1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 必修1 函数的应用 第三章 在教科书第三章的章头图中，我们看到一大群喝水、嬉戏的兔子，但正是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859 年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到 100 年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到 75 亿只可爱的兔子变得可恶起来，75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直到 20 世纪 50年代，科学家采用载液瘤毒杀死了 90%的野兔，澳大利亚人
2、才算松了一口气一般而言，在理想条件(食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等)下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限的环境(空间有限，食物有限，有捕食者存在等)中，种群增长到一定程度(K)后不再增长，曲线呈“S”型从数学上来看，就需要用不同的函数增长模型来刻画它们这样，面对不同情况时，如何选择恰当的函数模型描述它们就很重要下面我们就进行本章的学习函数的应用3.1 函数与方程第三章 3.1.1 方程的根与函数的零点课堂典例讲练 2当 堂 检 测 3课 时 作 业 4课前自主预习 1课前自主预习三国志魏书记载：“邓哀王冲字仓舒，少聪察歧嶷，生五六岁，智意所及，有若成人之智
3、时孙权曾致巨象，太祖(曹操)欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理冲曰：置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣太祖大悦，即施行焉”这就是千古传诵、妇孺皆知的曹冲称象的故事抛除物理中的浮力原理，这其中就应用了转化化归的思想那么，在函数和方程中是否也有类似的转化呢？1.函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2bxc0(a0)的根的关系函数图象判别式符号(设判别式 b24ac)000与 x 轴交点个数_方程的根的个数_0210212.函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)，我们把使_成立的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)几何意义：函数yf(x)的图象与_的交点的_
4、就是函数yf(x)的零点(3)结论：方程f(x)0有_函数yf(x)的图象与x轴有_函数yf(x)有_知识点拨 并非所有的函数都有零点，例如，函数f(x)x21，由于方程x210无实数根，故该函数无零点f(x)0 x轴横坐标实数根交点零点3函数零点的判定定理知识点拨 判断函数yf(x)是否存在零点的方法：(1)方程法：判断方程f(x)0是否有实数解(2)图象法：判断函数yf(x)的图象与x轴是否有交点(3)定理法：利用零点的判定定理来判断条件结论函数yf(x)在a，b上yf(x)在(a，b)内有零点(1)图象是_的曲线(2)f(a)f(b)_0连续不断1.函数 f(x)x1x 的零点是 导学号
5、 22840924()A(1,0)B0C1D0 和 1答案 C解析 令x1x 0，解得 x1，则函数 f(x)的零点是 1.答案 B解析 f(x)2xm的零点为4，所以24m0，m8.2已知函数 f(x)2xm 的零点为 4，则实数 m 的值为导学号 22840925()A6B8C.82D32答案 B解析 函数f(x)x22xa没有零点，即方程x22xa0没有实数根，所以44a0，得a1.3若函数 f(x)x22xa 没有零点，则实数 a 的取值范围是 导学号 22840926()Aa1Ba1Ca1Da1答案 3解析 令2x60，解得x3.4函数 y2x6 的零点是_.导学号 22840927
6、答案 1解析 由f(a)f(b)0知f(x)0在a，b上至少有一个实数根，又f(x)在a，b上为单调函数，从而可知必有唯一实数根5设函数 f(x)在区间a，b上是单调函数，且 f(a)f(b)0，则 方 程f(x)0在 闭 区 间 a，b 内 有 _ 个根.导学号 22840928课堂典例讲练求函数的零点判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.导学号 22840929(1)f(x)x3x；(2)f(x)x22x4；(3)f(x)2x3；(4)f(x)1log3x.思路分析 分别令各个解析式等于 0，根据方程是否有根来确定函数的零点解析(1)令x3x 0，解得 x3，所以函数 f(x)x3x
7、的零点是3.(2)令 x22x40，由于 2244120，所以方程 x22x40 无解，所以函数 f(x)x22x4 不存在零点(3)令 2x30，解得 xlog23，所以函数 f(x)2x3 的零点是 log23.(4)令 1log3x0，解得 x3，所以函数 f(x)1log3x 的零点是 3.规律总结 1.正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实根，有几个实根即函数yf(x)的零点方程f(x)0的实根函数yf(x)
8、的图象与x轴交点的横坐标2函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)0的实数根(2)几何法：与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点导学号 22840930(1)指出下列函数的零点：f(x)x22x3 零点为_g(x)lgx2 零点为_(2)已知1 和 4 是函数 f(x)ax2bx4 的零点，则 f(1)_.答案(1)3，1 1100(2)6解析(1)f(x)(x3)(x1)的零点为 3 和1，由 lgx20 得，lgx2，x 1100.故 g(x)的零点为 1100.(2)由条件知f10f40，ab4016a4b40，a1b3，f(1)ab46.判断函数零点
9、所在的区间函数 f(x)3x12x2 的零点所在的一个区间是导学号 22840931()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)思路分析 根据函数零点的存在性定理判断函数零点所在的区间解析 f(2)3212(2)2269 0，f(1)3112(1)2136 0，f(0)30120210，f(1)311212320，f(2)32122280，则函数 f(x)3x12x2 的零点在区间(0,1)内答案 C规律总结 判断函数零点所在区间的方法：一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质
10、进行判断导学号 22840932函数 f(x)lnx2x6 的零点所在的一个区间是()A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(4,5)答案 B分析 计算f1，f2，f3，f4与f5的值，并判断它们的符号 若满足fafb0，则零点在区间a，b内解析 因为 f(1)ln121640，f(2)ln2226ln e220，f(3)ln3236ln30，f(4)ln42462ln220，f(5)ln5256ln540，所以 f(2)f(3)0，又函数 f(x)的图象是连续不断的一条曲线，故函数 f(x)的零点所在的一个区间是(2,3).函数零点个数的判断求 函 数 f(x)2x lg(x 1)2 的 零
11、 点 个数.导学号 22840933思路分析解析 解法一：因为 f(0)10210，所以由函数零点存在性判定定理知，f(x)在(0,2)上必定存在零点又 f(x)2xlg(x1)2 在(1，)上为增函数，故 f(x)0 有且只有一个实根，即函数 f(x)仅有一个零点解法二：在同一坐标系中作出 h(x)22x 和 g(x)lg(x1)的图象，如图所示，由图象可知 h(x)22x和 g(x)lg(x1)有且只有一个交点，即 f(x)2xlg(x1)2 与 x 轴有且只有一个交点，即函数 f(x)仅有一个零点规律总结 判断函数零点个数的主要方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点(
12、2)画出函数yf(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数(3)结合单调性，利用f(a)f(b)0，可判定yf(x)在(a，b)上零点的个数(4)转化成两个函数图象的交点问题导学号 22840934判断函数 f(x)x3lnx 的零点的个数解析 解法一：在同一平面直角坐标系中画出函数 ylnx，yx3 的图象，如图所示由图可知函数 ylnx，yx3 的图象只有一个交点，即函数 f(x)x3lnx 只有一个零点解法二：因为 f(3)ln30，f(2)1ln2ln2e0，所以f(3)f(2)0，说明函数 f(x)x3lnx 在区间(2,3)内有零点又 f(x)x3lnx 在(0，)内
13、是增函数，所以原函数只有一个零点.函数零点的应用已知二次函数 f(x)x2(m1)x2m 在0,1上有且只有一个零点，求实数 m 的取值范围.导学号 22840935思路分析 f(x)在0,1上有且只有一个零点，即方程 f(x)0 在0,1上有且只有一个根，要注意分类讨论并且不要遗漏在0,1上有二重根的情况解析(1)若方程 x2(m1)x2m0 在0,1上有两个相等的实根，则有m128m0，0m121，此时无解(2)若方程 x2(m1)x2m0 有两个不相等的实根，当有且只有一根在(0,1)上时，有 f(0)f(1)0，即 2m(m2)0，得2m0；当f(0)0时，m0，方程化为x2x0，根为
14、x10，x21，满足题意；当f(1)0时，m2，方程可化为x23x40，根为x11，x24，满足题意综上所述：实数m的取值范围为2,0规律总结 1.解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解2二次函数零点的分布问题二次函数零点的分布即一元二次方程根的分布，一般为下面两个方面的问题：(1)一个区间内只有一个根；(2)一个区间内有两个根由于我们在初中学过方程根的情况，有时可以根据判别式及根与系数的关系判断，但在多数情况下，还要结合图象，从对称轴、判别式、区间端点的函数值等方面去探究具体解法如下表：设二次函数yax2bxc(a0)对应的方程
15、的根为x1、x2.根的分布(mnp)图象满足条件x1mx2f(m)0一个区间只有一个根mx1nx2pfm0，fn0，fp0根的分布(mnp)图象满足条件mx1x2n0，m b2an，fm0，fn0一个区间有两个根mx1x20，b2am，fm0根的分布(mnp)图象满足条件在(m，n)内有且只有一个根或f(m)f(n)0 或 0且 b2a(m，n)或fm0，m b2amn2或fn0，mn2 b2an另外，x1，x2(0，)，即两正根，也可通过满足条件 b24ac0，ba0，ca0来解决；x1，x2(，0)，即两负根，也可通过满足条件b24ac0，ba0，ca0来解决；x1，x2 一正一负也可通过
16、满足b24ac0，ca0来解决导学号 22840936已知关于 x 的二次方程 x22mx2m10 有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求 m 的取值范围分析 借助于二次函数的图象，讨论区间端点对应的函数值的符号，列出不等式组，即可解得实数 m 的取值范围解析 由题意知，抛物线 f(x)x22mx2m1 与 x 轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2)内，可以画出示意图(如右图所示)，观察图象可得f02m10f14m20，解得56m0，f(4)20，因此函数f(x)x25x6在1,4上没有零点，即零点个数是0.错解二：f(1)20，f(2.5)0.250，f(2.5)
17、0.250时，(a，b)中的零点情况是不确定的，而错解二出现了逻辑错误，当f(a)f(b)0时，(a，b)中存在零点，但个数不确定思路分析 要想准确地判断函数零点的个数，要么把它们全部求出来，要么利用函数图象来判断，这才是正确的方法正解 由题意，得x25x60，x2，x3，函数的零点是2,3 函数在1,4上的零点的个数是2.导学号 22840938函数 f(x)2 4x2(x1,1)的零点个数为_答案 1解析 令 2 4x20，解得 x0，所以函数仅有一个零点，故填 1.点评 当函数 yf(x)的图象在闭区间a，b上是一条连续不断的曲线，但是不满足 f(a)f(b)0 时，函数 yf(x)在区
18、间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点当 堂 检 测1下列函数的图象中没有零点的是 导学号 22840939()答案 D解析 从图中观察知，只有D中函数图象与x轴没有交点，故选D.规律总结 根据函数零点的概念，函数有零点，即函数的图象与x轴有交点函数图象与x轴有几个交点，函数就有几个零点2函数 f(x)4x2x3m 的零点为 1，则实数 m 的值为导学号 22840940()A23B23C.32D32答案 B解析 f(1)423m0，m23，故选 B.答案 A解析 函数f(x)的定义域为x|x0，当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0，但此函数在定义域内的图象不连续，所以函数没有零点
19、，故选A.3函数 f(x)x1x的零点的个数为 导学号 22840941()A0B1C2D34 函 数 f(x)lnx 2x 的 零 点 所 在 的 大 致 区 间 是导学号 22840942()A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(e,3)答案 B解析 将各选项中区间的左右端点分别代入 f(x)lnx2x，看其是否满足 f(a)f(b)0.f(2)ln210，f(3)ln3230，f(2)f(3)0，f(x)在(2,3)内有零点，故选 B.5函数 f(x)x2axb 的两个零点是 2 和 3，求函数 g(x)bx2ax1 的零点.导学号 22840943解析 由题意知方程 x2axb0 的两个根是 2 和 3，a5，b6，g(x)6x25x1，由6x25x10，解得 x112，x213.函数 g(x)的零点是12，13.课 时 作 业（点此链接）