1、12 数列1【2022年全国乙卷】已知等比数列an的前3项和为168，a2a5=42，则a6=（）A14B12C6D3【答案】D【解析】【分析】设等比数列an的公比为q,q0，易得q1，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列an的公比为q,q0，若q=1，则a2a5=0，与题意矛盾，所以q1，则a1+a2+a3=a11q31q=168a2a5=a1qa1q4=42，解得a1=96q=12，所以a6=a1q5=3.故选：D.2【2022年全国乙卷】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地
2、球绕日周期的比值，用到数列bn：b1=1+11，b2=1+11+12，b3=1+11+12+13，依此类推，其中kN(k=1,2,)则（）Ab1b5Bb3b8Cb6b2Db4b7【答案】D【解析】【分析】根据kNk=1,2,，再利用数列bn与k的关系判断bn中各项的大小，即可求解.【详解】解：因为kNk=1,2,，所以111+12，得到b1b2，同理1+121+12+13，可得b2b3又因为1212+13+14, 1+12+131+12+13+14，故b2b4；以此类推，可得b1b3b5b7，b7b8，故A错误；b1b7b8，故B错误；1212+13+16，得b21+12+16+17，得b4b
3、7，故D正确.故选：D.3【2022年新高考2卷】中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现如图是某古建筑物的剖面图，DD1,CC1,BB1,AA1是举， OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3，若k1,k2,k3是公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3=（）A0.75B0.8C0.85D0.9【答案】D【解析】【分析】设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则可得关于k3的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则CC
4、1=k1,BB1=k2,AA1=k3，依题意，有k30.2=k1,k30.1=k2，且DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725，所以0.5+3k30.34=0.725，故k3=0.9，故选：D4【2021年甲卷文科】记为等比数列的前n项和.若，则（）A7B8C9D10【答案】A【解析】【分析】根据题目条件可得，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.【详解】为等比数列的前n项和，成等比数列，.故选：A.5【2021年甲卷理科】等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要
5、条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案【详解】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件故选：B【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程6【2020年新课标1卷文科】设是等比数列，且，则（）A12B24C30D32【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.【详解
6、】设等比数列的公比为，则，因此，.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题7【2020年新课标2卷理科】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A3699块B3474块C3402块D3339块【答案】C【解析】【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前n项和，由题意可得，解方
7、程即可得到n，进一步得到.【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.8【2020年新课标2卷理科】数列中，对任意 ，若，则 （ ）A2B3C4D5【答案】C【解析】【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.【详解】在等式中，令，可得，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，则，解得.故选：
8、C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.9【2020年新课标2卷理科】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据新定义，逐一检验即可【详解】由知，序列的周期为m，由已知，对于选项A，不满足；对于选项B，不满足；对于选项D，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的
9、理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.10【2020年新课标2卷文科】记Sn为等比数列an的前n项和若a5a3=12，a6a4=24，则=（）A2n1B221nC22n1D21n1【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为，由可得：，所以，因此.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.11【2022年全国乙卷】记Sn为等差数列an的前n项和若2S3=3S2+6，则公差d=_【答案】2【解析】【分析
10、】转化条件为2(a1+2d)=2a1+d+6，即可得解.【详解】由2S3=3S2+6可得2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6，化简得2a3=a1+a2+6，即2(a1+2d)=2a1+d+6，解得d=2.故答案为：2.12【2021年新高考1卷】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折次，那么_.【答案】 5 【解析】【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据
11、错位相减法得结果.【详解】（1）由对折2次共可以得到，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；故对折4次可得到如下规格：，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，设，则，两式作差得：，因此，.故答案为：；.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3
12、）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.13【2020年新课标1卷文科】数列满足，前16项和为540，则 _.【答案】【解析】【分析】对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.【详解】，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，.故答案为：.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.14【2020年新课标2卷文科】记为等差数列的前n项和若，则_【答案】【解析】【分析】因为是等差
13、数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.【详解】是等差数列，且，设等差数列的公差根据等差数列通项公式：可得即：整理可得：解得：根据等差数列前项和公式：可得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15【2020年新高考1卷（山东卷）】将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为_【答案】【解析】【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等
14、差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.16【2022年全国甲卷】记Sn为数列an的前n项和已知2Snn+n=2an+1(1)证明：an是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值【答案】(1)证明见解析；(2)78【解析】【分析】（1）依题意可得2Sn+n2=2nan+n，根据an=S1,n=1SnSn1,n2，作差即可得到anan1=1，从而得证；
15、（2）由（1）及等比中项的性质求出a1，即可得到an的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得(1)解：因为2Snn+n=2an+1，即2Sn+n2=2nan+n，当n2时，2Sn1+n12=2n1an1+n1，得，2Sn+n22Sn1n12=2nan+n2n1an1n1，即2an+2n1=2nan2n1an1+1，即2n1an2n1an1=2n1，所以anan1=1，n2且nN，所以an是以1为公差的等差数列(2)解：由（1）可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，又a4，a7，a9成等比数列，所以a72=a4a9，即a1+62=a1+3a1+8，解得a1=12，所以an
16、=n13，所以Sn=12n+nn12=12n2252n=12n25226258，所以，当n=12或n=13时Snmin=7817【2022年新高考1卷】记Sn为数列an的前n项和，已知a1=1,Snan是公差为13的等差数列(1)求an的通项公式；(2)证明：1a1+1a2+1an2【答案】(1)an=nn+12(2)见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得Snan=1+13n1=n+23，得到Sn=n+2an3，利用和与项的关系得到当n2时，an=SnSn1=n+2an3n+1an13,进而得：anan1=n+1n1，利用累乘法求得an=nn+12，检验对于n=1也成立，得到a
17、n的通项公式an=nn+12；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到1a1+1a2+1an=211n+1，进而证得.(1)a1=1，S1=a1=1,S1a1=1,又Snan是公差为13的等差数列，Snan=1+13n1=n+23,Sn=n+2an3,当n2时，Sn1=n+1an13，an=SnSn1=n+2an3n+1an13,整理得：n1an=n+1an1,即anan1=n+1n1,an=a1a2a1a3a2an1an2anan1=13243nn2n+1n1=nn+12，显然对于n=1也成立，an的通项公式an=nn+12；(2)1an=2nn+1=21n1n+1, 1a1+1a2+1an =2112+1213+1n1n+1=211n+11)，则，整理可得：，数列的通项公式为：.(2)由于：，故：.【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.
