1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 必修1 函数的应用 第三章 3.1 函数与方程第三章 3.1.2 用二分法求方程的近似解课堂典例讲练 2当 堂 检 测 3课 时 作 业 4课前自主预习 1课前自主预习在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手某次竞猜的物品为价格在800元1200元之间的一款手机，选手开始报价：选手：1000.主持人：低了选手：1100.主持人：高了选手：1050.主持人：祝贺你，答对了问题1：主持人说“低了”隐含着手机价格在哪个范围内？问题2：选手每次的报价值同竞猜前手机价格所在范围有何关系？1.二分法的概念对于
2、在区间a，b上连续不断且_0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐步逼近_，进而得到零点_的方法叫做二分法知识点拨 二分法就是通过不断地将所选区间(a，b)一分为二，逐步地逼近零点的方法，即找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间内的某个数值近似地表示真正的零点f(a)f(b)一分为二零点近似值2用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤(1)确定区间a，b，验证_，给定精确度；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)：若f(c)_，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)_0，则令bc此时零点x0(a，c)；若f(c)f(b)_0
3、，则令ac此时零点x0(c，b)f(a)f(b)00(4)判断是否达到精确度：即若|ab|_，则得到零点的近似值为a(或b)；否则重复(2)(4)3二分法的应用由函数的零点与相应方程根的关系，可以用二分法来求方程的_近似解答案 C解析 用二分法只能求变号零点，而C只有不变号零点，所以不能用二分法求得该函数零点1.下列选项中，每个函数都有零点，但不能用二分法求图中函数零点的是 导学号 22840962()答案 C解析 A、B、D三个函数中，都存在x0a，b使f(a)f(b)0，只有C中函数值不变号，因此函数f(x)x22x1不能用二分法求零点2下列函数中不能用二分法求零点的是 导学号 22840
4、963()Af(x)2x3 Bf(x)mx2x6Cf(x)x22x1Df(x)2x1答案 A解析 因为f(2)30，f(1)60，f(2)f(1)0，故可取2,1作为初始区间，用二分法逐次计算3用二分法求函数 f(x)x35 的零点可以取的初始区间是 导学号 22840964()A2,1 B1,0C0,1D1,24方程 3xm0 的根在(1,0)内，则 m 的取值范围为_.导学号 22840965答案(0,3)解析 由题意知只要满足31m0即可解得0m3.答案(2,2.5)解析 令f(x)x32x5，f(2)0，f(2.5)0，下一个有根区间为(2,2.5)5用二分法求方程 x32x50 在区
5、间(2,3)内的实根，取 区 间 中 点 为 x0 2.5，那 么 下 一 个 有 根 的 区 间 是_.导学号 22840966课堂典例讲练(1)下面关于二分法的叙述，正确的是()A用二分法可求所有函数零点的近似值B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C二分法无规律可循D只有在求函数的零点时才用二分法对二分法概念的理解(2)观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()导学号 22840967思路分析(1)怎样用二分法求函数的零点？(2)函数具有零点与该函数的图象有何关系？解析(1)只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右的函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的
6、近似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机或计算器来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错(2)由图象可得，A中零点左侧与右侧的函数值符号不同，故可用二分法求零点答案(1)B(2)A规律总结 运用二分法求函数的零点需具备的两个条件：(1)函数图象在零点附近连续不断；(2)在该零点左右函数值异号导学号 22840968(1)对于二分法求得的近似解，精确度 说法正确的是()A 越大，零点的精确度越高B 越大，零点的精确度越低C重复计算次数就是 D重复计算次数与 无关(2)下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()答案(1)B(2)B分析 由题目可获取以
7、下主要信息：题中给出了函数的图象；二分法的概念解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件解析(1)由精确度定义知，越大，零点的精确度越低(2)利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号在B中，不满足f(a)f(b)0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点.用二分法求函数的零点问题用二分法求方程 x250 的一个近似解(精确度为 0.1).导学号 22840969思路分析 解析 令f(x)x25，因为f(2.2)2.2250.160，所以f(2.2)f(2.4)0.因为f(2.2)f(2.3)0，因为f(2.2)f(2.25)0，所以x0
8、(2.2,2.25)由于|2.252.2|0.050，f(1.556 25)0.0290，即f(1.562 5)f(1.556 25)0，且1.562 51.556 250.006 250.01，f(x)3xx4 的一个零点的近似值可取为 1.562 5.二分法在实际中的应用在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障这是一条长 10 km 的线路，电线杆 的 间 距 为100 m 如 何 迅 速 查 出 故 障 所 在 呢？导学号 22840971思路分析(1)考虑用二分法思想，通过找中点不断将区间一分为二，逐渐逼近在两根电线杆之间解析 如图所示，首先从 AB 线路的中
9、点 C 开始检查，当用随身带的话机向两端测试时，发现 AC 段正常，判定故障在BC；再到 BC 段中点 D 检查，这次发现 BD 段正常，可见故障出在 CD 段；再到 CD 段中点 E 来检查每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半要把故障可能发生的范围缩小到100 m 左右，查 7 次就可以了规律总结(1)精确度 与等分区间次数之间有什么关系？若初始区间选定为(a，b)，则区间长度为 ba，等分 1 次，区间长度变为ba2；等分 2 次，区间长度变为ba22；则等分 n次，区间长度变为ba2n.要想达到精确度，需满足ba2n nlog2ba.如选取精确度为 0.1，初始区间为(2,3)，经计算
10、log2320.1 log2103.32，则需等分 4 次即可达到精确度 0.1.如上题中，100，nlog210000100 log21007.导学号 22840972在 26 枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们相同的假币(重量较轻)，现在只有一台天平，请问：最多几次就可以发现这枚假币？解析 将 26 枚金币分为两组，每组 13 枚，分别放于天平左右两侧测量，则假币在较轻的那一组中；从这较轻的 13 枚金币中任取 12 枚均分为 2 组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则剩下的那一枚为假币，到此也就完成任务了；若天平不平衡，则假币在较轻的那6枚中；将较轻的6枚再均分为2组，分别置于天
11、平上测量，则假币将会出现在较轻的那3枚中；再从这3枚中任取两枚，若天平平衡，则未取到的那一枚为假币，若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币因此，发现假币最多需进行4次比较.逆用定理出错零点存在性判定定理中，对于区间a，b上的连续函数f(x)，由f(a)f(b)0函数f(x)在区间(a，b)内有零点，而函数f(x)在区间(a，b)内有零点f(a)f(b)0.这两者之间不是等价关系，要加以区分若函数 f(x)在区间2015,2015上的图象是一条连续不断的曲线，且函数 f(x)在(2015,2015)内仅有一个零点，则 f(2015)f(2015)的符号是 导学号 22840973()A大于 0B
12、小于 0C等于 0D不能确定错解 由函数零点存在定理得 f(2015)f(2015)0，故选B.错因分析 根据题目条件，当f(2015)f(2015)0时，函数f(x)在区间(2015,2015)内有一个零点，而当函数f(x)在区间(2015,2015)内仅有一个零点时，零点可能是不变号零点(如函数f(x)对应的一元二次方程有二重根)，因此f(2015)f(2015)的符号可能为正号正解 f(2015)f(2015)的符号不能确定，故选D.点评 注意零点存在定理中，“f(a)f(b)0”“函数f(x)在区间(a，b)内有零点”，反向逆推则不成立如函数f(x)x2在(1,1)上有零点0，但是f(
13、1)f(1)0.导学号 22840974函数 f(x)2x1x在定义域上的零点个数为()A0 个B1 个C2 个D3 个答案 A解析 由于函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，当x0时，有f(x)0；当x0时，有f(x)0，所以函数f(x)没有零点，故选A.点评 求解函数问题首先要考虑定义域，其次考虑函数图象的连续性这里的函数 f(x)2x1x在定义域上的函数图象是不连续的，有 x0，所以不能用零点存在定理来确定零点的个数当 堂 检 测答案 A解析 利用二分法求函数的零点，必须满足函数图象连续不断且在零点两侧函数值符号相反1二分法求函数的零点的近似值适合于 导学号 22840975()A零点
14、两侧函数值符号相反B零点两侧函数值符号相同C都适合D都不适合答案 C解析 因为f(x)(2x3)20，即含有零点的区间a，b不满足f(a)f(b)0.2下列函数不能用二分法求零点的是 导学号 22840976()Af(x)3x2Bf(x)log2x2x9Cf(x)(2x3)2Df(x)3x3答案 A解析 由于f(1.25)f(1.5)0，则方程的解所在的区间为(1.25,1.5)3函数 f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)0 在(1,2)内近似解的过程中得 f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的解所在的区间为 导学号 22840977()A(1.25,1.5
15、)B(1,1.25)C(1.5,2)D不能确定答案(2,3)解析 f(2)f(4)0，f(2)f(3)0，x0(2,3)4用二分法求函数 yf(x)在区间2,4上的近似零点(精确度为 0.01)，验证 f(2)f(4)0，取区间2,4的中点 x1242 3，计 算 得f(2)f(x1)0，则 此 时 零 点x0 所 在 的 区 间 是_.导学号 228409785已知函数 f(x)lnx2x6.导学号 22840979(1)证明 f(x)有且只有一个零点；(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于14.解析(1)证明：f(x)lnx2x6 在(0，)上是增函数，f(x)至多有一个零点由于 f(2)ln220，f(2)f(3)0.f(x)在(2,3)内有一个零点f(x)在(0，)上只有一个零点(2)f(2)0，取 x1232 52，f(52)ln5256ln5210，f(3)f(52)0.f(114)f(52)0.x0(52，114)|114 52|1414，满足题意的区间为(52，114)课 时 作 业（点此链接）