1、第59讲抛物线1.抛物线y4x2的准线方程为()Ax1 By1Cx Dy2.(2022四川卷)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A2 B2C4 D23.(2022浙江温州模拟)经过抛物线y24x的焦点且平行于直线3x2y0的直线l的方程是()A3x2y30 B6x4y30C2x3y20 D2x3y104.(2022上海卷)动点P到点F(2，0)的距离与它到直线x20的距离相等，则点P的轨迹方程为_5.顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，且经过点M(2，4)的抛物线方程是_6.过抛物线x24y的焦点F作直线l，交抛物线
2、于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若y1y26，则|AB|等于_7.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y22px(p0)上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.(1)求抛物线的标准方程；(2)设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦AB的长为4，求证：圆C过定点8.抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是()A. B.C. D39.(2022浙江嘉兴模拟)已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2x的焦点上，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为_ 10.如图，已知抛物线S的顶点在原点，焦点在x轴上，ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直
3、线的方程为l：4xy200.(1)求抛物线S的方程；(2)若O是坐标原点，是否存在定点M，当过点M的动直线与抛物线S交于P、Q两点时，都有POQ90？第59讲1D2. B3.A4.y28x5.y28x或x2y6.87解析：(1)由抛物线的定义得45，则p2，所以抛物线的标准方程为y24x.(2)证明：设圆心C的坐标为(，y0)，半径为r.因为圆C在y轴上截得的弦长为4，所以r24()2，故圆C的方程为(x)2(yy0)24()2，整理得(1)y022yy0(x2y24)0，对于任意的y0R，方程均成立故有，解得.所以，圆C过定点(2，0)8A解析：设抛物线yx2上一点为(m，m2)，该点到直线
4、4x3y80的距离为，当m时，取得最小值，为，选A.92解析：设等边三角形的另外两个顶点的坐标为A(y2，y)，B(y2，y)，且A，B与焦点F(，0)连线的斜率分别为，得y，所以等边三角形的边长为|2y|2.10解析：(1)设抛物线S的方程为y22px(p0)，将直线l：4xy200代入得2y2py20p0.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则y1y2，同理，x1x2(5)(5)1010.又ABC的重心F(，0)，设A(x3， y3)，则，0，所以x310，y3.因为点A在抛物线S上，故()22p(10)，所以p8，所以抛物线S的方程为y216x.(2)设过定点M的动直线方程为ykxb，交抛物线于P、Q两点，显然，k0，b0.因为POQ90，所以kPOkQO1，所以1，所以xPxQyPyQ0.把ykxb代入抛物线方程得ky216y16b0，所以yPyQ，从而xPxQ，所以0.因为k0，b0，所以b16k，所以动直线的方程为ykx16k，从而yk(x16)，所以动直线必经过定点(16，0)若直线PQ的斜率不存在，直线x16与抛物线交于P(16，16)，Q(16，16)两点，仍有POQ90，所以存在定点M(16，0)满足条件
