：根据平衡条件得 F 的最小值为 FminGsin3050.5 N2.5 N，故选项 D 正确，A、B、C 错误。【加固训练】1如图所
6、示，将一个已知力 F 分解为 F1、F2，已知 F10 N，F1 与 F 的夹角为 37，则 F2 的大小不可能是(sin370.6，cos370.8)()A4 N B6 N C10 N D100 N【解析】选 A。当 F2 垂直于 F1时，F2 最小，此时 F2Fsin376 N，即 F26 N，故 A 不可能，B、C、D 可能，故选 A。2如图所示，相同的细绳 OA、OB 共同吊起一质量为 m 的物体。OA 与 OB 相垂直。OB 与竖直墙壁成 60角，OA、OB 对 O 点的拉力分别为 T1、T2，则()A.T1、T2 水平方向的分力之比为 3 1BT1、T2 竖直方向的合力等于 mgC
7、T1、T2 之比 T1T2 3 3D若逐渐增加 m 的质量，OB 绳一定先断【解析】选 B。O 点所受合力为零，T1、T2 水平方向的分力大小相等，故 A 错误；T1、T2 竖直方向的合力大小等于 mg，方向与 mg 相反，故 B 正确；O 点水平方向受力 T1sin30T2sin600，竖直方向受力 T1cos30T2cos60mg0，由以上两式得 T1 3 T2 32mg，因 T1T2，所以逐渐增加 m 的质量，OA 绳先断。C、D 错误。知识点二 力的效果分解法常见的按实际效果分解的五个实例实 例分 析地面上物体受斜向上的拉力 F，拉力 F 一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体
8、，因此拉力 F 可分解为水平向前的力 F1 和竖直向上的力 F2。F1F cos，F2F sin 实 例分 析质量为 m 的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力 F1；二是使物体压紧斜面的分力 F2。F1mg sin，F2mg cos 实 例分 析质量为 m 的光滑小球被竖直挡板挡住静止于斜面上，其重力产生两个效果：一是使球压紧板的分力 F1；二是使球压紧斜面的分力 F2。F1mg tan，F2 mgcos 实 例分 析质量为 m 的物体被 OA、OB 绳悬挂于 O 点，其重力产生两个效果：一是对 OA 的拉力 F1；二是对 OB 的拉力 F2。F1mg t
9、an，F2 mgcos 质量为 m 的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸 AB 的分力 F1；二是压缩 BC 的分力 F2。F1mg tan，F2 mgcos 情境：为了行车方便和安全，高大的桥往往有很长的引桥。讨论：(1)在引桥上，汽车重力有什么作用效果？提示：汽车重力的两个作用效果是垂直桥面向下使汽车压斜面和沿桥面向下使汽车下滑或阻碍汽车上行。(2)从力的分解的角度分析，引桥很长有什么好处？提示：高大的桥建造很长的引桥可以减小斜面的倾角，即减小汽车重力沿斜面向下的分力，使行车更安全。【典例】压榨机的结构原理图如图所示，B 为固定铰链，A 为活动铰链。在 A 处作用一水平力
10、F，物块 C 就以比水平力 F 大得多的力压物块 D。已知 L0.5 m，h0.1 m，F200 N，物块 C 的质量不计，且与左壁接触面光滑，求物块 D 受到的压力。【解析】根据水平力 F 产生的效果，它可分解为沿杆的两个分力 F1、F2，如图甲所示，则 F1F2F2cos 。而沿 AC 杆的分力 F1 又产生了两个效果：使物块 C 压紧左壁的水平力 F3 和使物块 C 压紧物块 D 的竖直力 F4，如图乙所示，则 F4F1sin F tan 2。由 tan Lh 得 F420020.50.1 N500 N。答案：500 N程序内容提取信息A 处水平力的大小为 200 N。忽略 C 物体的质
11、量。情境转化选择规律已知合力及两个分力的方向，力的分解是唯一的。平行四边形定则或三角形定则。力的效果分解法的“四步走”解题思路1.如图所示，一只小鸟沿着较粗的均匀树枝从右向左缓慢爬行，在小鸟从 A 运动到 B的过程中()A树枝对小鸟的作用力先减小后增大B树枝对小鸟的摩擦力先减小后增大C小鸟对树枝的压力先减小后增大D小鸟对树枝的压力保持不变【解析】选 B。对小鸟进行受力分析，如图所示。树枝对小鸟的作用力与小鸟的重力等值反向，所以树枝对小鸟的作用力大小不变，故 A 错误；小鸟所受的摩擦力 fmg sin，从 A 到 B 的过程中，先减小后增大，则摩擦力先减小后增大，故 B 正确；小鸟所受的弹力 N
12、mg cos，从 A 到 B 的过程中，先减小后增大，则弹力先增大后减小，故 C、D 错误。2.如图所示，作用在滑块 B 上的推力 F100 N，若 30，装置的重力和摩擦力均不计，则工件上受到的压力为()A100 N B100 3 NC50 N D200 N【解析】选 B。装置的重力和摩擦力均不计，对 B 进行受力分析如图，水平方向：FF1sin，对 A 进行受力分析如图，F1F1，竖直方向：F1cos F2 所以：F2cos sin F，根据牛顿第三定律，工件受到的向上的弹力与工件对装置的作用力大小相等，方向相反，即：NF2cos sin F 3 100 N100 3 N，故选 B。【加固
13、训练】1将物体所受重力按力的效果进行分解，图中错误的是()【解析】选 C。A 项中物体重力分解为垂直于斜面使物体压紧斜面的分力 G1 和沿斜面向下使物体向下滑的分力 G2；B 项中物体的重力分解为沿两条细绳使细绳张紧的分力 G1 和 G2，A、B 项图画得正确。C 项中物体的重力应分解为垂直于两接触面使物体紧压两接触面的分力 G1 和 G2，故 C 项图画得不正确。D 项中物体的重力分解为水平向左压紧墙的分力 G1 和沿绳向下使绳张紧的分力 G2，故 D 项图画得正确。2.如图所示，一根质量不计的横梁 A 端用铰链固定在墙壁上，B 端用细绳悬挂在墙壁上的 C 点，使得横梁保持水平状态。细绳下端
14、挂一质量为 M6 kg 的重物，已知细绳与竖直墙壁之间的夹角为 60，求横梁对 B 点的弹力和绳 BC 的拉力各为多大？(g取 10 m/s2)【解析】设横梁对 B 点的弹力为 F1，因横梁 A 端用铰链固定，故 F1 的方向沿横梁方向，绳 BC 对 B 点的拉力为 F2，由于 B 点静止，B 点所受的向下的拉力大小恒定为重物的重力，根据受力平衡的特点，横梁的弹力 F1 与绳 BC 对 B 点的拉力 F2 的合力一定竖直向上，大小为 G，如图所示。根据以上分析可知：弹力 F1 与拉力 F2 的合力大小 FGMg60 N。由几何知识可知 F1F tan 6060 3 N，F2Fsin 30 12
15、0 N。即横梁对 B 点的弹力为 60 3 N，绳 BC 的拉力为 120 N。答案：60 3 N 120 N知识点三 力的正交分解1.正交分解的目的：将力的合成化简为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用普通代数运算公式解决矢量的运算，“分解”的目的是为了更好地“合成”。2正交分解的适用情况：适用于计算三个或三个以上的力的合成。3正交分解的步骤：(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点建立直角坐标系，标出 x 轴和 y 轴。选取坐标系时应使尽量多的力落在坐标轴上。(2)正交分解各力：将每一个与坐标轴不重合的力分解到 x 轴和 y 轴上，并求出各个分力的大小，如图所示。(3)分别求出 x 轴
16、、y 轴上各分力的矢量和，即：FxF1xF2xFyF1yF2y(4)求共点力的合力：合力大小 FF2x F2y，合力的方向与 x 轴的夹角为，则tan FyFx。情境：如图所示，结点 O 受到多个力的作用。讨论：(1)用平行四边形定则求其合力很不方便，甚至困难，应怎样求其合力？提示：先将各个力正交分解，然后再合成，“分”是为了更方便地“合”。(2)正交分解法有什么优点？提示：可以借助数学中的直角坐标系对力进行描述。分解时需熟知三角函数关系、几何关系，简便、容易求解。【典例】物体在同一平面内共点的四个力 F1、F2、F3、F4 的大小依次为 19 N、40 N、30 N 和 15 N，方向如图所
17、示，求它们的合力。【思维建模】【解析】如图甲所示建立直角坐标系，把各个力分解到两个坐标轴上，并求出 x 轴和y 轴上的合力 Fx 和 Fy，有FxF1F2cos 37F3cos 3727 NFyF2sin 37F3sin 37F427 N因此，如图乙所示，合力 FF2x F2y38.2 Ntan FyFx 1即合力的大小约为 38.2 N，方向与 F1 夹角为 45斜向右上方。答案：大小约为 38.2 N，方向与 F1 夹角为 45斜向右上方1已知竖直平面内有一个大小为 10 N 的力作用于 O 点，该力与 x 轴正方向之间的夹角为30，与y轴正方向之间的夹角为60，现将它分解到x轴和y轴方向
18、上，则()AFx5 N，Fy5 N BFx5 3 N，Fy5 NCFx5 N，Fy5 3 N DFx10 N，Fy10 N【解析】选 B。画出直角坐标系及力并将力 F 分解到坐标轴上，如图所示，则 FxF cos 305 3 N，FyF sin 305 N，B 正确。2如图所示，物块的质量 m30 kg，细绳一端与物块相连，另一端绕过光滑的轻质定滑轮，当人用 100 N 的力斜向下拉绳子时，滑轮两侧细绳与水平方向的夹角均为30，物块在水平面上保持静止，滑轮上端的悬绳竖直(g 取 10 m/s2)。求：(1)地面对物块的支持力大小和摩擦力大小。(2)滑轮上方竖直悬绳的拉力大小。【解析】(1)如图
19、所示，对物块受力分析并正交分解有：F sin 30NmgF cos 30f由得 N250 N，f50 3 N。(2)如图所示，对绳上一点受力分析T2F cos 60解得 T100 N。答案：(1)250 N 50 3 N(2)100 N【加固训练】1.已知共面的三个力 F120 N，F230 N，F340 N，作用在物体的同一点，三力之间的夹角均为 120，求合力的大小和方向。【解析】如图所示，沿水平竖直方向建立直角坐标系，把 F1、F2 正交分解，可得：F1x20sin30 N10 NF1y20cos30 N10 3 NF2x30sin30 N15 NF2y30cos30 N15 3 N 故
20、沿 x 轴方向的合力FxF3F1xF2x15 N沿 y 轴方向的合力FyF2yF1y5 3 N这三个力合力大小 FF2x F2y10 3 N方向与 x 轴的夹角 arctan 3330答案：10 3 N 方向与 x 轴夹角为 302如图所示，三个共点力分别为 F15 N，F210 N，F315 N，60，试求：(1)三个力沿 x 轴方向合力的大小，沿 y 轴方向合力的大小。(2)三个力合力的大小和方向。【解析】(1)沿 x 轴方向 FxF3F2cos F115 N沿 y 轴方向 FyF2sin 5 3 N(2)三力的合力 FF2x F2y152（5 3）2 N10 3 N设合力与 x 轴正方向
21、的夹角为，则tan FyFx 33，则 30。答案：(1)15 N 5 3 N(2)10 3 N 与 x 轴正方向的夹角为 30【拓展例题】考查内容：三角形相似规律在力的分解中的应用【典例】一轻杆 BO，其 O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆 AO 上，B 端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶 A 处的光滑小滑轮，用力 F 拉住，如图所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆 BO 与杆 AO 间的夹角 逐渐减小，则在此过程中，拉力 F 及杆 BO所受压力 FN 的大小变化情况是()AFN 先减小，后增大BFN 始终不变CF 先减小，后增大DF 始终不变【解析】选 B。设物体的重力为 G，以 B 点为研究对象
22、，分析受力情况，如图所示。作出力 FN 与 F 的合力 F2，根据平衡条件得知，F2F1G。由F2FNBABO 得FNF2 OBOA，故 FNOBOA G。由于 BO、AO、G 不变，则 FN 保持不变，故 A 错，B 对；同理：FF2 ABOA，FABOA G，由于 AO、G 不变，AB 逐渐减小，所以 F 逐渐减小，故 C、D 错误。学情诊断课堂测评1(多选)在一个已知力的分解中，下列情况具有唯一解的是()A已知两个分力的方向，并且不在一条直线上B已知两个分力的大小C已知一个分力的大小和另一个分力的方向D已知一个分力的大小和方向【解析】选 A、D。根据平行四边形定则可知，如果力的分解是唯一
23、的，则以合力 F为邻边的平行四边形只有一个，或只能画出一个三角形，根据以上分析可知，已知一个力的大小和方向或已知不共线的两个力的方向，力 F 的分解是唯一的，故 A、D正确，B、C 错误。2为了行车方便与安全，高大的桥要造很长的引桥，如图所示，其主要目的是()A.减小过桥车辆受到的摩擦力B减小过桥车辆的重力C减小过桥车辆对引桥面的压力D减小过桥车辆的重力平行于引桥面向下的分力【解析】选 D。如图所示，重力 G 产生的效果是使物体下滑的分力 F1 和使物体压紧斜面的分力 F2，则 F1G sin，F2G cos，倾角 减小，F1 减小，F2 增大，高大的桥造很长的引桥主要目的是减小桥面的坡度，即
24、减小过桥车辆的重力平行于引桥面向下的分力，可使行车安全，故 D 正确，A、B、C 错误。3如图所示，一辆汽车陷入泥沼，为了将它拖出，司机用一条长 41 m 的绳一端系于车前钩，另一端系于距车 40 m 处的一棵大树上，然后在绳子中点用 900 N 的力 F向垂直于车与大树连线方向拉绳，将车拖出，试求汽车所受拉力的大小。【解析】对中点受力分析，根据力的平行四边形定则及三角形知识，即可求解。绳子中点受力如图所示：力 F 向垂直于车与大树连线方向拉绳时：x4.5 m，设汽车所受拉力的大小为 FT，则有：FT 4.520.5 F2解得：FT2 050 N。答案：2 050 N4如图所示，某同学在地面上拉着一个质量为 m30 kg 的木箱匀速前进，已知木箱与地面间的动摩擦因数 0.5，拉力 F 与水平方向的夹角 45，g 取10 m/s2。求绳子的拉力 F 的大小。【解析】建立如图所示的直角坐标系。木箱受四个力的作用，将拉力 F 沿两个坐标轴方向分解为分力 F1 和 F2，得 F1F cos，F2F sin。在 x 轴方向上由二力平衡可得 F1F cos f，在y 轴方向上有 F2NF sin NG。又 fN。将 Gmg300 N，0.5，45代入，解得 F100 2 N。答案：100 2 N