【大题精编】2023届浙江省中考数学复习 专题8 圆综合问题 解答题30题专项提分计划解析版.docx

1、【大题精编】2023届浙江省中考数学复习 专题8 圆综合问题 解答题30题专项提分计划（浙江省通用）1（2022浙江舟山校考一模）如图，四边形是的内接四边形平分，连接(1)求证：；(2)若，求的度数【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平分，可得，再根据，可得，从而得到，即可（2）根据圆的内切四边形，对角互补，求出，再利用垂径定理，可得，可得到，即可求解【详解】（1）证明：平分，；（2）解：，平分，【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理2（2022浙江温州校联考二模）已知，如图，直线交于，

2、两点，是直径，平分交于，过作于(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据平行线的判定与性质可得，且在上，故是的切线（2）由直角三角形的特殊性质，可得的长，又有，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径【详解】（1）连接，即在上，为的半径，是的切线（2），连接是的直径，则的半径是【点睛】本题考查圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理切割线定理、相似三角形的判定和性质等知识，在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键3（2022浙江衢州模拟预测）如图，已知的直径，、为的三等分点，、为上两点，且，求的值【答案】【分析】延长交于G，根据圆的中

3、心对称性可得，过点O作于H，连接，根据圆的直径求出，再解直角三角形求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据垂径定理可得，从而得解【详解】解：如图，延长交于G，E、F为的三等分点，过点O作于H，连接，的直径，在中，根据垂径定理，即【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理的应用，以及解直角三角形，作辅助线并根据圆的中心对称性得到是解题的关键，也是本题的难点4（2023浙江温州校考一模）如图，在中，点在上，以为半径作半圆，与相切于点，与，分别交于点，(1)求证：平分(2)若，求的长【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，继而得出，根据平行线的性质得出，根据半径相等以及

4、等边对等角得出，等量代换即可得证；（2）连接，设圆的半径是，勾股定理求得，证明，得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解【详解】（1）证明：连接，半圆与相切于点，平分（2）解：连接，设圆的半径是，：，：，是圆的直径，：，：，【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键5（2022浙江杭州校考二模）如图，锐角内接于，射线经过圆心O并交于点D，连结，与的延长线交于点F，平分(1)求证：(2)若，求的余弦值(3)若，的半径为，求的长【答案】(1)见解析(2)(3)6【分析】（1）由圆内接四边形的性质得，再根据平分，从而说明，即可得出答案；（2

5、）由圆周角定理知，则，再利用，从而解决问题；（3）利用，的半径为，可得的三边长，再根据，得，从而解决问题【详解】（1）证明：四边形为的内接四边形，平分，；（2）解：由题意可得，是的直径，又，垂直平分线段，又平分，即的余弦值为；（3）由题意可得，是的直径，又的半径为，由 （1）可知，的长为6【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握各性质是解题的关键6（2022浙江舟山校联考三模）如图，以的一边AB为直径作，交于点D，交于点E，点D为的中点(1)试判断的形状，并说明理由；(2)若直线l切于点D，与及的延长线分别交于点F、点G，求的值

6、【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析(2)【分析】对于（1），连接，根据直径所队的圆周角是直角得，再根据，得出，进而得出，最后根据“等角对等边”得出答案；对于（2），根据切线的性质得，由“等边对等角”得，再根据平行线分线段成比例的质得，再根据等腰直角三角形的性质得，最后根据比例式得出答案即可.【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：连接，如图所示，AB为的直径，点D为的中点，为等腰三角形；（2）解：连接OD，如图所示直线l是的切线，点D是切点，为等腰直角三角形，【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，切线的性质，平行线的判定,直径所队的圆周角是直角，弧，弦，圆心角之间的关系等，根据平

7、行线分线段成比例得出比例式是解题的关键.7（2022浙江杭州校考二模）如图所示，已知是O的直径，A、D是O上的两点，连接、，线段与直径相交于点E(1)若，求的值(2)当时，若，求的度数若，求线段的长【答案】(1)；(2)；【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，首先得到直角三角形，然后求出的度数，利用特殊角的锐角三角函数值直接求解即可；（2）根据已知先求出的值，然后在直角三角形中利用的值即可求出，再利用圆周角定理得出和的关系即可求出的度数；利用已知容易得出，进而得出，利用相似的性质得出比例式即可求出的长【详解】（1）解：是O的直径，所以的值为；（2）解：，即的度数为；，线段的长为【点睛】本题

8、综合考查了与圆有关的基本性质，并结合性质考查了锐角三角函数和相似三角形，题目的综合性较强，解题的关键是熟练掌握圆周角定理并灵活运用，掌握三角形相似的基本模型8（2022浙江宁波校考模拟预测）锐角三角形的外心为O，外接圆直径为d，延长，分别与对边交于(1)求的值；(2)求证：【答案】(1)1(2)见解析【分析】（1）根据，进而可以解决问题；（2）延长交于M，由于交于点O然后由，可以求得结论【详解】（1）解：由于交于点O，；（2）证明：如图，延长交于M，设R为的外接圆半径，交于点O，同理有：，代入，得，【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，分式的加减法，比例的性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆

9、与外心9（2022浙江金华一模）如图，已知AB是的直径，为的内接三角形，C为BA延长线上一点，连接CD，于点E，交CD于点F，(1)求证：CD是的切线(2)若，求的长【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）连接OD，根据垂直定义可得AEO90，从而可得OADAOF90，再根据等腰三角形的性质，可得OADODA，从而可得ADCODA90，进而可得ODC90，即可得证；（2）在Rt中，由可得C30，然后证明是等边三角形，解直角三角形求出AD2，可得OD2，再利用弧长公式计算即可【详解】（1）证明：如图，连接OD，OFAD，AEO90，OADAOF90，OAOD，OADODA，ADCAOF，ADC

10、ODA90，ODC90，OD是O的半径，CD是O的切线；（2）解：在Rt中，C30，COD60，OAOD，是等边三角形，OAD60，AB是直径，BDA90，在Rt中，AD，OD2，的长为：【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键10（2022浙江温州二模）如图，AB是O的直径，=，AC与BD相交于点E连接BC，BCF=BAC，CF与AB的延长线相交于点F(1)求证：CF是O的切线；(2)求证：ACD=F；(3)若AB=10，BC=6，求AD的长【答案】(1)见解析(2)见解析(3)

11、AD=【分析】（1）连接OC，由圆周角定理得ACO+OCB=90，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论；（2）根据同圆中等弧对等角、等角对等弧可得答案；（3）设OH为x，则CH为（5-x），根据勾股定理可得方程，求得OH的长，再根据三角形中位线定理可得答案【详解】（1）证明：连接OC，AB是直径，ACB=90，ACO+OCB=90，OA=OC，BAC=ACO，BCF=BAC，BCF+OCB=90，OCF=90，OCCF，CF是O的切线；（2）证明：=，CAD=BAC，BCF=BAC，CAD=BCF，=，CAD=CBD，BCF=CBD，BDCF，ABD=F，=，ACD=ABD，ACD=F；

12、（3）解：如图：BDCF，OCCF，OCBD于点H，设OH为x，则CH为（5-x），根据勾股定理，62-（5-x）2=52-x2，解得：x=，OH=，OH是中位线，AD=2OH=【点睛】此题考查的是圆周角定理、切线的判定和性质、勾股定理和三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决此题关键11（2022浙江丽水校联考三模）如图，为的外接圆的直径，点在上，在线段上取点作的垂线交于点，点在的延长线上，且(1)求证：与相切(2)已知直径，若，试求的长【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接OA，根据“连半径，证垂直”，即可证明；（2）由BC是直径可得BAC=90，根据勾股定理求出AB的长，再由ABC的

13、正弦、余弦三角函数值求出BF、EF，在RtOEF中，利用勾股定理即可求出OE的长（1）证明：连接，又，是半径，与相切（2）BC是直径，BAC=90，在RtABC中，由勾股定理当时，BE=10 ，【点睛】本题考查圆的切线的证明，圆周角定理、解直角三角形及勾股定理，是常见的中考题型，灵活运用勾股定理、三角函数是解题的关键12（2022浙江丽水统考一模）如图，是的直径，C，D是上两点，C是的中点，过点C作的垂线，分别交与的延长线于点E和点F(1)求证：是的切线；(2)若，求的长【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接OC，根据题意证明，得出，根据，得出，即可证明结论；（2）设，则，根据勾股定理列

14、出关于r的方程，解方程，得出圆的半径，求出，得出，根据圆周角定理得出，即可求出的长度(1)解：连接OC，C是弧的中点，是圆O的切线(2)设，则，解得，【点睛】本题主要考查了圆的切线判定，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，弧长的计算，根据题意证明，求出圆的半径r，是解题的关键13（2022浙江杭州杭州市十三中教育集团（总校）校联考模拟预测）如图，锐角内接于，D是劣弧上一点，BD与AC交于点E，且(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求的半径长和劣弧的长【答案】(1)见解析(2)的半径长为4；劣弧的长为【分析】（1）根据弦与弧的关系，由AC=BD，得，从而得，即可由圆周角定理得出DBC=AC

15、B，即可由等腰三角形的判定得出结论；（2）作O的直径AF，连接BF，OC、OD，由AF是O的直径，得ABF=90，再由tan F=tan ACB=，求出F=ACB =30，在RtABF中，求出AF长即可得圆半径，由（1）知，EBC=ECB=30，从而求得DOC=2EBC=60，媃中由弧长公式求出弧长(1)证明：AC=BD，即，DBC=ACB，即EBC=ECB，BE=CE，是等腰三角形；(2)解：如图，作O的直径AF，连接BF，OC、OD， AF是O的直径，ABF=90，F=ACB，tan F=tan ACB=，F=ACB =30，AF=2AB=24=8，的半径长=AF=4，由（1）知，EBC=

16、ECB=30，DOC=2EBC=60，劣弧的长=【点睛】本题考查弦、弧关系，圆周角定理，特殊角三角函数值，等腰三角形的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键14（2022浙江宁波统考二模）如图1，ABC中，其外接圆为，半径为5，点M为优弧BMC的中点，点D为BM上一动点，连结AD，BD，CD，AD与BC交于点H(1)求证：；(2)若，求CD的长；(3)如图2，在（1）的条件下，E为DB为延长线上一点，设，求y关于x的函数关系式；如图3，连结AM分别交BC，CD于N、P，作于D，交AB于F，若BFN面积为ACP面积的，求x的值【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)，【分析】（1）根据同弧或等弧所对

17、的圆周角相等，可得，即可证明；（2）连接AO，CO，AO交BC于N，根据垂径定理的推论可得，勾股定理气得，设，由得：，进而求得的值，即可求解求得，根据，即可求得的长；（3）如图1，连结AO交BC于N，设，同（2）得：，根据，可得作于T，连接，根据圆周角定理以及余角的关系可得，进而证明，证明，根据相似三角形的性质可得，根据，求得，进而根据的关系式可得，继而即可求解（1）证明：，（2）如图1，连接AO，CO，AO交BC于N，半径为5，中，则，设，由得：，（3）如图1，连结AO交BC于N，设，同（2）得：，如图2，作于T，连接，是直径，则 ，又，四边形是圆内接四边形，代入得【点睛】本题考查了正切的定

18、义，相似三角形的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，解直角三角形，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键15（2022浙江宁波校考三模）如图，内接于，点为劣弧上动点，延长交于点，作交于，连结(1)如图，当点为的中点时，求证；(2)如图，若，请用含有的代数式表示；(3)在（2）的条件下，若，求证；求的值【答案】(1)见解析(2)(3)见解析；【分析】（1）连结，根据题意可得，由得出，根据弧与圆周角的关系得出，等量代换得出，即可得；（2）由（1）可得根据得出，则，由得出，进而根据三角形内角和定理即可求解；（3）延长至点，使得连结，则，继而得出，得出，根据已知可得点为中点，根据，

19、即可得证；证明，根据相似的性质得出，设，代入比例式求得，进而证明，得出，过点作于点，则，根据勾股定理求得，进而根据即可求解【详解】（1）解：如图，连结，点为的中点，（2）如图，由（1）可得，则，（3）如图，延长至点，使得连结，则，又，即点为中点，点为中点，；，又，设，则，解得或 (舍去)，又四边形是的外接圆，又，过点作于点，【点睛】本题考查了弧与圆周角，弦的关系，圆周角定理，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定，垂径定理，求正切，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键16（2022浙江杭州杭州绿城育华学校校考二模）如图，已知是的内接三角形，为直径，是上的两点，连结交于，交于(1)如图1，连

20、结，若，求的度数(2)如图2，若，求证：(3)若且，作交于，交于，过点作交的延长线于，当过圆心时，求出的值【答案】(1)55(2)见解析(3)【分析】（1）由，得，又，可得，从而；（2）证明，可得，由垂径定理即得，（3）连接，由，可得，即有，又，即得，由，知，故【详解】（1）解：为的直径，；（2）证明：，；（3）解：连接，如图：，为的直径，是等腰直角三角形，【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质17（2022浙江杭州校考一模）如图，是的直径，于点E，G是弧上任意一点，延长，与的延长线交于点F，连接，(

21、1)求证：；(2)求证：；(3)若，求的半径【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4【分析】（1）根据垂径定理得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，等量代换即可得到结论；（2）连接，推出，得到，推出，由于，于是得到结论，（3）根据相似三角形的性质得到，得到，求得，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】（1）证明：连接，如图所示：，即：；（2）解：连接，；（3）解：，在中，为直径，即，的半径为4【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型18（20

22、21浙江宁波校考三模）如图1，已知，点、为边，上的任意点（不与点，点重合），以为直径的交边于点，点，半径为，连结交于点，连结，设(1)请用含有的代数式表示出；(2)若，求的长（用含有的代数式表示）；(3)若，若与边相交，求的取值范围；如图2，连结，若平分，求【答案】(1)(2)(3)；【分析】（1）利用圆心角与圆周角的关系，等腰三角形的性质求解即可；（2）过点作交于点，过点作交于，设，则，证明，分别求出，可得，则可求；（3）过点作交于点，在中，求出，当与圆相切时，此时，当经过圆心时，此时，即可求；过点作于点，作于点，连接，设，则，推导出，可证明垂直平分，再由，得到方程，求出，即可求【详解】（1

23、），；（2）过点作交于点，过点作交于，设，则，；（3）过点作交于点，当与圆相切时，此时，解得，当经过圆心时，与相交，；过点作于点，作于点，连接，平分，设，则，垂直平分，解得，【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的性质，垂径定理，圆周角与圆心角的关系，三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，角平分线的性质是解题的关键19（2019浙江杭州模拟预测）已知P是上一点，过点P不过圆心的弦，在劣弧和优弧上分别有动点A、B（不与P、Q重合），连接、，若(1)如图1，当，时，求的半径；(2)如图2，连接，交于点M，点N在线段上（不与P、M重合），连接、，若，探究直线与的位置关系，并

24、证明【答案】(1)；(2)平行，证明见解析【分析】（1）连接，首先根据已知条件求出，进而判断出为直径，然后再根据勾股定理求出的长度，即可求出的半径；（2）连接、，延长交于点，根据圆周角定理可得，再结合已知条件可得，根据已知条件可得，进而求得，再根据三线合一得到，最后根据平行线的判定定理证出结论【详解】（1）解：如图所示，连接， ，为直径，在中根据勾股定理得：，或（舍去），半径为（2）解：直线与的位置关系为：，证明：连接、，交于点F，延长交于点E，又，（三线合一），【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角定理、等弧所对的圆心角相等、相等的圆周角所对的弧相等、三线合一、平行线的判定定理，是一道综合题，正

25、确作出辅助线并灵活运用相关知识是解题的关键20（2022浙江温州温州市第二实验中学校考二模）如图1，中，延长BC至D，使，E为AC边上一点，连结DE并延长交AB于点F作的外接圆，EH为的直径，射线AC交于点G，连结GH(1)求证：(2)如图2，当时，求GH的长及的值如图3，随着E点在CA边上从下向上移动，的值是否发生变化，若不变，请你求出的值，若变化，求出的范围(3)若要使圆心O落在的内部（不包括边上），求CE的长度范围【答案】(1)证明见解析(2)6，；，不变，理由见解析(3)【分析】（1）先证明再证明从而可得结论；（2）当时，则 此时重合，重合，从而可得答案；过作于 延长交HG的延长线于

26、证明 可得结论；（3）当O在BC上时，由（2）可得： 证明 可得 设 则 再建立方程求解即可，当O在AB上时， 可得 从而可得答案【详解】（1）解： ， ， （2）当时，则 为外接圆的直径，此时重合，重合， 值不变，理由如下：过作于 延长交HG的延长线于 则 为的直径， 而 而同理可得 ；（3）如图，当O在BC上时，由（2）可得： 设 则 解得： 经检验符合题意； 如图，当O在AB上时， 为的直径， 要使圆心O落在的内部（不包括边上），CE的长度范围为：【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，是动态几何体，准确的画出图形是解本题的关键21（2022浙江三模）

27、如图，点是矩形中边上的一点，以为圆心，为半径作圆，交边于点，且恰好过点，连接，过点作EFBD，(1)若，求的度数；求证：是的切线(2)若，求的长【答案】(1)30；见解析(2)【分析】（1）由圆的性质及等腰三角形的性质可得OBD=30，然后根据矩形的性质及平行线的性质可得答案；连接OE，由圆的性质及等腰三角形的性质可得DEO=ODE=60，然后根据三角形的内角和定理及切线的判定定理可得结论；（2）根据平行线的性质得CE：ED=CF：FB=2：3，设CE=2x，则DE=3x，过点O作OHDE于点H，根据垂径定理及矩形的判定与性质可得DO=BO=CH=DCDH=，最后由勾股定理可得答案【详解】（1

28、）解：OD=OB，DOB=120， OBD=30， 四边形ABCD是矩形， AB/CD， CDB=OBD=30， EF/BD， CEF=CDB=30； 证明：如图，连接OE， ODB=DBO=EDB=30， ODE=ODB+BDE=60， OD=OE， DEO=ODE=60， OEF=180-DEO-CEF=180-60-30=90， OE是O的半径， EF是O的切线；（2）解：EFDB， CE：ED=CF：FB=2：3， 设CE=2x，则DE=3x，过点O作OHDE于点H，由垂径定理可得DH=DE=， CBO=C=CHO=90， 四边形CHOB是矩形， DO=BO=CH=DCDH=， 在Rt

29、ODH中，有DH2+OH2=DO2， 解得， DO=【点睛】此题考查的是圆的有关性质、垂径定理、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键22（2022浙江丽水统考二模）如图，已知以为直径的半圆，圆心为O，弦平分，点D在半圆上，过点C作，垂足为点E，交的延长线于点F(1)求证：与半圆O相切于点C(2)若，求的值【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余和角平分线的定义即可求证；（2）先利用求得OF的长，然后在RtCOF中利用勾股定理求得CF的长，再利用得到求得CE的长，最后证得，利用相似三角形的性质即可求得AE，利用正切函数的定义

30、即可求解【详解】（1）（1），又平分，又，又点C在半圆O上，与半圆O相切于点C（2），又，又与半圆O相切于点C，在中有，【点睛】本题属于圆的综合题，考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线也考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质以及解直角三角形23（2023浙江宁波校考一模）如图1均为的直径，E是延长线上一点，F是的中点，G是半径上一点，连接交于点H连接并延长交于点P，(1)求的度数(2)如图2，连接，求证：(3)若求的半径；求的值【答案】(1)(2)见解析(3)3；【分析】（1）如图1，连接，先证明，由同弧所得的圆周角是圆心角的一半可得，进而可求；（2）由F是的中点

31、，可得，可证，进而可得，由此可得结论；（3）如图2，设O的半径为x,则，由相似三角形的性质得到比例式，建立关于x的方程，解之可得结论；，所以在中，求出的长，然后在中求解即可【详解】（1）如图1，连接，即，；（2）如图2，F是的中点，即，（3）如图2，设的半径为x，则，即，即的半径为3；如图3，过点B作于点T在中，在中，在中，【点睛】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握相关知识是解题的关键24（2022浙江温州温州市第三中学校考模拟预测）如图，是的直径，弦于点，是上一动点（不与点，点重合），以，为边构造平行四边形，交于点，交于点，

32、若，(1)求证：(2)当与相切时，求的长(3)当中有一个角与相等时，求的长若点关于的对称点落在的内部（不包括的边界），求的取值范围（直接写出答案）【答案】(1)见详解(2)(3)3 【分析】（1）连接，由垂径定理可知，进而证明；再由，可证明，然后由“平行四边形对角相等”即可证明；（2）连接并延长，交于点，首先证明，由全等三角形的性质可知，再结合垂径定理即可求得的长；（3）连接，设半径为，由勾股定理可解得，由圆内接四边形的性质可知；当经过 点，即、重合时，此时，再证明，由相似三角形的性质可解得，即当中有一个角与相等时，即当时，的长为3；若点关于的对称点落在的内部（不包括的边界），可分别计算出当落

33、在边上时和当落在边上时的长，即可获得答案【详解】（1）证明：如下图，连接，是的直径，四边形为平行四边形，；（2）如下图，连接并延长，交于点，若与相切，为半径，四边形为平行四边形，又，；（3）连接，如下图，设半径为，则，在中，由勾股定理可得，即 ，解得 ，在中，由勾股定理可得；四边形内接于，；当经过 点，即、重合时，如下图，此时，又，又，即，当中有一个角与相等时，即当时，的长为3；若点关于的对称点落在的内部（不包括的边界），则的取值范围为，理由如下：当落在边上时，如下图，连接交于点，连接，点与点关于的对称，四边形为平行四边形，又，经过圆心，在中，在中，；当落在边上时，如下图，连接交于点，连接交于

34、点，点与点关于的对称，由轴对称的性质可知，四边形为平行四边形，四边形为菱形，且，经过点，在中，在中，四边形为菱形，综上所述，若点关于的对称点落在的内部（不包括的边界），则的取值范围为：【点睛】本题主要考查了垂径定理、平行四边形的性质、圆周角定理的推论、切线的性质、圆内接四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、轴对称的性质等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键25（2022浙江宁波校考一模）等腰三角形中，且内接于圆，、为边上两点（在、之间），分别延长、交圆于、两点（如图），记，(1)求的大小（用，表示）；(2)连接，交于

35、（如图），若，且，求证：；(3)在（2）的条件下，取中点，连接、（如图），若，求证：，；请直接写出的值【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析；或【分析】（1）如图中，连接，利用同弧或等弧所对的圆周角相等即可求出的大小；（2）利用同弧或等弧所对的圆周角相等，可证，得到，再根据，得到，进而得到，即可证明结论；（3）如图中，连接，延长交于点，证明，推出，再证明，得到中位线，即可证明结论；连接，设，则，设，利用勾股定理求出，之间的关系，即可得到答案【详解】（1）解：如图中，连接，；（2）解：证明：如图中，；（3）解：证明：如图中，连接，延长交于点，是直径，在和中，为的中位线，；解：连接，又

36、，为的中位线， ，设，则，设，整理得，或，或【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题26（2022浙江杭州校考一模）如图，AB、AC是O的两条弦，BO的延长线交AC于点D，连接OA、OC若，则：(1)求证：；(2)当时，求BAC；(3)若，且AOB面积为2，求AOD的面积【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）首先可证得，可得C=B=OAC=OAB，即易证，再根据全等三角形的性质即可证得；（2）根据垂径定理，含30度角的直角三角形的性质即可

37、求得；（3）由题意易求出，即得出再根据，即得出，从而求出，进而求出再根据，可得由代入数据即可求解【详解】（1）证明：，又ADB=ODA， OAD=BOB=OA=OC，C=B=OAC=OAB，AB=AC；（2）解：BDAC，且BD为直径，AC=2ADAB=AC，AB=2AD，；（3）解：AB=BD，【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂径定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，综合性强，较难在求解（3）时得到，是解题的关键27（2022浙江温州瑞安市安阳镇滨江中学校考三模）如图1，已知在四边形中，/，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运

38、动，到点结束；点同时从点出发，以3个单位的速度沿射线运动，点停止运动后，点也随之停止以，为边作平行四边形设运动时间为(1)求的长；(2)连接、，当为等腰三角形时，求的值；(3)如图2，以为直径作圆与、分别交于点、，连接交于点，连接、，当点为弧的中点时，求的值；当时，求_（请直接写出答案）【答案】(1)(2)或或(3)；【分析】（1）作，则，利用求出，则；（2）先用含t的代数式表示出GC，GB，再分，三种情况讨论即可；（3）先利用平行线的性质和圆周角定理推出，再结合推出，得到，则；连接MN，NQ，通过证明四边形是矩形，推出，利用推出，通过求出PN，再用含t的代数式表示出QK，列等式求出t值，再利

39、用勾股定理求出PQ(1)解：如图，作，四边形是矩形，(2)解：过点作直线垂直，分别交，于点，设，则，解得，（）当时，解得；（）当时，整理得，（舍），；（）当时，整理得，（舍去）综上所述，或或(3)解：若点为中点，则有，如图，设AM与圆交于K点，连接PK，PQ是直径，设，则，PQ是直径，是直径PQ所对的圆周角，；连接MN，NQ，设时间为t时，则，当时，即，又，四边形是矩形，解得，故答案为：【点睛】本题考查勾股定理，三角函数解直角三角形，圆周角定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例等知识点，第2问需要分情况讨论，避免漏解，第3问难度和计算量都很大，通过证明四边形是矩形得出是解

40、理的关键28（2022浙江温州温州市第十四中学校联考三模）如图1，直径于点，点是延长线上异于点 的一个动点，连接交于点，连接，(1)求证：(2)如图2，连接，当时，求和的面积之比(3)当四边形有两边相等时，求的长【答案】(1)证明见解析(2)(3)或或【分析】（1）由垂径定理可得，再根据圆周角定理可得到，最后利用三角形外角的性质即可证明；（2）如图，连接，先利用勾股定理计算出，再利用，得出，又根据，从而得到结论；（3）根据题意分以下几种情况：；AQAC；QDAC，分别讨论即可【详解】（1）证明：，是直径 ，；（2）如图，连接，直径，四边形内接于，又，又，（3）当时，如图，连接，是的直径，在和中

41、，在中，；当时，如图，在和中，；当时，如图，过点作，连接，直径于点，由（2）可知：，在中，在中，由（2）可知：，即，又，则，即，；当时，点与点重合，与题意不符；当时，四边形为圆内接四边形，又，显然不存在；综上所述，的长为2或或40【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理及其推论，勾股定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的面积，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，全等三角形的判定等知识，采用了分类讨论的解题方法熟练掌握相似三角形的判定与性质解题的关键29（2022浙江宁波宁波市第十五中学校考三模）如图，在的内接四边形中，是它的对角线，的中点是的内心(1)当

42、，重合时，直接写出，的位置关系，数量关系,直接判断四边形的形状(2)找出所有与线段相等的线段，并说明理由(3)求，的面积之比(4)若，设为，的面积为，求出与之间的函数关系式【答案】(1)ACBD，菱形(2)CD、CI、AI(3)3：1(4)【分析】（1）当，重合时，点是的外心，所以AE是BD 垂直平分线，则有ACBD，证明是等边三角形，利用r和三角函数表示出BD和AC的长，即可得到，数量关系，在根据对角线垂直且平分得到四边形的形状；（2）利用同弧所对的圆周角相等和内心的概念，得出CDICID，则CDCI，同理得出AICI，即可得出与线段相等的线段；（3）过点A作AGBD于G，过点C作CJBD于

43、点J，证明ACDDCF，CFJAFG，然后求出相应线段的长度，再用三角形面积公式得出比例关系；（4）连接OB、OC，得到，设OB9t，表示出OH，CH的长度，再求出其它相关线段的长度，利用三角形的面积公式得出结论即可【详解】（1）解：当，重合时，如下图：点是的外心，AE是BD 垂直平分线，ACBD， OAOBODOCr ，OABOBA，OBDODB，OADODA，又是的内心，AI，BI，CI是BAD，ABD，ADB的角平分线，BADABDADB，是等边三角形，BADABDADB60，ACBD，OED90，BEDE，又ACOAOC2r，又，又BEDE， ACBD，四边形是菱形（2）解：点是的内心

44、，AI，BI是BAD，ADB的角平分线，BACDAC，ADIBDI，CDICDBBDI，CDBBACDAC，CDIDACADI，CIDDACADI，CDICID，CDCI，同理BCCI，是的中点，AICI，BCCDCIAI（3）解：如图，过点A作AGBD于G，过点C作CJBD于点J，CDBDAC，ACDDCF，ACDDCF， 设BCa，则CDCIAIa，ACCIAI2a，即CF，IF，AFAIIFa，CJBD，AGBD，CJFAGF90，又CFJAFG，CFJAFG， ，（4）解：连接OB、OC，设为，则CDCIAIx，ACCIAI2x，CF，BCCD，CIAI，OCBD，OIAC，又FCHO

45、CI，CHFCIO，BACDAC，BAC，设OB9t，则OH7t，CHOBOH2t，在OBH中，由勾股定理得，在CHF中，由勾股定理得，即，BCCDCIAI6t，ACCIAI12 t，CF3t，在OCI中，由勾股定理得，又，【点睛】本题考查了圆的综合题，以及勾股定理，锐角三角函数，菱形的判定，相似的判定等，熟练掌握相关知识点，及正确作出辅助线是解答本题的关键30（2022浙江金华校联考模拟预测）如图1，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴正半轴与y轴正半轴上，顶点B坐标为(6，4)，点D是BC边上的动点，连结OD，过点D作DEOD交AB于E，以DE为直径作M连结OE交M于点F，

46、连结DF(1)求证：AOD=DEB；(2)当点D位于BC中点时，求点E的坐标(3)在点D的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BDF成为等腰三角形若存在，求CD的长；若不存在说明理由连结AM（如图2），当tanOEA=3时，恰有AMDF，请直接写出tanCOD的值【答案】(1)证明见解析(2)(3)或或tanCOD=1【分析】（1）先证明再证明 可得 证明 从而可得结论；（2）当为的中点时，而 可得 再求解 从而可得答案；（3）如图，分三种情况讨论，分别画好图形，当DB=DF时， 从而可得答案；当BD=BF时，如图，延长DF交OA于N，证明 过作于 证明 可得，从而可得答案；当FD=FB时，如图

47、，延长DF交OA于N，证明点A与点N重合，从而可得答案；如图，过作于 则 证明 可得 求解 同理可得： 从而可得答案【详解】（1）证明： 矩形OABC， 四边形为的内接四边形， 即 为直径，DEOD （2）当为的中点时，而 即 经检验符合题意； （3）如图，当DB=DF时， ， 当BD=BF时，如图，延长DF交OA于N， 过作于 而 ，DEOD同理可得： 可得，当FD=FB时，如图，延长DF交OA于N， 同理： BDFNDO， 而 同理可得： 点A与点N重合， 综上：或或如图，过作于 则 为直径，则 由可得： 同理可得： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，平行线分线段成比例，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，锐角三角函数的应用，本题的综合程度高，是中考压轴题