1、学霸笔记苏教版2021-2022学年苏教版数学五年级下册同步重难点讲练3.6 公因数和最大公因数第三单元 因数与倍数教学目标1使学生理解和认识公因数和最大公因数，能用列举的方法求100以内两个数的公因数和最大公因数，能通过直观图理解两个数的因数及公因数之间的关系。2使学生借助直观认识公因数，理解公因数的特征；通过列举探索求公因数和最大公因数的方法，体会方法的合理和多样；感受数形结合的思想，能有条理地进行思考，发展分析、推理等能力。3使学生主动参加思考和探索活动，感受学习的收获，获得成功的体验，树立学好数学的信心。教学重难点教学重点：求两个数的公因数和最大公因数。教学难点：理解求公因数和最大公因
2、数的方法。【重点剖析】1.公因数的意义：（1）几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。（2）因为一个数的因数的个数是有限的，所以几个数的公因数的个数也是有限的，它们既有最小的公因数，也有最大的公因数。2.求两个数的公因数和最大公因数的方法：（1）几个数公有的因数，叫作它们的公因数，其中最大的公因数叫作这几个数的最大公因数。（2）求两个数的公因数，可以用列举法分别找出每个数的因数，再找出两个数的公因数；也可以先找出一个数的因数，再从这些因数中找出另一个数的因数，从而找出这两个数的公因数。【典例分析1】在18的因数上画，在30的因数上画1234567891011121314151617181920
3、2122232425262728293018和30的公因数有 ，最大公因数是 【分析】根据找一个数因数的方法找出18的因数和30的因数；进而理解公因数的意义，两个数公有的因数叫做这两个数的公因数，其中最大的一个叫做这两个数的最大公因数由此解答：【解答】解：在18的因数上画在30的因数上画12345678910111213141516171819202122232425262728293018和30的公因数有：1、2、3、6，最大公因数6；故答案为：1、2、3、6，6【点评】此题考查的目的理解公因数、最大公因数的意义，掌握求两个数的最大公因数的方法【典例分析2】将序号是18的因数而不是24的因数
4、的水果放进左盘里，是24的因数而不是18的因数的放进右盘里，是18和24的公因数的放进中间盘里（填序号）【分析】根据找一个因数的方法的方法，进行列举找出18、24的因数，再对序号进行分类求解【解答】解：18的因数：1、2、3、6、9、18；24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24；18和24的公因数有1，2，3，6；【点评】此题考查的是找一个数的因数的方法，应成对成对的找，然后按照从小到大的顺序排列，做到不重复、不遗漏【题干】填一填【题干】填上合适的数【题干】已知：A235，B335，则A和B相同的因数有哪些？一选择题（共5小题）17是35和42的（）A公因数B公倍数C质数D合数230和
5、24的公因数一共有（）个。A2B3C4D53一个数有因数1，2，4，8，那么这个数最小是（）A4B8C164下面（）组数中的两个数只有公因数1。A34和51B78和79C10和15D11和225a、b都是非0自然数，a是b的倍数，a、b的公因数中一定有（）A1和bB1和aCa和b二填空题（共5小题）627和12的公因数有 。7在18和24的公因数中，最小的是 ，最大的是 。812和18有 个公因数，其中最大的公因数是 。910和15的公因数： 。14和49的公因数： 。1018的因数有 ，24的因数有 ，18和24的公因数有 ，最大公因数是 。三判断题（共5小题）11互质的两个数，至少有一个数
6、一定是奇数 12所有非0的自然数的公因数是1 13两个数的公因数一定比这两个数都小 14任意两个不同的质数一定只有公因数1。 15有公因数1的两个数，一定是互质数 四计算题（共1小题）16把8和20的因数、公因数分别填在相应的位置，再圈出它们的最大公因数五应用题（共2小题）17（1）我是一个质数，我和另一个质数的和是最大的两位数，我比较小你知道我是谁吗？（2）我是9的倍数，我还是72的因数，我可能是多少？（3）18新年到了，爸爸用微信给年年发了一个红包。红包里的钱既是48的因数，也是54的因数，爸爸给年年发的红包可能是多少元？六解答题（共2小题）19数学辩论题观察下面的数学现象：3与5互质，5
7、与8互质，3与8也互质；4与7互质，7与9互质，4与9也互质正方：根据上述现象，可得出这样一个结论：若A与B互质，B与C互质，则A与C一定互质你（作为反方）是否认同正方观点？如果不同意，请举例予以辩论20王老师买了36支铅笔，48本练习本奖励给一些进步的学生，刚好发完，没有剩余，一共有多少个进步的学生？一选择题（共5小题）1下面（）不是12和18的公因数A1B3C6D92下面（）组中的两个数只有公因数1A13和14B12和15C5和153下列几组数中，只有公因数1的两个数是（）A13和91B26和18C9和85D3和21416和24的公因数有（）个。A4B5C6D85下面不是互质数的一组数是（
8、）A8和5B28和21C32和33二填空题（共5小题）6a和b都是自然数，而且ab5，那么a和b的最大公约数是 736和24的公因数按从小到大排列依次是 ，其中 既不是质数也不是合数842和54的公因数有 ，最大公因数是 911是121的 数，它们相同的因数是 10在2、5、12、8中两两组合之后，只有公因数1的数有 对三判断题（共5小题）1130和60的公因数有6个 12大于1的相邻的两个自然数一定互质 131、2、5都是10的质因数 141是任何非零自然数的公因数 15两个数的最大公因数一定比这两个数小 四解答题（共5小题）16在24的因数上画，在30的因数上画 1 2 3 4 5 6 7
9、 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30同时是24和30的因数的是： ，这些数称为24和30的公因数，其中最大的公因数是： 17已知a2357，b22355，你能求出a与b的公因数和最大公因数吗？18已知a2335，b22335，你能求出a与b的公因数和最大公因数吗？19找出下面各组数的公因数4和9，16和9，32和15，7和8我发现：这几组数的公因数都 像上面这样的几组数称为互质数20按要求把数填在相应的圈里【变式训练1】【分析】根据找一个数因数的方法找出8的因数和12的因数；进而根据公因数的意义，
10、两个数公有的因数叫做这两个数的公因数由此解答【解答】解：【点评】此题考查的目的理解因数、公因数的意义，掌握求两个数的公因数的方法【变式训练2】【分析】根据求一个数因数的方法进行，找出24和32的因数；进而找出24和32的公因数，填图即可【解答】解：24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；32的因数有：1、2、4、8、16、32；24和32的公因数有：1、2、4、8；故答案为：【点评】此题考查的是求一个数的因数的方法，要求平时一定注意对基础知识的积累【变式训练3】【分析】根据A235，B335，可知A的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，B的因数有1、3、5、9、15、45；其
11、中相同的因数是1、3、5、15【解答】解：因为A235，B335，则A的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，B的因数有1、3、5、9、15、45，相同的因数是1、3、5、15【点评】此题考查根据分解因数的方法求两个数相同的因数基础达标练答案解析一选择题（共5小题）1【分析】根据公因数的含义：两个数公有的因数叫做它们的公因数；由此解答即可【解答】解：因为7是35的因数，也是42的因数，所以7是35和42的公因数；故选：A【点评】明确公因数的含义，是解答此题的关键2【分析】求两个数的公因数先要求出这两个数的因数，再找出公因数即可。【解答】解：30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，3
12、0；24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。30和24的公因数有：1，2，3，6共4个。故选：C。【点评】此题主要考查求两个数的公因数的方法：求两个数的公因数要先分别求出这两个数的因数，然后找出它们公有的因数。3【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身，据此解答。【解答】解：根据分析可知，一个数有因数1，2，4，8，那么这个数最小是8。故选：B。【点评】明确一个数的最大因数是它本身是解题的关键。4【分析】两个数只有公因数1，这两个数是互质数，据此判断即可。【解答】解：78和79是互质数，所以78和79只有公因数1。故选：B。【点评】熟练掌握只有公因数1的两个
13、数的特征是解决此题的关键。5【分析】因为a、b都是非0自然数，所以它们都有因数1；又因为a是b的倍数，所以它们都有因数b；所以a、b的公因数中一定有1和b；由此解答即可【解答】解：a、b都是非0自然数，a是b的倍数，a、b的公因数中一定有1和b；故选：A【点评】此题考查了因数、公因数和最大公因数，比较简单，注意基础知识的积累二填空题（共5小题）6【分析】列出27和12的所有因数，找出它们公有的因数。【解答】解：27的因数有：1，3，9，27；12的因数有：1，2，3，4，6，12；27和12的公因数有：1，3。故答案为：1，3。【点评】此题重点考查找一个数的因数的方法及公因数的定义。7【分析】
14、根据题意可知，先分别写出1824的因数，然后再找出它们的公因数，最后找出它们最小的公因数与最大的公因数据此解答。【解答】18的因数有：1、2、3、6、9、18；24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；18和24的公因数有：1、2、3、6，最小的是1，最大的是6。故答案为：1；6。【点评】此题是考查求一个数的公因数和最大公因数的方法。8【分析】利用分解质因数的方法和求一个数的公因数的方法即可解决问题。【解答】解：12的因数有：1，2，3，4，6，12；18的因数有：1，2，3，6，9，18；所以12和18的公因数有：1，2，3，6，共有4个；其中最大的公因数是6。故答案为：4，6。【点
15、评】此题是考查求一个数的公因数和最大公因数的方法。9【分析】分别写出每组中两个数的因数，再找它们的公因数即可。【解答】解：10的因数有1，2，5，1015的因数有1，3，5，15所以10和15的公因数有1，5。14的因数有1，2，7，1449的因数有1，7，49所以14和49的公因数有1，7。故答案为：1，5，1，7。【点评】熟练掌握求一个数因数和两个数公因数的方法是解题的关键。10【分析】首先找一个数的因数，可以一对一对的找，把18和24分别写出两个数的乘积，然后每一个乘积中的因数都是它们的因数，再写出18和24的公因数和最大公因数是多少即可。【解答】解：因为181182836，所以18的因
16、数有：1、2、3、6、9、18；因为241242123846，所以24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；所以18和24的公因数有：1、2、3、6，最大公因数是6。即：18的因数有1、2、3、6、9、18，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，18和24的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。故答案为：1、2、3、6、9、18；1、2、3、4、6、8、12、24；1、2、3、6；6。【点评】此题考查了找一个数的因数和找两个数的公因数、最大公因数的方法，要熟练掌握。三判断题（共5小题）11【分析】根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数在自然数中，不是2的倍数的数叫
17、做奇数据此判断即可【解答】解：1和任意非0自然数都是互质数，2与任何奇数都是互质数，所以，互质的两个数，至少有一个数一定是奇数出说法正确故答案为：【点评】此题考查的目的是理解互质数、奇数的意义12【分析】根据公因数的意义可知：公因数是几个数公有的因数，1是所有非0自然数的公因数，据此解答【解答】解：所有非0的自然数的公因数是1，说法正确故答案为：【点评】本题主要考查公因数的意义，注意1是所有非0自然数的公因数13【分析】根据公因数的意义，两个（或3个）数公有的因数，叫做这两个（或3个）数的公因数其中最大的一个就是它们的最大公因数如果两个数是倍数关系，较小数是它们的最大公因数由此解答【解答】解：
18、根据分析，如果两个数是倍数关系，较小数是它们的最大公因数因此，两个数的公因数一定比这两个数小这种说法是错误的故答案为：【点评】此题主要考查公因数和最大公因数的意义，以及求两个数的最大公因数的方法，关键是考虑两种特殊情况：两个是倍数关系和两个数是互质数，它们的最大公因数的求法14【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其它因数的自然数。互质数为数学中的一种概念，即两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数。公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。【解答】解：根据质数和互质数的意义得：两个不同质数的公因数只有1。所以说法正确。故答案为：。【点评】一个非0的自然数的因数都有1和它
19、本身。15【分析】任何两个不为零的自然数都有公约数1，但并不一定除了1之外就没有其他公因数了，如2和4，除了公因数1外还有公因数2，公因数只有1的两个数，叫做互质数所以有公约数1的两个数一定是互质数的说法是错误的【解答】解：根据互质数的定义可知，有公约数1的两个数一定是互质数的说法是错误的故答案为：【点评】本题考查了互质数的定义四计算题（共1小题）16【分析】把8和20的因数和公因数分别填在下面的圈里，再找出它们的最大公因数；即可得解【解答】解：【点评】通过列表，找到两个数的最大公因数，注意在填表时，因数不要漏了1和它本身五应用题（共2小题）17【分析】（1）因为最大的两位数是99，先根据两个
20、质数的和是奇数，判断出其中一个数为2，求出另一个数的值即可（2）因为72的因数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72；9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63、72，；由此即可得出结论（3）在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数据此意义根据题目中的条件确定即可【解答】解：（1）因为两个质数的和为奇数，所以必有一个质数是奇数，另一个质数是偶数因为2是唯一的偶质数，9997+2，所以一个质数是2，另一个质数是97；答：较小的数是2（2）因为72的因数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72；9的倍数有：9、18、27、36、45、5
21、4、63、72，；所以这个数可能是：9、18、36、72答：这个数可能是9、18、36、72（3）77117，又11+718，所以这两个数是11，7，即最大是11，最小是7【点评】考查的是质数与合数，熟知“在所有质数中只有2是偶数”是解答此题的关键；根据找一个数的因数的方法和找一个数倍数的方法进行分别列举，进而得出结论18【分析】红包里的钱既是48的因数，也是54的因数，实际就求48和54的公因数，分别将48和54的因数都写出来，再找出公因数即可。【解答】解：48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54；所以48和54的公因数有
22、：1，2，3，6。答：爸爸给年年发的红包可能是1元、2元、3元、6元。【点评】熟练掌握求两个数的公因数的方法是解决此题的关键。六解答题（共2小题）19【分析】若A与B互质，B与C互质，则A与C不一定互质，并举例说明即可【解答】解：若A与B互质，B与C互质，则A与C不一定互质，例如：3与5互质，5与9互质，但3与9不互质，3和9的公因数有：1、3【点评】此题主要考查了合数与质数的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若A与B互质，B与C互质，则A与C不一定互质20【分析】求有多少个进步的学生，即求36和48的公因数，根据找一个数因数的方法，进行直接列举，然后排除掉不合适的即可【解答】解
23、：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36；48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；36和48的公因数有：1、2、3、4、6、12，因为是奖励给一些进步的学生，所以1排除，所以可以有2、3、4、6、12个进步的学生【点评】解答此题应明确：要求有多少个进步的学生，即求36和48的公因数强化提优练答案解析一选择题（共5小题）1【分析】分别把12和18的因数写出来，然后再从因数中找出12和18的公因数，剩下的则不是12和18的公因数，由此解答即可。【解答】解：12的因数：1、2、3、4、6、12，18的因数：1、2、3、6、9、18；12和18的公因数有：1、2、
24、3、6，所以9不是12和18的公因数。故选：D。【点评】此题考查求两个数的公因数的方法。2【分析】13的因数有：1，13；14的因数有：1，2，7，14；13和14的最大公因数是1。12的因数有1，2，3，4，6，12；15的因数有：1，3，5，15；12和15的最大公因数是3。5的因数有：1，5；15的因数有：1，3，5，15；5和15的最大公因数是5。【解答】解：A选项：13和14是互质数，只有公因数1，符合题意；B选项：12和15的最大公因数是3，不符合题意；C选项：5和15的最大公因数是5，不符合题意。故选：A。【点评】要熟练掌握求最大公因数的方法。3【分析】此题是选择题，考虑使用代入
25、排除法；题干信息确定，选用排除法：13和91、3和21是倍数关系，较小数是它们的公因数，排除A和D；26和18都是偶数，显然有公因数2，排除B；验证C，只有公因数1，选C即可。【解答】解：几组数中，只有公因数1的两个数是9和85。故选：C。【点评】此题考查了排除法做选择题的方法，要熟练掌握。4【分析】根据求两个数的公因数的方法，先分别求出这两个数的因数，再看它们的公因数有哪几个即可。【解答】解：16的因数有：1，2，4，8，1624的因数有：1，2，3，4，6，8，12，2416和24的公因数有：1，2，4，8共4个故选：A。【点评】熟练掌握求两个数公因数的方法是解决此题的关键。5【分析】只有
26、公因数1的两个数互为质数。据此定义对各选项中数据进行分析，即能得出结果。【解答】解：8和5；32和33中两个数都只有公因数1，它们为互质数。28和21，除了公因数1，还有公因数7，所以它们不是互质数。故选：B。【点评】明确互质数是只有公因数1这一特点是完成本题的关键。二填空题（共5小题）6【分析】这道题属于求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；由此解答问题即可【解答】解：由ab5（a和b都是不为0的自然数），可知数a是数b的倍数，所以a和b的最大公约数是b；故答案为：b【点评】此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的
27、数7【分析】找一个数的因数，可以一对一对的找，分别找出24和36的因数，进而找出它们的公因数，然后按照从小到大排列即可；根据除了1和它本身没有别的因数的数是质数，还有别的因数的数是合数，然后判断公因数中既不是质数又不是合数的数【解答】解：24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36；36和24的公因数按从小到大排列依次是 1、2、3、4、6、12，其中 1既不是质数也不是合数故答案为：1、2、3、4、6、12，1【点评】此题主要考查了求一个数的因数的方法以及判断一个数是质数、合数的方法8【分析】根据找一个数的因数的方法，先分别找出42和5
28、4的因数，再从中找出公有的因数及最大的一个因数即可【解答】解：42的因数有：1、2、3、6、7，14、21、42；54的因数有：1、2、3、6、9、18、27、54；公因数有：1、2、3、6；54和42的最大公因数是6；故答案为：1、2、3、6，6【点评】解答此题的关键是：（1）明确找一个数的因数的方法；（2）明确公因数和最大公因数的意义9【分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可【解答】解：1211111所以11是121的因数，它们相同的因数是1，11故答案为：因，1、11【点评】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍
29、数是相对而言，不能单独存在10【分析】相邻的两个非0自然数的公因数只有1，如：9和10；如果两个数中有一个数是质数，另一个数又不是这个质数的倍数，那么这两个数的公因数只有1【解答】解：根据分析可知：只有公因数1的数有：2和5，5和12，5和8共3对故答案为：3【点评】此题考查的目的是使学生理解公因数的意义，如果两个数是互质数，那么它们的公因数只有1三判断题（共5小题）11【分析】30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30；60的因数有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；所以30和60的公因数有：1、2、3、5、6、10、15、30，共8个【解答】解：30的因数有1
30、、2、3、5、6、10、15、30；60的因数有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；所以30和60的公因数有：1、2、3、5、6、10、15、30，共8个故答案为：【点评】本题主要考查了求几个数的公因数的方法12【分析】根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数在非0自然数中，相邻的两个自然数相差1，也就是相邻的两个自然数的公因数只有1所以大于1的相邻的两个自然数一定互质【解答】解：在非0自然数中，相邻的两个自然数相差1，也就是相邻的两个自然数的公因数只有1所以大于1的相邻的两个自然数一定互质所以题干的说法是正确的故答案为：【点评】此题考查的目的是理解互质数的意义
31、13【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；质数的含义：在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；质因数，应确定是质数；由此进行解答即可【解答】解：1、2、5都是10的因数，但不是质因数，因为1不是质数，所以本题说法错误；故答案为：【点评】明确质数和因数的含义，是解答此题的关键14【分析】根据公因数的意义可知：公因数是几个数公有的因数，任何非零自然数的因数都有1，所以1是所有非0自然数的公因数，据此解答【解答】解：1是任何非零自然数的公因数，说法正确故答案为：【点评】本题主要考查公因数的意义，注意1是所有非0自然数的公因数15
32、【分析】根据公因数的意义，两个（或3个）数公有的因数，叫做这两个（或3个）数的公因数其中最大的一个就是它们的最大公因数如果两个数是倍数关系，较小数是它们的最大公因数由此解答【解答】解：根据分析，如果两个数是倍数关系，较小数是它们的最大公因数因此，两个数的最大公因数一定比这两个数小这种说法是错误的故答案为：【点评】此题主要考查公因数和最大公因数的意义，以及求两个数的最大公因数的方法，关键是考虑两种特殊情况：两个是倍数关系和两个数是互质数，它们的最大公因数的求法四解答题（共5小题）16【分析】根据找一个数因数的方法，分别找出24和30的因数；两个数公有的因数叫做这两个数的公因数，其中最大的一个就是
33、这两个数的最大公因数；据此解答【解答】解：123456 78 9 10 1112 13 1415 16 17 18 19 20 21 22 2324 25 26 27 28 2930同时是24和30的因数的是：1、2、3、6，这些数称为24和30的公因数，其中最大的公因数是：6；故答案为：1、2、3、6，6【点评】此题考查的目的是理解因数、公因数的意义，掌握求一个数的因数以及求两个数的最大公因数的方法17【分析】两个数的公有因数叫做这两个数的公因数，两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，据此求解【解答】解：a2357，b22355公因数有1、2、3、5、6、10、15、30最大
34、公因数是30【点评】本题考查了求两个数的最大公因数与公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数18【分析】两个数的公有因数叫做这两个数的公因数，两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，据此求解【解答】解：a2335，b22335，则a、b的公因数有：1、2、3、5、236、339、2510、3515、23318、23530、33545、233590，最大公因数是233590；答：a与b的公因数是1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90，最大公因数是90【点评】本题考查了求两个数的最大公因数与公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数19【分析】两个数公有的因数叫做这两个数的公因数如果两个数是互质数，那么这两个数的公因数是1据此解答【解答】解：4和9的公因数是1；16和9的公因数是1；32和15的公因数是1；7和8的公因数是1；我发现：这几组数的公因数都只有1像上面这样的几组数称为互质数故答案为：只有1【点评】此题考查的目的是理解公因数、互质数的意义，掌握求两个数的公因数的方法20【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，两个数公有的因数叫做这两个数的公因数据此解答【解答】解：【点评】此题考查的目的是理解掌握因数、公因数的意义，以及求两个数的公因数的方法
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