1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 必修1 函数的应用 第三章 3.2 函数模型及其应用第三章 3.2.2 函数模型的应用实例课堂典例讲练 2当 堂 检 测 3课 时 作 业 4课前自主预习 1课前自主预习某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件于是商场经理决定每件衬衫降价15元那么经理的决定正确吗？这需要把实际问题转化为数学问题用函数模型来解决.函数模型的应用(1)用已知的函数模型刻画实际问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数
2、模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测其基本过程如图所示知识点拨 巧记函数建模过程；收集数据，画图提出假设；依托图表，理顺数量关系；抓住关键，建立函数模型；精确计算，求解数学问题；回到实际，检验问题结果.答案 D解析 甲、乙两人所行路程s完全一致，即为坐标系中的s轴上的s0，显然甲用时少1甲、乙两人在一次赛跑中，路程 s 与时间 t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是 导学号 22841030()A甲比乙先出发B乙比甲跑的路程多C甲、乙两人的速度相同D甲先到达终点答案 C解析 设年平均增长率为x，1(1x)1(1P)12，x(1P)121，故选C.2某企业生产总值的月平均增长率为 P，则
3、年平均增长率为 导学号 22841031()A(1P)11 B(1P)12C(1P)121D(1P)111答案 D解析 本题考查函数的应用由题意，上午8：00时，t4，所以温度T(4)33(4)608()，故选D.3某物体一天中的温度 T()是时间 t(h)的函数：Tt33t60.若 t0 表示中午 12：00，下午 t 取值为正，则上午 8：00 的温度是 导学号 22841147()A112 B58 C18 D84已知大气压 p(百帕)与海拔高度 h(米)的关系式为 p1000(7100)h3000，则海拔 6000 米处的大气压为_百帕.导学号 22841032答案 4.9解析 当 h6
4、000 米时，p1000(7100)600030004.9(百帕)5长为 4、宽为 3 的矩形，当长增加 x，且宽减少x2时面积最 大，此 时x _，最 大 面 积S _.导学号 22841033答案 1 252解析 矩形的面积 S(4x)(3x2)x22x12252 12(x1)2，当 x1 时，面积最大，最大面积为252.课堂典例讲练一次函数模型问题某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在下图中的两条线段上该股票在30 天内(包括30 天)的日交易量Q(万股)与时间t(天的部分数据如下表所示：导学号 22841034第t天41
5、01622Q(万股)36302418(1)根据图象提供的信息，写出该种股票每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？解析(1)设表示前 20 天每股的交易价格 P(元)与时间t(天)的 一 次 函 数 关 系 式 为 P k1t m，由 图 象 得2k10m，6k120m，解得k115，m2.即 P15t2；设表示第20天至第30天每股的交易价格P(元)与时间t(天)的一次函数关系式为 Pk2tn
6、，由图象得6k220n，5k230n，解得k2 110，n8.即 P 110t8.综上知 P15t2，0t20，110t8，20t30(tN)(2)设日交易量 Q 与时间 t 满足一次函数关系式 Qatb(a、b 为常数)，将(4,36)与(10,30)代入，得4ab36，10ab30，解得a1，b40.所以日交易量 Q(万股)关于时间 t(天)的一次函数关系式为Q40t(0t30，且 tN)(3)由(1)(2)可得y15t240t，0t20，110t840t，20t30(tN)即 y15t26t80，0t20，110t212t320，20t30(tN)当 0t20 时，函数 y15t26t8
7、0 的图象的对称轴为直线 t15，当 t15 时，ymax125；当 20t30 时，函数 y 110t212t320 的图象的对称轴为直线 t60，该函数在20,30上单调递减，即当 t20 时，ymax120.而 125120，第 15 天日交易额最大，最大值为 125 万元规律总结 1.这是一个一次函数在实际问题中的应用题目，认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图象，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域2一次函数模型层次性不高，一般情况下可以采用“求什么，设什么，列什么”的方法来求解即可导学号 22841035某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份 0.35
8、元，卖出的价格是每份 0.50 元，卖不掉的报纸还可以每份 0.08 元的价格退回报社在一个月(30 天)里，有 20 天每天可以卖出 400 份，其余 10 天每天只能卖出 250 份，设每天从报社买进的报纸数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？该销售点一个月最多可赚得多少元？分析 每月所赚的钱卖报的总收入付给报社的总钱数而收入的总数分为3部分(设每天从报社买进x份报纸，显然250 x400)：在可卖出400份的20天里，收入为0.5x20；在可卖出250份的10天里，在x份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为0.525010；没有卖掉的(x250)份报纸可退回报社
9、，报社付给(x250)0.0810元的钱解析 设每天从报社买进x份报纸，易知250 x400，设每月赚y元，则y0.5x200.525010(x250)0.08100.35x300.3x1050，x250,400因为y0.3x1050是定义域上的增函数，所以当x400时，ymax12010501170(元)故每天从报社买400份报纸时，所获的利润最大，每月可赚1170元.二次函数模型问题某租赁公司拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费 150元，未租出的车每辆每月需要维护费 5
10、0 元.导学号 22841036(1)当每辆车的月租金为 3600 元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？思路分析(1)本题首先是建立月收益函数解析式，然后运用配方法来求最大值，其中应注意无论是租出还是未租出的汽车均需要维护费解析(1)当每辆车的月租金定为 3600 元时，未租出的车为360030005012 辆，所以这时租出了 88 辆车(2)设每辆车的月租金定为 x 元，则租赁公司的月收益为f(x)(100 x300050)(x150)x30005050 x250162x21000 150(x4050)2307050，所以当x4
11、050时，f(x)取最大值，最大值为307050，即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元规律总结 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位根据实际情况，列出函数解析式，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题导学号 22841037西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入 x 万元，可获得利润 P 1160(x40)2100(万元)当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划后对该项目每年都投入 60 万元
12、的销售投资，在未来 10 年的前 5 年中，每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路，5 年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的 5 年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入 x 万元，可获利润 Q159160(60 x)21192(60 x)(万元)问从 10 年的总利润看，该规划方案是否具有实施价值？解析 在实施规划前，由题设 P 1160(x40)2100(万元)知，每年只需投入 40 万，即可获得最大利润 100 万元则 10 年的总利润为 W1100101 000(万元)实施规划后的前 5 年中，修建公路的费用为 305150(
13、万元)，又由题设 P 1160(x40)2100 知，每年投入 30 万元时，利润 P7958(万元)前 5 年的利润和为7958 51502 7758(万元)设在公路通车后的 5 年中，每年用 x 万元投资于本地的销售，而用剩下的(60 x)万元投资于外地的销售，则其总利润为W2 1160(x40)21005(159160 x21192 x)55(x30)24950.当 x30 时，(W2)max4950(万元)从而 10 年的总利润为2 775849501 000.故该方案有极大实施价值.指数型、对数型函数模型应用问题医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小
14、白鼠体内进行实验，经验测，病 毒 细 胞 的 总 数 与 天 数 的 数 据 记 录 如 下表.导学号 22841038天数病毒细胞个数112234516632已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候，小白鼠将会死亡如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物(答案精确到天，lg20.3010)?(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命(只列出相关的关系式即可，不要求求解)?解析(1)由题意知，病毒细胞个数y关于天数t的函数关系式为y2t1(tN)则由2t1108两边取常用对数，得(t1)lg2
15、8，解得t27.6.即第一次最迟应在第27天注射该种药物(2)由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为2262%，再经过x天后小白鼠体内病毒细胞个数为2262%2x.由题意，得关系式2262%2x108.规律总结 指数函数的应用型问题已经进入各级各类考试中，一般地，在读懂题意的基础上，提炼指数函数模型，在解决实际问题中，涉及运算问题常转化为对数运算问题，要求同学们有一定的运算能力导学号 22841039某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg20.3010，lg3
16、0.4771)分析 每次过滤杂质含量降为原来的23，过滤 n 次后杂质含量为 2100(23)n，结合市场要求，即可建立数学关系式解析 依题意，得 2100(23)n0.1100，即(23)n 120.则 n(lg2lg3)(1lg2)，故 n 1lg2lg3lg27.4，考虑到 nN，即至少要过滤 8 次才能达到市场要求.分段函数模型问题某公司生产一种产品，每年投入固定成本 0.5 万元，此外每产生 100 件这种产品还需要增加投资 0.25 万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为 500 件，当出售的这种产品的数量为 t(单位：百件)时，销售所得的收入约为 5t12t2(万元).导学
17、号 22841040(1)若该公司的年产量为 x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量 x 的函数；(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？思路分析 利润销售收入总的成本由于本题中的销量只能为500件，但生产的数量不确定，所以模型确定为分段函数模型解析(1)当 05 时，产品只能售出 500 件f(x)5x12x20.50.25x0 x5，5512520.50.25xx5，即 f(x)12x24.75x0.505.(2)当 05 时，f(x)120.25510.75(万元)，当年产量为 475 件时，利润最大规律总结 1.本题的函数模型是分段的一次函数
18、和二次函数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以分段函数应用广泛2在构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理，不漏不重同时求分段函数的最值时，应在每一段上分别求出各自的最值然后比较哪一个最大(小)取哪一个导学号 22841041某商品在近 30 天内每件的销售价格 p(元)和时间 t(天)的函数关系为：pt200t25，t10025t30.(tN*)设商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系为 Q40t(0t30，tN*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天分析 日销售金额日销售量日销售价格，
19、而日销售量及销售价格(每件)均为t的一次函数，从而日销售金额为t的二次函数，该问题为二次函数模型解析 设日销售金额为 y(元)，则 yPQ，所以 yt220t800 0t25，t2140t4 000 25t30.(1)当 0t25 且 tN*时，y(t10)2900，所以当 t10 时，ymax900 元(2)当25t30且tN*时，y(t70)2900，所以当t25时，ymax1125元综合(1)，(2)得ymax1125元因此这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25天达到日销售金额最大当 堂 检 测答案 D解析 据题意知：y0.2x0.3(4000 x)0.1x1200(0 x40
20、00)1据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次 0.3 元，普通车存车费是每辆一次 0.2 元若普通车存车数为 x 辆次，存车总收入为 y元，则 y 关于 x 的函数关系式是 导学号 22841042()Ay0.1x800(0 x4 000)By0.1x1 200(0 x4 000)Cy0.1x800(0 x4 000)Dy0.1x1 200(0 x4 000)答案 A解析 当x1时，y100alog22，a100，y100log2(x1)，当x7时，y100log28300，故选A.2某种动物的数量 y(只)与时间 x(年)的关系为 yalog
21、2(x1)，设这种动物第一年有 100 只，第 7 年它们发展到导学号 22841043()A300 只B400 只C500 只D600 只答案 3800解析 由于420400011%440，因此该人稿费不超过4000元，设稿费为x元，则(x800)14%420解得x3800元3(2016山东泗水一中月考试题)国家规定个人稿费纳税办法为：不超过 800 元的部分不纳税；超过 800 元而不超过 4000元按超过 800 的 14%纳税；超过 4000 元的按全稿酬的 11%的税某人出版了一书共纳税 420，这个人的稿费为_元.导学号 228411484某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段
22、进行分时计价该地区的电网销售电价表如下：导学号 22841044高峰时间段用电价格表高峰月用电量/kWh高峰电价元/kWh50 及以下的部分0.568超过 50 至 200 的部分0.598超过 200 的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量/kWh低谷电价元/kWh50 及以下部分0.288超过 50 至 200 的部分0.318超过 200 的部分0.388若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200kWh，低谷时间段用电量为 100kWh，则按这种计费方式家庭本月应付的电费为_元(用数字作答)答案 148.4 解 析 高 峰 时 间 段 电 费 为 500.568 1500.
23、598 118.1(元)，低 谷 时 间 段 电 费 为 500.288 500.318 30.3(元)，所 以 这 个 家 庭 该 月 应 付 电 费 为 118.1 30.3 148.4(元)5某工厂生产某产品 x 吨所需费用为 P 元，而卖出 x 吨的价格为每吨 Q 元，已知 P10005x 110 x2，Qaxb，若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为 150 吨时利润最大，此时每吨价格为 40 元，求实数 a，b 的值.导学号 22841045解析 设利润为 y 元，则 yQxPaxx2b10005x 110 x2(1b 110)x2(a5)x1000，依题意得 a521b 110150，40a150b，化简得a300b 35，a150b 40，解得a45，b30.课 时 作 业（点此链接）