1、宁夏六盘山高级中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知i为虚数单位，复数z满足，则复（ ）A. 1B. C. iD. 【答案】C【解析】【分析】利用两个复数代数形式的除法法则及虚数单位的幂运算性质，化简复数到最简形式【详解】解：复数，故选：【点睛】本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数，属于基础题2.若，如果与为共线向量，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】利用向量共线的充要条件即可求出【详解】解：与为共线向量，存在实数使得，解得故选：
2、【点睛】本题考查空间向量共线定理的应用，属于基础题.3.下列命题中，假命题是（ ）A. 不是有理数B. C. 方程没有实数根D. 等腰三角形不可能有角【答案】D【解析】【分析】根据命题真假的定义，对各选项逐一判定即可【详解】解：. 为无理数，故正确，故正确，因为，即方程没有实根，故正确，等腰三角形可能以为顶角，为底角，故错误， 故选：【点睛】本题考查命题真假的判断，属于基础题4.椭圆的长轴长为（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】将椭圆方程化成标准式，根据椭圆的方程可求，进而可得长轴.【详解】解：因为，所以，即，所以，故长轴长为故选：【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的求解
3、及基本概念的考查，属于基础题5.如图，在三棱锥中，点D是棱的中点，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可【详解】解：由题意在三棱锥中，点是棱的中点，若，可知：，故选：【点睛】本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，属于基础题6.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先解一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断充分条件、必要条件；【详解】解：因为，所以或，即因为，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：【点睛】本题考查一元二
4、次不等式的解法，充分条件、必要条件的判定，属于基础题.7.己知，是椭圆的左右两个焦点，若P是椭圆上一点且，则在中（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】根据椭圆方程求出、，即可求出、，再根据余弦定理计算可得；【详解】解：因为，所以，又因为，所以，在中，由余弦定理，即，故选：【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质及余弦定理解三角形，属于基础题.8.已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明、三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明中
5、的向量不共面【详解】解：，共面，不能构成基底，排除；，共面，不能构成基底，排除；，共面，不能构成基底，排除；若、，共面，则，则、为共面向量，此与为空间的一组基底矛盾，故、，可构成空间向量的一组基底故选：【点睛】本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属于中档题.9.动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设连线的中点为,再表示出动点的坐标,代入圆化简即可.【详解】设连线的中点为,则因为动点与定点连线的中点为,故 ,又在圆上,故,即即故选B【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般
6、方法,属于基础题型.10.已知椭圆，则以点为中点的弦所在直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用点差法求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出直线方程【详解】解：设以点为中点的弦与椭圆 交于点，则，分别把点，的坐标代入椭圆方程得：，两式相减得：，直线的斜率，以点为中点的弦所在直线方程为：，即，故选：【点睛】本题主要考查了点差法解决中点弦问题，属于中档题11.多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，建立下图的空间直角坐标系，已知、.若为平行四边形，则点到平面的距离为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面法向量，结合，利
7、用空间向量夹角余弦公式求出与所求法向量的夹角余弦，进而可得结果.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则，设，为平行四边形， 由得，设为平面的法向量，显然不垂直于平面，故可设，即，所以，又，设与夹角为，则，到平面的距离为，故选D.【点睛】本题主要考查利用空间向量求点面距离，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.12.已知，分别是椭圆C：的上下两个焦点，
8、若椭圆上存在四个不同点P，使得的面积为，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出椭圆的焦距，求出椭圆的短半轴的长，利用已知条件列出不等式求出的范围，然后求解离心率的范围【详解】解：，分别是椭圆的上下两个焦点，可得，短半轴的长：，椭圆上存在四个不同点，使得的面积为，可得，可得，解得，则椭圆的离心率为：故选：【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）.13.命题“，”的否定为_.【答案】，【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，故命题“，”
9、的否定为：“，”故答案为：，【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，属于基础题14.己知，则_.【答案】【解析】【分析】利用公式，能求出向量与的夹角的余弦值【详解】解：因为，所以，故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于基础题15.双曲线上一点到点的距离为9，则点到点的距离_.【答案】或【解析】【分析】先根据双曲线方程求出焦点坐标，再结合双曲线的定义可得到，进而可求出的值，得到答案.【详解】双曲线，和为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，解或，或，故答案为：或.【点睛】本题主要考查的是双曲线的定义，属于基础题.求双曲线上一点到某一焦点的
10、距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据求解，注意对所求结果进行必要的验证，负数应该舍去，且所求距离应该不小于.16.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a_.【答案】1【解析】由双曲线可知a0，且焦点在x轴上，根据题意知4a2a2，即a2a20，解得a1或a2(舍去)故实数a1.点睛：如果已知双曲线中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)三、解答题：（本大题共6小题
11、，共70分）.17.实数m取什么值时，复数是：（1）实数；（2）纯虚数；（3）表示复数z的点在复平面的第四象限.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】由复数的解析式可得，（1）当虚部等于零时，复数为实数；（2）当虚部不等于零且实部为零时，复数为纯虚数；（3）当实部大于零且虚部小于零时，复数在复平面内对应的点位于第四象限【详解】解：复数，（1）当，即时，复数为实数（2）当，且时，即时，复数为纯虚数（3）当，且时，即时，表示复数的点在复平面的第四象限【点睛】本题主要考查复数的基本概念，属于基础题18.已知命题：实数满足（其中），命题：实数满足（1）若，且与都为真命题，求实数的取值范围；（2
12、）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】记命题：，命题：（1）当时，求出，根据与均为真命题，即可求出的范围；（2）求出，通过是的必要不充分条件，得出，建立不等式组，求解即可.【详解】记命题：，命题：（1）当时，与均为真命题，则，的取值范围是.（2），是的必要不充分条件，集合，解得，综上所述，的取值范围是.【点睛】1.命题真假的判断（1）真命题的判断方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确地逻辑推理的一个过程，判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法（2）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正
13、确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法（3）一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断2.从逻辑关系上看，若，但，则是的充分不必要条件；若，但，则是的必要不充分条件；若，且，则是的充要条件；若，且，则是的既不充分也不必要条件.19.如图，在正方体中，分别是的中点求证：（1）求证：平面（2）求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，从而，进而可得平面；（2）设出正方体的棱长，利用向量的加法和数量积求出，根据向量的夹角公式可求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】（1）取的中点，连接，则，又，四边形是平行四边形，又平面，平面
14、，平面；（2）设正方体的棱长为2，异面直线与所成角为，则， ，所以异面直线与所成角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的判定，以及异面直线所成的角，利用向量的夹角公式，可方便求出异面直线所成的角，不用建系，不用作图.20.己知抛物线：过点（1）求抛物线的方程：（2）设为抛物线的焦点，直线：与抛物线交于，两点，求的面积.【答案】（1）；（2）12.【解析】【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程中即可；（2）联立方程组先求出，点坐标，进而利用两点间距离公式求出，然后利用点到直线距离公式求出的高，最后代入三角形面积公式求解即可.【详解】（1）点在抛物线上，将代入方程中，有，解得，抛物线的方程为.（2
15、）如图所示，由抛物线方程可知焦点，则点到直线的距离为，联立方程组，可解得，所以，所以，.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系以及抛物线性质的应用，涉及到的知识点包括两点的之间的距离公式和点到直线的距离公式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力，属于基础题.21.如图四棱锥中，底面是正方形，且，为中点(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】【分析】（1）推导出，从而平面，进而求出，由此能证明平面（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值【详解】（1）底面为正方形，又，平面，
16、.同理，平面.（2）建立如图的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2.则，设为平面的一个法向量，又，令，得同理是平面的一个法向量，则.二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题22.已知椭圆C：的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线相切1求椭圆C的标准方程；2设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理
17、由【答案】（1）；（2）定点为.【解析】分析：（1）根据一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，以椭圆的长轴为直径的圆与直线相切，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得结果；(2) 设直线联立，得. 假设轴上存在定点，由韦达定理，利用平面向量数量积公式可得，要使为定值，则的值与无关，所以，从而可得结果.详解：（1）由题意知，解得则椭圆的方程是（2）当直线的斜率存在时，设直线联立，得所以假设轴上存在定点，使得为定值。所以要使为定值，则的值与无关，所以解得，此时为定值，定点为当直线的斜率不存在时，也成立所以，综上所述，在轴上存在定点，使得为定值点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
