1、河北省2022届高三上学期9月开学摸底联考数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）ABCD 2下列四个向量中，与向量共线的是（ ）ABCD32021年7月，中国青年报社社会调查中心通过问卷网，对
2、2047名1435岁青少年进行的专项调查显示，对于神舟十二号航天员乘组出征太空，98.9%的受访青少年都表示了关注针对两个问题“关于此次神舟十二号飞行乘组出征太空，你有什么感受（问题1）”和“青少年最关注哪些方面（问题2）”，问卷网统计了这2047名青少年回答的情况，得到如图所示的两个统计图，据此可得到的正确结论为（ ）A对于神舟十二号太空之旅，只有极少的受访青少年关注航天员是怎样选的B对于神舟十二号飞行乘组出征太空，超过七成的受访青少年认为开启空间站新时代，“中国速度”令人瞩目C对于神舟十二号太空之旅，青少年关注最多的是航天员在太空的工作和生活D对于神舟十二号飞行乘组出征太空，超过八成的受访
3、青少年充分感受到我国载人航天事业取得大发展、大进步4若虚数z满足，则（ ）AB2C4D0或25已知函数，则（ ）A为奇函数，为偶函数B为奇函数，为偶函数C为奇函数，为偶函数D为奇函数，为偶函数6若，则（ ）ABCD7含有海藻碘浓缩液的海藻碘盐，是新一代的碘盐产品海藻中的碘80%为无机碘，10%20%为有机碘，海藻碘盐兼备无机碘和有机碘的优点某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X（单位：克）服从正态分布N（400，4），某顾客购买了4袋海藻碘食用盐，则至少有2袋的质量超过400克的概率为（ ）ABCD8已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且若，则C的离心率的取值范围
4、是（ ）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9若直线与圆相切，则（ ）AB数列为等差数列C圆C可能经过坐标原点D数列的前10项和为2310“端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一，全国各地的粽子包法各有不同如图，粽子可包成棱长为6cm的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为cm，高为6cm（不含外壳）的圆柱状竹筒粽现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为6cm的半球的体积，则（参考数据：）（ ） A这两碗馅料最多可包三角粽35个B这两碗馅
5、料最多可包三角粽36个C这两碗馅料最多可包竹筒粽21个D这两碗馅料最多可包竹筒粽20个11设函数在一个周期内的图象经过，这四个点中的三个点，则（ ）ABCD12设，则（ ）ABCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置13的展开式中的系数为_14已知双曲线的渐近线方程为，分别是C的左、右焦点，P为C右支上一点若，则_15曲线在点处的切线与曲线的另一个公共点为，则_16在棱长为3的正方体中，E，F，G分别为棱BC，上一点，且平面当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的侧面积为_，与平面所成角的正切值为_（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分
6、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）a，b，c分别为内角A，B，C的对边已知，（1）若，求；（2）若，求b18（12分）甲、乙、丙三台机床同时生产一种零件，在10天中，甲、乙机床每天生产的次品数如下表所示：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天第9天第10天甲0102233120乙2411021101（1）若从这10天中随机选取1天，设甲机床这天生产的次品数为X，求X的分布列；（2）已知丙机床这10天生产次品数的平均数为1.4，方差为1.84以平均数和方差为依据，若要从这三台机床中淘汰一台，你应该怎么选择？这三台机床你认为哪台性能最好？19（12分）如图，在底面
7、为矩形的四棱锥中，E为棱AD上一点，底面ABCD（1）证明：（2）若，求二面角的大小20（12分）已知数列，满足，且是公差为1的等差数列，是公比为2的等比数列（1）求，的通项公式；（2）求的前n项和21（12分）已知函数（1）从，这两个条件中选择一个，求零点的个数；（2）若，讨论函数的单调性注：若第（1）问选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分22（12分）已知抛物线E的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且直线与E相切（1）求E的方程（2）设P为E的准线上一点，过P作E的两条切线，切点为A，B，直线AB的斜率存在，且直线PA，PB与y轴分别交于C，D两点证明：试问是否为定值？若是，求出该定值；若
8、不是，请说明理由河北省2022届高三上学期9月开学摸底联考数学考试参考答案1B【解析】本题考查一元二次不等式的解法与集合的交集，考查运算求解能力由，得或，则2C【解析】本题考查向量共线的条件，考查运算求解能力因为，所以向量与向量共线3C【解析】本题考查统计图表的识别，考查读图能力由图可知，对于神舟十二号太空之旅，46.6%的受访青少年关注航天员是怎样选的，有将近一半的青少年关注此问题，所以A错误而75.3%0.8，64.6%0.7，所以B，D均错误对于神舟十二号太空之旅，很多青少年都特别关注航天员，有74.4%的受访青少年关注他们在太空的工作和生活，所以C正确4B【解析】本题考查复数的模，考查
9、待定系数法的应用设，因为，所以，则，又，解得或故5D【解析】本题考查函数的奇偶性，考查逻辑推理能力因为，所以为奇函数，为偶函数，与均为非奇非偶函数6B【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算与逻辑推理的核心素养因为，所以，所以7A【解析】本题考查正态分布与二项分布的应用，考查抽象概括能力因为X（单位：克）服从正态分布，所以设4袋海藻碘食用盐中质量超过400克的袋数为Y，则，则至少有2袋的质量超过400克的概率为8C【解析】本题考查椭圆的性质，考查直观想象与数学运算的核心素养如图，延长交C于M，根据椭圆的对称性可知，则，因为焦点弦PM长度的最小值为，所以，则9ECD【解析】本题考查直线与圆以及
10、等差数列，考查运算求解能力与推理论证能力因为直线与圆相切，所以，则，数列是公差为的等差数列因为，所以的前10项和为又，所以当时，圆C可能经过坐标原点10AC【解析】本题考查简单几何体的体积的应用，考查运算求解能力与空间想象能力棱长为6cm的正四面体的体积，底面半径为cm，高为6cm的圆柱的体积，半径为6cm的半球的体积因为，所以这两碗馅料最多可包三角粽35个，最多可包竹筒棕21个11AD【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查推理论证能力与数形结合的数学思想因为，所以在一个周期内的图象不经过点C，则，解得因为，所以，又，所以12ACD【解析】本题考查基本初等函数及两数大小的比较，考查数学抽
11、象与逻辑推理的核心素养设函数令，得；令，得则，当且仅当时，等号成立，所以，即，即因为，又，所以13【解析】本题考查二项式定理，考查运算求解能力因为的展开式中的系数为写，所以的展开式中的系数为143【解析】本题考查双曲线的性质与定义，考查直观想象与数学运算的核心素养因为双曲线的渐近线方程为，所以，解得因为，所以1510【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力因为，所以曲线在点处的切线方程为，即将代入，得，解得或，故，16；【解析】本题考查三棱锥的侧面积与线面角，考查直观想象与数学建模的核心素养设，则，因为，所以三棱锥的体积，当且仅当时，等号成立，此时三棱锥的体积取得最大值，其侧面积为因为
12、平面，所以易证，从而与相似，因为，所以G为棱的中点，取的中点H，连接GH，可证平面，所以与平面所成的角为故17解：（1）因为，所以，1分所以，则3分因为，所以，4分则，5分又，所以6分（2）因为，所以，且A为锐角，7分所以，8分则10分评分细则：【1】第（1）问若由已知条件先直接得到，再得到，不扣分；若最后得到，但过程中未体现，要扣1分【2】若第（2）问最后的结果错误，但得到，扣1分18解：（1）依题意得X的可能取值为0，1，2，3，1分，2分，3分故X的分布列为0123P0.30.20.30.24分（2），5分，6分，7分8分因为，9分所以次品数的平均数最小的是乙，稳定性最好的也是乙，稳定性
13、最差的是丙，10分故应淘汰丙机床，乙机床的性能最好12分评分细则：【1】若X的分布列正确，但未求每个X对应的概率，不扣分【2】若未写“次品数的平均数最小的是乙，稳定性最好的也是乙，稳定性最差的是丙”，而直接得出结论“应淘汰丙机床，乙机床的性能最好”，要扣1分19（1）证明：因为底面ABCD，所以1分在矩形ABCD中，2分因为，所以平面PAD，3分因为平面PAD，所以4分（2）解：以E为坐标原点，的方向为y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，6分设平面PCD的法向量为，则，即7分令，得8分设平面PBC的法向量为，则，即9分令，得10分所以，11分由图可知，二面角为钝角，所以二面角为（或
14、120）12分评分细则：【1】第（1）问未写平面PAD，不扣分【2】第（2）问解析中得到平面的一个法向量不唯一，只要与参考答案中求得的法向量共线即可得分20解：（1）因为是公差为1的等差数列，所以2分又是公比为2的等比数列，所以，4分故5分（2）因为，所以为递增数列，6分又，故当时，恒有，故 7分记的前n项和为，则9分当时，；10分当时，11分综上，12分评分细则：【1】第（1）问未得到，但写了，给1分【2】第（2）问得到不扣分21解：（1）选，因为，所以，则1分记，则，且，2分因此方程有唯一解，不妨设，当时，；当时，3分所以4分又因为，5分所以在和内各有一个零点，故零点的个数为26分选，因为
15、，所以，则1分记，则当时，；当时，2分因此，3分所以，则在上单调递增4分又因为，5分所以在内存在唯一零点，故零点的个数为16分（2）易知的定义域为，设函数，则7分令，得，当时，由，得；由得故在和上单调递增，在上单调递减9分当时，恒成立，故在上单调递增10分当时，由，得；由，得故在和上单调递增，在上单调递减12分评分细则：【1】第（1）问若用极限说明两边函数值的正负，而未用具体函数值的正负来说明，扣1分【2】选时，除了选用，还可以使用其他函数值来说明，一个自变量在内，另一个自变量在内即可【3】选时，解析中，这里的选值也不是唯一的，只要说明一个函数值小于0，另一个函数值大于0，即可得分【4】第（2
16、）问未写令，得，其余步骤都正确，不扣分【5】第（1）问还可以这样做：选，由得，结合与的图象及，可得有2个零点；选，由得，同理可得有1个零点22（1）解：依题意可设E的方程为，1分联立得，2分依题意得，3分解得或（舍去），故E的方程为4分（2）证明：设，设过点P且与E相切的直线l的斜率为k，则，联立得，5分则，即由题意知，直线PA，PB的斜率，为方程的两根，则，故7分解：不妨设PA的斜率，则PB的斜率，设PA，PB的倾斜角分别为，直线AB的倾斜角为且斜率为，8分由可知，即，同理可得，则9分因为，10分所以，则，从而，11分又，则，所以，故为定值12分评分细则：【1】第（1）问解析第一行写为“设E的方程为”，不扣分【2】第（2）问若只是得到结论定值，而没有过程，给1分
