1、高考资源网（） 您身边的高考专家第三章圆锥曲线与方程本章知识要览本章的主要内容包括椭圆、抛物线、双曲线和曲线与方程四部分，重点是椭圆、抛物线、双曲线的定义、方程和几何性质，难点是坐标法的应用圆锥曲线是解析几何研究的主要曲线，也是解析几何的核心内容，在生产实践和科学试验中有着广泛的应用掌握椭圆、抛物线、双曲线的标准方程和几何性质是进一步研究其他曲线的基础，也是今后继续学习高等数学的重要阶梯本章是在集合与对应、函数的图像与性质、坐标平面上的直线、圆等基础上，对“由已知条件求曲线的方程，再从所得的方程来研究曲线的几何性质”的解析法的进一步深化用解析法研究圆锥曲线是从初等数学过渡到高等数学的开始和阶梯
2、，也是学习其他科学技术的基础，而学习圆锥曲线，需要综合运用过去学过的数学知识，因此，学习这一章，起着承前启后的作用学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题为此建议在学习中做到以下几个方面：1搞清概念，对概念定义应“咬文嚼字”地学习. 2熟悉曲线，能“速写”出符合题目数量特征要求的曲线3熟练运用代数、三角、几何和向量等知识4处理问题时要在“大处着眼”，即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想；在“小处着手”，即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法5充分利用好“数形结合”的思想方法，结合定义与图形进行运算1椭圆11椭圆及其标准方程知识点一 椭圆的定义 填
3、一填我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距答一答定义中的常数为什么要大于焦距|F1F2|？如果小于或等于|F1F2|会出现什么情况？提示：当常数等于|F1F2|时，轨迹是线段F1F2，当常数小于|F1F2|时，轨迹不存在知识点二 椭圆的标准方程 填一填(1)椭圆上任意一点的坐标都是方程1(ab0)的解；以方程1(ab0)的解为坐标的点都在椭圆上我们将方程1(ab0)叫作椭圆的标准方程，焦点坐标是F1(c,0)，F2(c,0)，其中c2a2b2.(2)如果椭圆的焦点在y轴
4、上，其焦点坐标为F1(0，c)，F2(0，c)它的标准方程为1(ab0)，其中b2a2c2.答一答1如何用几何图形解释b2a2c2？a，b，c在椭圆中分别表示哪些线段的长？提示：椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助右图帮助记忆a，b，c恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以ab，ac，且a2b2c2，其中c是焦距的一半2如何判断焦点的位置？提示：看1中a，b的大小，如果ab0，则焦点在x轴上，如果0a|F1F2|”这个条件，若没有这个条件，动点的轨迹不一定为椭圆2椭圆的标准方程需要注意以下几点：(1)要熟记a，b，c三个量的关系椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两
5、焦点间距离的和的一半，可借助右图帮助记忆，a，b，c分别为直角三角形的三条边，都是正数，a是斜边，所以ab，ac，且a2b2c2，其中c是焦距的一半，叫半焦距(2)椭圆的标准方程实际上有两种，取决于焦点所在的坐标轴1(ab0)，焦点在x轴上，焦点坐标为F1(c,0)，F2(c,0)，焦距|F1F2|2c.1(ab0)，焦点在y轴上，焦点坐标为F1(0，c)，F2(0，c)，焦距|F1F2|2c.在问题中没有明确说明焦点位置时，两种情况都应注意3关于求椭圆的标准方程的几个注意点：(1)求椭圆方程，一般先定型，再定量“定型”即判定焦点位置，选择标准方程的形式；“定量”即根据题设条件，求出a2，b2
6、的值(2)若焦点能判定出在x轴(或y轴)上，则方程只有一解；若焦点不确定在哪个坐标轴上，则方程有两解在解题时要认真区别，不要漏解当焦点位置无法判断时，常设椭圆的方程为Ax2By2C(A，B，C同号且不为0)，避免分焦点在x轴、y轴上讨论4关于椭圆的参数方程需要注意如下两点：(1)每个椭圆的参数方程不是唯一的，我们通常所用的只是其中之一，实质上椭圆参数方程就是一个三角代换(2)椭圆上每个点都可用一个参数表示，参数变化，点变动题型一 椭圆定义的应用【例1】如图所示，已知椭圆的方程为1，若点P在第二象限，且PF1F2120，求PF1F2的面积【思路探究】解决椭圆上的点与焦点构成的三角形的面积问题，一
7、般是利用椭圆的定义和余弦定理进行处理【解】由已知a2，b，所以c1，|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos120，即|PF2|2|PF1|242|PF1|.由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.代入解得|PF1|.SPF1F1|PF1|F1F2|sin1202，即PF1F2的面积是.规律方法 凡涉及到椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|MF2|2a(M为椭圆上的点，F1、F2是椭圆的焦点)，一般进行整体变换；其次，考虑该点的坐标(x0，y0)适合椭圆的方程1，然后再进行代数
8、转换下列说法中正确的是(C)A已知F1(4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B已知F1(4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆C到两点F1(4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D到F1(4,0)，F2(4,0)两点的距离相等的点的轨迹是椭圆解析：椭圆是到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹，应特别注意椭圆的定义的应用A选项中|F1F2|8，到F1，F2两点的距离之和为常数8的点的轨迹是线段F1F2.B选项中到F1，F2两点的距离之和6小于F
9、1，F2的距离，这样的轨迹不存在C选项中点(5,3)到F1，F2的距离之和为4|F1F2|8，故C选项中的轨迹是椭圆D选项中所求点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线椭圆1的焦距是16，两焦点的坐标分别是(8,0)，(8,0)；若AB为过椭圆的焦点F1的一条弦，F2为另一焦点，则ABF2的周长是40.解析：由椭圆方程1可知a2100，b236，c2a2b264，c8.焦距2c16.两焦点坐标为F1(8,0)，F2(8,0)由椭圆的定义可知，ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)2a2a4a40.题型二 与椭圆有关
10、的轨迹问题【例2】已知圆B：(x1)2y216及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程【思路探究】P为AC垂直平分线上的点，则|PA|PC|，而BC为圆的半径，从而4|PA|PB|，可得点P轨迹为以A，B为焦点的椭圆【解】如图所示，连接AP.l垂直平分AC，|AP|CP|.|PB|PA|BP|CP|4，P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆2a4,2c|AB|2，a2，c1，b2a2c23.点P的轨迹方程为1.规律方法 求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：(1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；(2)首先分析几
11、何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭圆的标准方程，求出其中a，b的值，得到标准方程一动圆与圆O1：(x3)2y21外切，与圆O2：(x3)2y281内切，试求动圆圆心的轨迹方程解：由题意得，两定圆的圆心与半径分别为O1(3,0)，r11，O2(3,0)，r29.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题意可得|MO1|1R，|MO2|9R，|MO1|MO2|10.由椭圆的定义知，点M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a5，c3，b2a2c225916.故动圆圆心的轨迹方程为1.题型三 椭圆标准方程的求法【例3】求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)焦点坐标为(1,0)，(1,0)
12、，并且经过点(，)；(2)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和(0,1)；(3)经过两点P1(，)，P2(0，)【思路探究】利用椭圆定义直接求a，b或利用待定系数法求a，b.【解】(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)方法1：由椭圆的定义及两点间的距离公式知2a4，所以a2，b2a2c23.故所求椭圆的标准方程为1.方法2：因为椭圆过点(，)，所以代入椭圆方程可得1.又a2b2c21，联方可解得a24，b23.故所求椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为1(ab0)又椭圆经过点(2,0)和(0,1)，所以解得故所求椭圆的标准方程为y21.
13、(3)方法1：当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意得解得因为b0)依题意得解得因为0，B0，AB)依题意得解得即5x24y21，故所求椭圆的标准方程为1.规律方法 求椭圆方程的常用方法待定系数法采用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤：(1)根据已知条件判断焦点所在的坐标轴，设出相应的标准方程；(2)将已知条件代入，求出a，b(a2b2c2，ab0)；(3)写出椭圆的标准方程注意：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(其中A0，B0，AB)求符合下列条件的椭圆的标准方程(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(
14、4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，10)，点P到离它较近的一个焦点的距离等于2；(3)求经过两点(2，)，的椭圆的标准方程解：(1)由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a10，所以a5.又c4，所以b2a2c225169.故所求椭圆的标准方程为1.(2)椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)点P(0，10)在椭圆上，a10.点P到离它较近的一个焦点的距离为2，c(10)2，c8，b2a2c236.椭圆的标准方程为1.(3)方法1：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方
15、程为1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得a24，b28，a20，B0，AB)将两点(2，)，的坐标分别代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.数学思想(一)数学思想方法整体思想【例4】如图所示，点P是椭圆1上的一点，F1和F2是焦点，且F1PF230，求F1PF2的面积【思路分析】运用整体思想直接求出|PF1|PF2|，无需单独求，以减少运算量，另外若条件中出现了椭圆上的点，则应考虑椭圆的定义【解】在椭圆1中，a，b2.c1.又点P在椭圆上，|PF1|PF2|2a2.由余弦定理知：|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos30|F1F2|2(2c)24.式
16、两边平方得：|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|20，式式得(2)|PF1|PF2|16，|PF1|PF2|16(2)SF1PF2|PF1|PF2|sin3084.规律方法 一般地，关于椭圆的一些问题我们经常考虑利用其定义，这时候就要关注它的两个焦点，把问题转化为研究椭圆上的点到两个焦点的距离之和的问题，或把距离之积当作整体来研究，减少运算量，使问题简单化已知F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上一点，且F1PF260，求F1PF2的面积解：设|PF1|m，|PF2|n，根据椭圆定义mn20，F1PF2中，由余弦定理得m2n22mncosF1PF2122.m2n2mn144.2023
17、mn144.mn.SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF2.(二)相关法求轨迹方程【例5】已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆y21上任一点，求AQ的中点M的轨迹方程【思路分析】求中点M(x，y)的轨迹方程，可以设出Q(x0，y0)，利用中点坐标公式，找出x，y与中间变量x0，y0之间的关系，再利用已知与x0，y0之间的关系，从而得到关于x，y之间关系的方程【解】设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)，利用中点坐标公式，得Q(x0，y0)在椭圆y21上，y1.将x02x1，y02y代入上式，得(2y)21.故所求AQ中点M的轨迹方程为(x)24y21.规律方法 由已知条
18、件先写出Q点与M点的坐标之间的关系，然后用M点的坐标表示Q点的坐标并代入Q点的坐标所满足的方程，整理即得所求的轨迹方程，动点M与曲线上的动点Q称为相关点(有关系的两点)，这种求轨迹方程的方法称为相关点求轨迹方程法已知圆x2y21，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP，则线段PP的中点M的轨迹方程是(A)A4x2y21 Bx21C.y21 Dx21解析：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x，yy0，P(x0，y0)在圆x2y21上，xy1.将x02x，y0y代入方程，得4x2y21.点M的轨迹是一个椭圆，其方程为4x2y21.1已知椭圆1上一点P到其中一个焦点的距离为3，
19、则点P到另一个焦点的距离为(D)A2 B3C5 D7解析：1，a5，b4，设椭圆的两焦点分别为F1，F2，|PF1|3，由椭圆的定义知|PF2|2a31037.2已知过椭圆4x22y21的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则点A，B与椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2的周长为(A)A2 B2C. D1解析：由椭圆的定义知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，故ABF2的周长为4a2.3椭圆x21的一个焦点是(0，)，则k(B)A6 B6C.1 D1解析：椭圆x21的一个焦点是(0，)，k1()2，k6.4已知方程(k21)x23y21是焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是(，2)(2，)解析：方程(k21)x23y21可化为1(k210)由焦点在y轴上得03，k2或k2.5椭圆1上一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，求|ON|的长解：如图，设椭圆的右焦点为F2，连接MF2.O是F1F2的中点，N是MF1的中点，|ON|MF2|.椭圆方程为1，a5，|MF1|MF2|10，又|MF1|2，|MF2|8，|ON|MF2|4.- 17 - 版权所有高考资源网