1、第一节 空间几何体的结构与表面积、体积第一节 空间几何体的结构与表面积、体积 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1多面体与旋转体(1)多面体是指由若干个_围成的几何体(2)旋转体是指一个平面图形绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体 2柱、锥、台、球的结构特征平面多边形(1)棱柱的结构特征：有两个面_；其余各面都是_；每相邻两个四边形的公共边_(2)棱锥的结构特征：有一个面是_；其余各面都是有一个公共顶点的三角形(3)棱台的结构特征：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，位于_的部分叫棱台互相平行四边形互相平行多边形底面和截面之间(4)圆柱、
2、圆锥、圆台的结构特征：分别以矩形的一条边、直角三角形的一条直角边、直角梯形的直角边所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台，旋转轴分别叫做圆柱、圆锥、圆台的轴垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做_底面不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做_(5)球的结构特征：以_为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球母线半圆的直径所在直线思考感悟棱锥的所有面能都是直角三角形吗？应如何画？提示：可以都是直角三角形，如图三棱锥PABC可以每个面都是直角三角形，其中PA面ABC，BC面PAC.3柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S 侧_V_
3、r2h圆锥S 侧_V13Sh13r2h13r2 l2r2圆台S 侧(r1r2)lV13(S 上S 下 S上S下)h13(r21r22r1r2)h2rlShrl面积体积直棱柱S 侧_V_正棱锥 S 侧_V_正棱台 S 侧12(cc)h V13(S 上S 下 S上S下)h球S 球面_V_chSh12ch13Sh4R243R31下列说法正确的是_棱柱的面中，至少有两个互相平行；棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面；棱柱中各条棱的长相等；棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形答案：课前热身 2已知正三棱锥的底面边长为 a，高为 66 a，则其侧面积等于_答案：34a23一个长方体的长
4、、宽、高之比为213，全面积为88 cm2，则它的体积为_cm3.答案：484已知直角三角形两直角边长分别为a、b，分别以这两个直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为_答案：ba考点探究挑战高考 空间几何体的结构特征 考点突破 本部分内容在高考中可以以新定义形式的题目考查棱柱、棱锥的分类及其结构特征在理解柱、锥、台、球的概念的基础上，掌握其结构特征；熟记有关的性质；能够把棱柱、棱锥、棱台的有关元素放在对角面、侧面等平面中研究，突出化归转化的数学思想方法下面有四个命题：各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥；底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；顶点在底面上的
5、射影是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥其中正确命题的个数是_例1【思路分析】【解析】命题不正确；正棱锥必须具备两点，一是：底面为正多边形，二是：顶点在底面内的射影是底面的中心；命题缺少第一个条件；命题缺少第二个条件；而命题可推出以上两个条件都具备【答案】1【名师点评】本题属于概念类辨析问题，主要根据有关概念判断，因而记住概念并准确理解非常重要，概念中的有些条件是需要等价转变的，并不一定是其概念中的语句变式训练1 给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；若有两个过相
6、对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点其中正确命题的序号是_解析：错误，因为棱柱的底面不一定是正多边形；错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；正确，因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图正方体AC1中的四棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形；正确，由棱台的概念可知因此，正确命题的序号是.答案：高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中，借以考查空间想象能力和运算能力，只要正确把握几何体的结构，准确应用面积公式，就可以顺利解决几何体的
7、表面积问题 如图，三棱锥ABCD中，底面BCD是等腰直角三角形，BCCD6 cm，O是斜边BD的中点，AO平面BCD，且AO4 cm，则该棱锥的表面积为_例2【思路分析】弄清三棱锥结构，求各个面面积之和【解析】如图所示，AO底面BCD，O点为BD的中点，ABAD.BCCD6(cm)，BCCD，AO4(cm)，ABAD.SBCD661218(cm2)，SABD126 2412 2(cm2)取 BC 中点为 E.连结 AE、OE.可得 AOOE，AEAO2OE242325(cm)SABCSACD126515(cm2)，S 表1812 21515(4812 2)(cm2)【答案】(4812 2)cm
8、2【名师点评】求表面积应分别求各面的面积，所以应弄清图形的形状，利用相应的公式求面积，规则的图形可直接求，不规则的图形往往要再进行转化，常分割成几部分来求变式训练2 已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面积为_解析：如图所示，设D为BC的中点，ABC为等边三角形，ADBC，BC平面A1AD，BCA1A.又A1AB1B，BCB1B.又侧棱与底面边长都等于2，四边形BB1C1C是正方形，其面积为4.作 DEAB 于 E，连结 A1E，则 ABA1E，又AD 2212 3，DEADBDAB 32，AE AD2DE232，A1EAA2
9、1AE2 72，S 四边形 ABB1A1S 四边形 AA1C1C 7，S 三棱柱侧2 74.答案：2 741求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法2计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题几何体的体积(2010年高考课标全国卷)如图，已知四棱锥 PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为 H，PH是四棱锥的高(1)证明：平面 PAC平面 PBD；(2)若 AB 6，APBADB60，求四棱锥 PABCD的体积例3【思路分
10、析】(1)寻找线线垂直；(2)由等腰梯形ABCD中ACBD知HAHB，又PH底面ABCD，因而PAPB，可求一系列线段的长，进而求梯形ABCD的面积及PH的长【解】(1)证明：因为PH是四棱锥PABCD的高，所以ACPH.又ACBD，PH、BD都在平面PBD内，且PHBDH，所以 AC平面 PBD.又 AC平面 PAC，故平面 PAC平面 PBD.(2)因为四边形 ABCD 为等腰梯形，ABCD，ACBD，AB 6，所以 HAHB 3.因为APBADB60，所以 PAPB 6，HDHC1，可得 PH 3，ACBD 31.等腰梯形 ABCD 的面积为 S12ACBD2 3，所以四棱锥的体积为 V
11、13(2 3)332 33.【名师点评】三棱锥的体积求解具有较强的灵活性，因为三棱锥的任意一个顶点都可以作为顶点，任何一个面都可以作为棱锥的底面，所以常常需要对其顶点和底面进行转换，以方便求解变式训练3 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA18，若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC、BC、A1C1、B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？解：当侧面 AA1B1B 水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面 ABFE 为梯形，设ABC 的面积为 S，则 SABFE34S，V 水34SAA16S.当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形 设水面高为h，则有V水Sh.6SS
12、h，h6.故当底面ABC水平放置时，液面高为6.方法技巧1要注意牢固把握每种几何体的结构特点，利用它们彼此之间的联系来加强记忆，如棱柱、棱锥、棱台为一类；圆柱、圆锥、圆台为一类；或分成柱体、锥体、台体三类来分别认识只有对比才能把握实质和不同，只有联系才能理解共性和个性2对空间几何体结构的观察，要从整体上入手，遵循从整体到局部，具体到抽象的原则，能够区别几种概念相近的几何体的特征性质方法感悟 3直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形4应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体
13、中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用5如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相加6求球的体积和表面积的关键是求出球的半径反之，若已知球的表面积或体积，那么就可以得出其半径的大小7计算组合体的体积时，首先要弄清楚它是由哪些基本几何体构成，然后再通过轴截面分析和解决问题8计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解失误防范1空间几何体的结构特征把握不准，图形画错2求侧面积与全面积混淆，一字之差，结果谬之千里3公式记忆不准确，如锥体的侧体积公式、台体的
14、侧面积公式中的系数记错，应用时，计算出错考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的江苏高考试题来看，对空间几何体直接考查的题目较少，主要是以它为载体考查立体几何的其他知识，注重考查学生的空间想象能力空间几何体的表面积和体积是高考考查的热点，尤其是求体积问题的方法较为灵活，常与割、补等思想方法结合，对数学思维能力和空间想象能力有较高的要求预测2012年江苏高考仍将考查空间几何体的表面积、体积，重点考查学生的空间想象能力，运算能力及其逻辑推理能力(2010年高考课标全国卷改编)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_真题透析 例【解析】如图，O1，O 分别为上
15、、下底面的中心，D为 O1O 的中点，则 DB 为球的半径，有 rDBOD2OB2a24 a23 7a212，S 表4r247a212 73a2.【答案】73a2【名师点评】解答本题需要有较强的空间几何体的认知能力球和三棱柱组合，三棱柱可画出图形，而球则难画出，因而要抓住关键的点、线、面来研究，如三棱柱的上、下底面实质是圆内接三角形，三角形的中心即为小圆的圆心，抓住这些特征构造出三角形等图形计算这类题目代表了高考命题的一个方向，应注意训练1将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD等于a，则三棱锥D-ABC的体积为_解析：设正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，沿AC折起后依题意
16、得，当BDa时，BEDE，所以DE平面ABC，名师预测 于是三棱锥 DABC 的高为 DE 22 a，所以三棱锥 DABC 的体积 V1312a2 22 a 212 a3.答案：212a32P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，且 PA平面ABCD，PB22，PC 17，PD 13，则四棱锥PABCD 的体积等于_解析：由勾股定理得，ABDC2，ADBC3，PA2，V13624.答案：43如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于_解析：设底面圆的半径为R，S侧2R2R，4R2S，RS2，VR22R2 S4S2 S4S.答案：S4S4已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱高为3，体积为6，则这个球的表面积是_解析：VSh6，S2，则底面边长为2.设外接球的半径为 R，(32)2(2 22)2R2，R2134，S表4R213.答案：13本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用